27.2.3 相似三角形应用举例
@学霸笔记
利用相似三角形解决实际问题的方法：
（1）寻找或构造相似三角形，利用相似比解决问题；
（2）构造直角三角形解决问题；
（3）对于不易测量的长度或高度，可以用易测量的对应线段成比例来计算.
@基础分点训练
知识点1 利用相似三角形测量物体的高
1.【数学文化】（2024·酒泉三模）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”.其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8 m，AB＝1.6 m.若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，则树高CD为 （ C ）
图1 图2
A.4 m B.5.3 m
C.5.6 m D.16 m
2.如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，使边AC与旗杆顶点M在同一条直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内.已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为 14 米.
3.（教材P43习题T10变式）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为 （ B ）
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
4.阳光从窗户射到教室地面的截面图如图所示，量得OC＝2米，CD＝3米，OB＝1米，则窗户的高度AB是 1.5 米.
知识点2 利用相似三角形测量宽度
5.如图，为了测量某池塘的宽度DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，使AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽度DE为 （ C ）
A.32 m B.36 m
C.48 m D.56 m
6.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝45 m，EC＝15 m，CD＝10 m，则河的宽度AB等于 30 m .
7.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔4米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边12米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 38 米.
@中档提分训练
8.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 （ C ）
A.0.2 m B.0.3 m
C.0.4 m D.0.5 m
9.（2024·武威校级一模）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C.若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，则楼高BC为 9 m.
10.【数学文化】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝ 1.05 里.
11.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度.（结果精确到0.1 m）
解：∵四边形ABCD为正方形，且D，A，E
在一条直线上，
∴∠EAB＝∠BAD＝90°.
根据题意，知∠ABH＝∠AFE＝90°，∠FAH＝90°，
∵∠FAE＋∠FAB＝90°，
∠FAB＋∠BAH＝90°，
∴∠FAE＝∠BAH，
∴△ABH∽△AFE， ∴＝.
∵AB＝30 cm＝0.3 m，AF＝11 m，BH＝20 cm＝0.2 m，
∴＝，解得FE＝（m）.
∵点A距地面1.8 m，
∴FG＝1.8 m.
∴EG＝EF＋FG＝＋1.8≈9.1（m）.
答：树EG的高度约为9.1 m.
@拓展素养训练
12.【核心素养·应用意识】（2024·兰州校级模拟）某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）.这时地面上的点F，标杆的顶端点G，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF.请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
图1 图2
解：∵AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF，
∴AB∥CD∥GH，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴＝.
∵GH∥AB，
∴△HFG∽△BFA，
∴＝，
∴＝.
∴＝，
解得BD＝42，
∴＝，
∴AB＝30米.
答：此塔的高度有30米.27.2.3 相似三角形应用举例
@学霸笔记
利用相似三角形解决实际问题的方法：
（1）寻找或构造相似三角形，利用相似比解决问题；
（2）构造直角三角形解决问题；
（3）对于不易测量的长度或高度，可以用易测量的对应线段成比例来计算.
@基础分点训练
知识点1 利用相似三角形测量物体的高
1.【数学文化】（2024·酒泉三模）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”.其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8 m，AB＝1.6 m.若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，则树高CD为 （ ）
图1 图2
A.4 m B.5.3 m
C.5.6 m D.16 m
2.如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，使边AC与旗杆顶点M在同一条直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内.已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为 米.
3.（教材P43习题T10变式）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为 （ ）
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
4.阳光从窗户射到教室地面的截面图如图所示，量得OC＝2米，CD＝3米，OB＝1米，则窗户的高度AB是 米.
知识点2 利用相似三角形测量宽度
5.如图，为了测量某池塘的宽度DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，使AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽度DE为 （ ）
A.32 m B.36 m
C.48 m D.56 m
6.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝45 m，EC＝15 m，CD＝10 m，则河的宽度AB等于 .
7.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔4米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边12米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米.
@中档提分训练
8.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 （ ）
A.0.2 m B.0.3 m
C.0.4 m D.0.5 m
9.（2024·武威校级一模）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C.若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，则楼高BC为 m.
10.【数学文化】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝ 里.
11.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度.（结果精确到0.1 m）
@拓展素养训练
12.【核心素养·应用意识】（2024·兰州校级模拟）某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）.这时地面上的点F，标杆的顶端点G，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF.请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
图1 图2
