27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例
@学霸笔记
1.相似三角形：如果两个三角形的 三个角分别相等 ， 三条边成比例 ，则这两个三角形相似.相似用符号“ ∽ ”表示，读作“ 相似于 ”.
2.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段 成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 对应线段 成比例.
3.相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 相似 .
@基础分点训练
知识点1 相似三角形的有关概念
1.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝ （ B ）
A.2 B. C.3 D.
知识点2 平行线分线段成比例
2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是 （ A ）
A. B.
C. D.
3.（2024·武威校级二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝3，BC＝4，DF＝5，则CE的长为 （ B ）
A. B. C.6 D.
4.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 .
知识点3 相似三角形的预备定理
5.如图，点E是 ABCD的边AD上一点，过点E作EF∥AB交BD于点F，若DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为 （ C ）
A. B.8 C.10 D.16
6.（教材P31练习T2变式）如图，在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.
∴△CDF∽△AED.
∵AB＝3BE，
∴△BEF和△CDF的相似比k1＝＝＝，
△BEF和△AED的相似比k2＝＝，
△CDF和△AED的相似比k3＝＝.
@中档提分训练
7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是 （ C ）A.＝ B.＝C.＝ D.＝
第7题图
8.如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，线段AE，CD相交于点O，若OE＝1，则OA＝ 2 .
第8题图
@拓展素养训练
9.【核心素养·推理能力】如图，在正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接AE，DE，DE与边AB交于点F，作GF∥BE，与AE交于点G.
（1）求证：GF＝BF；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
AD＝CD.
∵GF∥BE，
∴GF∥BC∥AD，
∴△EFG∽△EDA，
∴＝.
∵AB∥CD，
∴△EBF∽△ECD，
∴＝，
∴＝.
又∵AD＝CD，
∴GF＝BF.
（2）若EB＝1，BC＝4，求AG的长.
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ABC＝90°，AB＝BC.
∵EB＝1，BC＝4，
∴AB＝4，EC＝EB＋BC＝1＋4＝5，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE＝＝＝.
由（1），知△EFG∽△EDA，△EBF∽△ECD，
∴＝，＝＝.
∴＝.
∴＝.
∴AG＝AE＝×＝.
27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1，2
@学霸笔记
1.三边 成比例 的两个三角形相似.
2.两边 成比例 且夹角 相等 的两个三角形相似.
@基础分点训练
知识点1 相似三角形的判定定理1
1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形 （ A ）
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判断
2.（2024·武威校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是 （ B ）
3.（教材P33例1变式）根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：AB＝3，BC＝4，AC＝5；
A'B'＝12，B'C'＝16，A'C'＝20.
解：△ABC与△A'B'C'相似，理由如下：
∵＝＝，＝＝，
＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△A'B'C'.
知识点2 相似三角形的判定定理2
4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的 （ C ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
5.如图，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝QC＝2a，CP＝a.
∴＝＝.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
@中档提分训练
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若＝，则图中一定相似的三角形是 （ B ）
A.△BOA∽△BAD
B.△BOA∽△COD
C.△BOC∽△BCD
D.△COB∽△CBA
7.已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是 （ A ）
A.1，， B.1，， C.1，， D.1，，
8.【分类讨论思想】（2024·张掖期中）如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2 cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4 cm/s；如果P，Q两动点同时运动，当△QBP与△ABC相似时，运动的时间为 2或0.8 秒.
9.（2024·武威校级一模）已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF·AB.
求证：（1）＝；
证明：（1）∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴＝.
（2）△AEF∽△ACD.
（2）∵AD2＝AF·AB，
∴＝，
由（1），知＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.
@拓展素养训练
10.【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D，E分别在AB，AC上，连接DE，设BD＝x（0＜x＜6），CE＝y（0＜y＜8）.
（1）当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；
（1）证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝AB－BD＝6－2＝4.
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝AC－CE＝8－5＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC.
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数解析式.
（2）解：分情况讨论：
①若△ADE∽△ABC，
则＝，即＝，
∴y＝x（0＜x＜6）.
②若△ADE∽△ACB，
则＝，即＝，
∴y＝x＋（0＜x＜6）.
综上所述，y与x的函数解析式为y＝x（0＜x＜6）或y＝x＋（0＜x＜6）.
27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理3
@学霸笔记
1.两角分别 相等 的两个三角形相似.
2.直角三角形相似的判定方法：
（1）一个锐角相等的两个直角三角形相似；
（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似；
（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
@基础分点训练
知识点1 相似三角形的判定定理3
1.（教材P36练习T2变式）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是 （ C ）
A.△ACD∽△CBD B.△ACD∽△ABC
C.△BCD∽△ABC D.△BCD∽△BAC
2.（2024·张掖期末）如图，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，则图中相似三角形是 △ABC∽△ECD .
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
3.在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是 （ D ）
A.∠B＝∠B1 B.＝
C.＝ D.＝
4.如果一个直角三角形的两条边长分别为4和8，另一个直角三角形的两条边长分别为3和6，那么这两个直角三角形 不一定 （填“一定”“不一定”或“一定不”）相似.
@中档提分训练
5.如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，添加下列条件中的一个，不能判断△CBD∽△CAB的是 （ B ）
A.∠A＝∠DBC B.＝
C.∠BDC＝∠ABC D.＝
6.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A，B，C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是 （ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.【新考法·开放性试题】（2024·滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 ∠ADE＝∠C（答案不唯一） .（写出一种情况即可）
8.【分类讨论思想】已知：如图，∠ACB＝∠ABD＝90°，BC＝6，AC＝8，当BD＝ 或 时，图中的两个直角三角形相似.
9.（教材P43习题T7变式）（2024·金昌校级三模改编）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F.
（1）求证：△EDC∽△DAF；
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠ADF＋∠EDC＝90°.
∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°.
∴∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠EDC.
又∵∠C＝∠AFD＝90°，
∴△EDC∽△DAF.
（2）若AB＝3，AD＝2，CE＝1，求线段DF的长.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠C＝90°.
在Rt△CDE中，由勾股定理，得
DE＝＝＝.
由（1），得△EDC∽△DAF，
∴＝，即＝，
∴FD＝.即线段DF的长为.
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10.【核心素养·推理能力】如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P，且PD＜PC，连接AD，BC.
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（1）证明：∵＝，
∴∠ADC＝∠ABC.
∵＝，
∴∠DAB＝∠DCB.
∴△PAD∽△PCB.
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD的长.
（2）解：由（1），知△PAD∽△PCB，
∴＝.
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴PC＝CD－PD＝10－PD，
∴＝，
解得PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD的长为4.
