27.2.2 相似三角形的性质
@学霸笔记
1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于 相似比 .
2.相似三角形周长的比等于 相似比 .
3.相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
@基础分点训练
知识点1 相似三角形的性质定理1
1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是 （ A ）
A.1∶3B.1∶4C.1∶6D.1∶9
2.若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是 8∶9 ，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线的长为 cm .
3.（教材P39练习T2变式）如图，△ABC∽△A'B'C'，AB＝16 cm，A'B'＝12 cm，CD，C'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，CD与C'D'的和为14 cm，求CD与C'D'的长.
解：∵△ABC∽△A'B'C'，且AB＝16 cm，A'B'＝12 cm，
∴＝.
∵CD，C'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，
∴＝，即CD＝C'D'.
∵CD＋C'D'＝14 cm，
∴C'D'＋C'D'＝14 cm，
∴CD＝8 cm，C'D'＝6 cm.
知识点2 相似三角形的性质定理2
4.（2024·张掖校级模拟）已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为 （ C ）
A.1 B.3 C.5 D.45
5.已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为 （ C ）
A.8 B.12 C.16 D.20
知识点3 相似三角形的性质定理3
6.（2024·白银模拟）△ABC∽△A'B'C'，已知AB＝5，A'B'＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为 （ B ）
A.15 B.14.4 C.12 D.10.8
@中档提分训练
7.如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC的值为 （ B ）
A.16 B.18 C.20 D.24
8.如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点.若AC＝12，则DH的长为 （ C ）
A.1 B. C.2 D.3
9.如果两个相似三角形的周长比为4∶9，那么它们的面积比是 16∶81 .
10.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE∶S△BOC的值为 1∶4 .
11.如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＜0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为 －18 .
12.如图，在 ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.
（1）求△AEF与△CDF的周长之比；
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝.
∵AE∶EB＝2∶3，
∴＝＝.
∴＝.
即△AEF与△CDF的周长之比是2∶5.
（2）如果△CDF的面积为25 cm2，求四边形ABCD的面积.
+++（2）由（1），知△AEF∽△CDF，
∴＝＝，
∴＝＝.
∵△CDF的面积为25 cm2，
∴S△ADF＝S△CDF＝×25＝10（cm2），
∴S△ACD＝S△ADF＋S△CDF＝10＋25＝35（cm2），
∴S四边形ABCD＝2S△ACD＝2×35＝70（cm2）.
@拓展素养训练
13.（2023·日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN.下列结论：①EM＝EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM∶MD＝1∶2时，＝；④BM＋MN＋ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是 ②③④ .27.2.2 相似三角形的性质
@学霸笔记
1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于 .
2.相似三角形周长的比等于 .
3.相似三角形面积的比等于 .
@基础分点训练
知识点1 相似三角形的性质定理1
1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是 （ ）
A.1∶3B.1∶4C.1∶6D.1∶9
2.若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是 ，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线的长为 .
3.（教材P39练习T2变式）如图，△ABC∽△A'B'C'，AB＝16 cm，A'B'＝12 cm，CD，C'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，CD与C'D'的和为14 cm，求CD与C'D'的长.
知识点2 相似三角形的性质定理2
4.（2024·张掖校级模拟）已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为 （ ）
A.1 B.3 C.5 D.45
5.已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为 （ ）
A.8 B.12 C.16 D.20
知识点3 相似三角形的性质定理3
6.（2024·白银模拟）△ABC∽△A'B'C'，已知AB＝5，A'B'＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为 （ ）
A.15 B.14.4 C.12 D.10.8
@中档提分训练
7.如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC的值为 （ ）
A.16 B.18 C.20 D.24
8.如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点.若AC＝12，则DH的长为 （ ）
A.1 B. C.2 D.3
9.如果两个相似三角形的周长比为4∶9，那么它们的面积比是 .
10.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE∶S△BOC的值为 .
11.如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＜0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为 .
12.如图，在 ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.
（1）求△AEF与△CDF的周长之比；
（2）如果△CDF的面积为25 cm2，求四边形ABCD的面积.
@拓展素养训练
13.（2023·日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN.下列结论：①EM＝EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM∶MD＝1∶2时，＝；④BM＋MN＋ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是 .
