27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
@学霸笔记
位似图形：两个相似图形任意一组对应顶点的连线 相交于一点 ，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 .各对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 .
注意：（1）两个位似图形的位似中心只有1个；
（2）两个位似图形的对应边平行或在同一条直线上；
（3）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，两者的区别在于位似图形有位似中心，而相似图形不一定有位似中心.
@基础分点训练
知识点1 位似图形及位似中心
1.下列各组图形中，不是位似图形的是 （ B ）
2.图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是 （ A ）
A.点P B.点O C.点R D.点S
知识点2 位似图形的性质
3.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，下列说法中错误的是 （ C ）
A.△ABC∽△A'B'C'
B.点C，点O，点C'三点在同一条直线上
C.AO∶AA'＝1∶2
D.AB∥A'B'
4.（2024·酒泉一模）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若OA∶OA'＝2∶3，则CD∶C'D'的值为 （ B ）
A.1∶2 B.2∶3 C.2∶5 D.4∶9
5.（2024·武威校级二模改编）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则a∶（a＋b）＝ （ B ）
A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶2
6.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且相似比是1∶2.若AB＝4 cm，在图中画出位似中心O，并求A'B'的长.
解：如图，点O即为所求.
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，且相似比是1∶2，
∴＝，
∴A'B'＝2AB＝2×4＝8（cm）.
知识点3 位似图形的画法
7.（教材P48练习T2变式）如图，作四边形ABCD以点O为位似中心的位似图形A'B'C'D'，要求沿OA方向将四边形各边放大为原来图形的2倍.
解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求.
@中档提分训练
8.如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是 （ B ）
A.四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B.AD与AE的比是2∶3
C.四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D.四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
9.（2024·兰州校级月考）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，若△ABC的面积为3，则阴影部分的面积是 24 .
10.（1）如图1，将△ABC放大2倍，且位似中心在△ABC的边AB上的点O处；
解：（1）如图1，△A'B'C'即为所求.
图1
（2）如图2，将正六边形ABCDEF缩小50％，且位似中心在图形的内部点O处.
图2
+++（2）如图2，正六边形A'B'C'D'E'F'即为所求.
@拓展素养训练
11.如图，已知B'C'∥BC，C'D'∥CD，D'E'∥DE.
求证：四边形BCDE位似于四边形B'C'D'E'.
证明：∵B'C'∥BC，C'D'∥CD，D'E'∥DE，
∴△AB'C'∽△ABC，△AC'D'∽△ACD，△AD'E'∽△ADE，
∴＝＝，＝＝，
＝＝，
∴＝.
又∵∠B'AE'＝∠BAE，
∴△AB'E'∽△ABE.
∴＝.
∴＝＝＝.
易得∠E'B'C'＝∠EBC，∠B'C'D'＝∠BCD，∠C'D'E'＝∠CDE，∠D'E'B'＝∠DEB，
∴四边形BCDE与四边形B'C'D'E'是相似图形.
又∵四边形BCDE与四边形B'C'D'E'的对应顶点相交于点A，
∴四边形BCDE位似于四边形B'C'D'E'.
第2课时 平面直角坐标系中的位似
@学霸笔记
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为 （kx，ky）或（－kx，－ky） .
注意：在平面直角坐标系中，关于原点成位似图形的图形有两个，分别位于原点的两侧，它们关于原点中心对称.
@基础分点训练
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（－2，1），.以点O为位似中心，在原点的另一侧按1∶2的相似比将△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标为 （ C ）
第1题图
A. B.（－4，2）C.（4，－2） D.（4，2）
2.【核心素养·几何直观】（2024·兰州一诊）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形，＝，已知A，则点A'的坐标为 （2，4） .
第2题图
3.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O.若点A（4，0），点C（2，0），求△OAB与△OCD周长的比值.
解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，且点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（2，0），
∴OA＝4，OC＝2，
∴相似比为4∶2＝2∶1，
∴△OAB与△OCD周长的比值为2.
知识点2 坐标系内图形的位似作图
4.（教材P50练习T2变式）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出四边形ACDB的位似图形，使得新图形与原图形位于原点同侧，且对应线段的比为2∶1.
解：如图，四边形A'C'D'B'即为所求.
@中档提分训练
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC和△A'B'C'位似，位似中心为原点O，点A（－1，2），点A'（2，－4），若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是 （ D ）
A.2
B.4
C.8
D.16
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°.则点C'的坐标为 （6－2a，－2b） .（结果用含a，b的式子表示）
7.【分类讨论思想】（2024·天水月考）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 （6，2）或（－6，－2） .
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，4），B（－2，1），C（－5，2）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
+++（2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）求∶.
+++（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2关于原点位似，相似比为1∶2，
∴∶＝1∶4.
@拓展素养训练
9.【核心素养·推理能力】在平面直角坐标系中，正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，正方形A3A4B3C3，…，正方形AnAn＋1BnCn，按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为（1，0）.
（1）写出正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，正方形A3A4B3C3，…，正方形AnAn＋1BnCn的位似中心的坐标；
解：（1）正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，正方形A3A4B3C3，…，正方形AnAn＋1BnCn的位似中心的坐标为（0，0）.
（2）写出正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标.
+++（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为（1，0），
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2.
∴OA3＝A3C3＝4.
∴OA4＝A4C4＝8.
∴OA5＝16.
∴正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标分别是A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）.
