28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
@学霸笔记
正弦的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的 正弦 ，记作sin A，即sin A＝＝ .
注意：当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何变化，sin A的值不变.
@基础分点训练
知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sin B等于 （ D ）
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是 （ D ）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝c，则sin A的值是（ A ）
A. B.
C.2 D.以上都不对
4.（教材P64练习T1变式）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，求AC的长和sin B的值.
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4.
∴sin B＝＝.
知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sin A＝，则AB的值为 （ C ）
A.8 B.9 C.10 D.7.5
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝100，sin A＝，则BC＝ 60 .
7.如图，Rt△A1B1C1∽Rt△DEF，则sin E的值等于 （ C ）
A. B. C. D.
8.（2024·临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是 （ B ）
A.3 B.6 C.8 D.9
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝ （ C ）
A. B. C. D.
10.（2024·武威校级二模）如图，已知AB是☉O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是 （ D ）
A. B. C. D.
11.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝0.5，CD＝4，sin∠ACB＝，则AD的长为 5 .
12.在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 .
@拓展素养训练
13.【核心素养·推理能力】如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
图1，图2
∵sin A＝，sin B＝，
∴c＝，c＝.∴＝.
根据你掌握的三角函数知识.在图2的锐角△ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程.
解：＝＝.理由如下：
如图2，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E.
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，
即AD＝c·sin∠ABD，
在Rt△ADC中，sin C＝，
即AD＝b·sin C，
∴c·sin∠ABD＝b·sin C，即＝，
同理可得＝，
∴＝＝，
即＝＝.
第2课时 锐角三角函数
@学霸笔记
1.余弦的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的 余弦 ，记作 cos A ，即cos A＝＝ .
2.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的 正切 ，记作 tan A ，即tan A＝＝ .
3.锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
@基础分点训练
知识点1 余弦
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cos A的值为 （ C ）
A. B.2 C. D.
2.（2024·武威校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，如果AB＝14，那么AC＝ 4 .
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，求cos A和cos B的值.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
根据勾股定理，得BC＝＝＝.
∴cos A＝＝，cos B＝＝.
知识点2 正切
4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于 （ A ）
A. B. C. D.
5.在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 .
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，tan A＝，则AB＝ 25 .
知识点3 锐角三角函数
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是 （ C ）
A.sin A＝ B.cos B＝
C.tan A＝2 D.tan B＝
8.在△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A＝ （ B ）
A. B. C. D.
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12.
求：（1）AB的长；
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，由勾股定理，得AB＝＝＝13.
（2）sin B，cos B，tan B的值.
+++（2）在Rt△ABC中，sin B＝＝，
cos B＝＝，tan B＝＝.
@中档提分训练
10.在△ABC中，若三边AC，BC，AB满足AC∶BC∶AB＝7∶24∶25，则sin A＝（ A ）
A. B. C. D.
11.将△AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A'OB'的位置，点A的坐标为（1，1），则tan∠A'OB'的值为 （ B ）
A. B.1 C. D.
12.【核心素养·推理能力】（2024·广东汕头校级模拟）如图，在正方体中，∠BD1B1的正切值为 （ A ）
A. B. C.1 D.
13.（2024·武威校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tan A的值是 .
14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD是AB边上的中线，那么sin∠ACD的值是 .
@拓展素养训练
15.【核心素养·运算能力】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝13，CD＝6，tan A＝，求sin B＋cos B的值.
解：∵CD⊥AB，
∴△ADC和△CDB都是直角三角形.
∵CD＝6，tan A＝，
∴AD＝＝＝4.
∵AB＝13，
∴BD＝AB－AD＝13－4＝9.
在Rt△CDB中，由勾股定理，得
BC＝＝＝3，
∴sin B＝＝＝，
cos B＝＝＝.
∴sin B＋cos B＝＋＝.
第3课时 特殊角的三角函数值
@学霸笔记
特殊角的三角函数值：
（1）借助图形记忆：
（2）借助表格记忆：
锐角α锐角三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
@基础分点训练
知识点1 特殊角的三角函数值
1.cos 30°的值是 （ A ）
A. B.
C. D.
2.已知∠A＝60°，下列判断正确的是 （ B ）
A.sin A＝ B.cos A＝
C.tan A＝ D.以上都不对
3.计算：cos2 60°＋sin2 60°＝ （ B ）
A. B.1
C. D.
4.（2024·武威校级二模）计算：（－1）2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°.
解：原式＝1＋2×－＋＋
＝1＋＋3
＝4＋.
知识点2 由三角函数值求特殊角
5.在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是 （ C ）
A.45° B.75° C.105° D.120°
6.已知α为锐角，且sin（60°－α）＝，则α＝ 30° .
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝，则∠A＝ 30° .
知识点3 用计算器计算三角函数值
8.用计算器计算cos 44°的结果（精确到0.01）是 （ B ）
A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
9.已知cos A＝0.559 2，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是 （ A ）
A.2nd F B.cos
C.ab/c D.DMS
@中档提分训练
10.点A（－cos 30°，sin 30°）关于y轴对称的点的坐标是 （ A ）
A.（ ，） B.（ －，－）
C.（ －，） D.（ －，）
11.（2024·金昌校级三模）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是 （ C ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝2，∠AOC＝45°，则B点的坐标是 （ D ）
A.（2＋，）
B.（2－，）
C.（－2＋，）
D.（－2－，）
13.（2024·临夏州）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 .
14.计算：
（1）2 0220＋（－1）3－2sin 30°＋；
解：原式＝1－1－2×＋3
＝2.
