28.2.1 解直角三角形
@学霸笔记
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由 元素求 元素的过程，就是解直角三角形.
注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；
（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素.
2.如图，在RtABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：
三边关系： .
两锐角关系： .
边角关系：
sin A＝ ，sin B＝ ；
cos A＝ ，cos B＝ ；
tan A＝ ，tan B＝ .
@基础分点训练
知识点1 已知两边解直角三角形
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于 （ ）
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝，则∠A＝ ，∠B＝ ，AC＝ .
3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.
知识点2 已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝ （ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝8，则△ABC的面积为 （ ）
A.12 B.16 C.32 D.48
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）
@中档提分训练
7.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为 （ ）
A.3
B.3
C.6
D.3
8.（2024·武威校级二模）如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tan B的值为 （ ）
A. B. C. D.
9.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2，则BC的长为 .
10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝.
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值.
@拓展素养训练
11.【阅读理解】阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.
解：如图2，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D，则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sin A，AC＝AB·cos A＝cos A.在Rt△CED中，sin 2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sin A＝2cos A sin A.
图1 图2
根据以上阅读材料，请解决以下问题：
如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值.
图328.2.1 解直角三角形
@学霸笔记
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由 已知 元素求 未知 元素的过程，就是解直角三角形.
注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；
（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素.
2.如图，在RtABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：
三边关系： a2＋b2＝c2 .
两锐角关系： ∠A＋∠B＝90° .
边角关系：
sin A＝ ，sin B＝ ；
cos A＝ ，cos B＝ ；
tan A＝ ，tan B＝ .
@基础分点训练
知识点1 已知两边解直角三角形
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于 （ D ）
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝，则∠A＝ 45° ，∠B＝ 45° ，AC＝ .
3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，c＝8，
根据勾股定理，得b＝＝＝4.
∴sin A＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
知识点2 已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝ （ D ）
A.4 B.6 C.8 D.10
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝8，则△ABC的面积为 （ B ）
A.12 B.16 C.32 D.48
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）
解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－25°＝65°.
∵b＝10，sin 25°＝，tan 25°＝，
∴c＝≈≈23.8，
a＝≈≈21.3.
@中档提分训练
7.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为 （ C ）
A.3
B.3
C.6
D.3
8.（2024·武威校级二模）如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tan B的值为 （ C ）
A. B. C. D.
9.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2，则BC的长为 2或6 .
10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝.
（1）求BC的长；
解：（1）∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在Rt△ECD中，sin∠DCE＝sin∠BCD＝，CD＝5，
∴DE＝CD·sin∠BCD＝5×＝3，
∴CE＝＝＝4.
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴BE＝DE＝3，
∴BC＝BE＋CE＝3＋4＝7.
（2）求∠ACB的正切值.
（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F.
∵DE⊥BC，AF⊥BC，∴DE∥AF，
∴△DEB∽△AFB，∴＝＝.
∵CD是AB边上的中线，即点D为AB的中点，
∴BA＝2BD，∴AF＝2DE＝6，BF＝2BE＝6.
∴CF＝BC－BF＝7－6＝1，
∴tan∠ACB＝tan∠ACF＝＝＝6.
@拓展素养训练
11.【阅读理解】阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.
解：如图2，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D，则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sin A，AC＝AB·cos A＝cos A.在Rt△CED中，sin 2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sin A＝2cos A sin A.
图1 图2
根据以上阅读材料，请解决以下问题：
如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值.
图3
解：如图3，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D.
sin A＝，sin 2A＝.