（2）（－2）－2－｜2－｜＋（2π－3.14）0－sin 60°＋.
解：原式＝－2＋＋1－＋3
＝－＋.
@拓展素养训练
15.【核心素养·推理能力】把（sin α）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题.
（1）sin2A1＋cos2A1＝ 1 ，sin2A2＋cos2A2＝ 1 ，sin2A3＋cos2A3＝ 1 ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝ 1 ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）中的猜想；
（3）证明：在图2中，
∵sin A＝，cos A＝，且a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋cos2A＝＋＝＋
＝＝＝1，
即sin2A＋cos2A＝1.
图1
图2
（4）已知，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求cos A.
（4）解：在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°.
∵sin2A＋cos2A＝1，
∴＋cos2A＝1，
解得cos A＝或cos A＝－（舍去），
∴cos A＝.28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
@学霸笔记
正弦的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的 ，记作sin A，即sin A＝＝ .
注意：当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何变化，sin A的值不变.
@基础分点训练
知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sin B等于 （ ）
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是 （ ）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝c，则sin A的值是（ ）
A. B.
C.2 D.以上都不对
4.（教材P64练习T1变式）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，求AC的长和sin B的值.
知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sin A＝，则AB的值为 （ ）
A.8 B.9 C.10 D.7.5
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝100，sin A＝，则BC＝ .
7.如图，Rt△A1B1C1∽Rt△DEF，则sin E的值等于 （ ）
A. B. C. D.
8.（2024·临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是 （ ）
A.3 B.6 C.8 D.9
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝ （ ）
A. B. C. D.
10.（2024·武威校级二模）如图，已知AB是☉O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是 （ ）
A. B. C. D.
11.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝0.5，CD＝4，sin∠ACB＝，则AD的长为 .
12.在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 .
@拓展素养训练
13.【核心素养·推理能力】如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
图1，图2
∵sin A＝，sin B＝，
∴c＝，c＝.∴＝.
根据你掌握的三角函数知识.在图2的锐角△ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程.
第2课时 锐角三角函数
@学霸笔记
1.余弦的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的 ，记作 ，即cos A＝＝ .
2.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的 ，记作 ，即tan A＝＝ .
3.锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
@基础分点训练
知识点1 余弦
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cos A的值为 （ ）
A. B.2 C. D.
2.（2024·武威校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，如果AB＝14，那么AC＝ .
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，求cos A和cos B的值.
知识点2 正切
4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于 （ ）
A. B. C. D.
5.在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 .
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，tan A＝，则AB＝ .
知识点3 锐角三角函数
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是 （ ）
A.sin A＝ B.cos B＝
C.tan A＝2 D.tan B＝
8.在△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A＝ （ ）
A. B. C. D.
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12.
求：（1）AB的长；
（2）sin B，cos B，tan B的值.
@中档提分训练
10.在△ABC中，若三边AC，BC，AB满足AC∶BC∶AB＝7∶24∶25，则sin A＝（ ）
A. B. C. D.
11.将△AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A'OB'的位置，点A的坐标为（1，1），则tan∠A'OB'的值为 （ ）
A. B.1 C. D.
12.【核心素养·推理能力】（2024·广东汕头校级模拟）如图，在正方体中，∠BD1B1的正切值为 （ ）
A. B. C.1 D.
13.（2024·武威校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tan A的值是 .
14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD是AB边上的中线，那么sin∠ACD的值是 .
@拓展素养训练
15.【核心素养·运算能力】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝13，CD＝6，tan A＝，求sin B＋cos B的值.
第3课时 特殊角的三角函数值
@学霸笔记
特殊角的三角函数值：
（1）借助图形记忆：
（2）借助表格记忆：
锐角α锐角三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
@基础分点训练
知识点1 特殊角的三角函数值
1.cos 30°的值是 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知∠A＝60°，下列判断正确的是 （ ）
A.sin A＝ B.cos A＝
C.tan A＝ D.以上都不对
3.计算：cos2 60°＋sin2 60°＝ （ ）
A. B.1
C. D.
4.（2024·武威校级二模）计算：（－1）2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°.
知识点2 由三角函数值求特殊角
5.在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是 （ ）
A.45° B.75° C.105° D.120°
6.已知α为锐角，且sin（60°－α）＝，则α＝ .
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝，则∠A＝ .
知识点3 用计算器计算三角函数值
8.用计算器计算cos 44°的结果（精确到0.01）是 （ ）
A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
9.已知cos A＝0.559 2，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是 （ ）
A.2nd F B.cos
C.ab/c D.DMS
@中档提分训练
10.点A（－cos 30°，sin 30°）关于y轴对称的点的坐标是 （ ）
A.（ ，） B.（ －，－）
C.（ －，） D.（ －，）
11.（2024·金昌校级三模）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是 （ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝2，∠AOC＝45°，则B点的坐标是 （ ）
A.（2＋，）
B.（2－，）
C.（－2＋，）
D.（－2－，）
13.（2024·临夏州）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 .
14.计算：
（1）2 0220＋（－1）3－2sin 30°＋；
（2）（－2）－2－｜2－｜＋（2π－3.14）0－sin 60°＋.
@拓展素养训练
15.【核心素养·推理能力】把（sin α）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题.
（1）sin2A1＋cos2A1＝ ，sin2A2＋cos2A2＝ ，sin2A3＋cos2A3＝ ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝ ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）中的猜想；
图1
图2
（4）已知，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求cos A.
