第二十八章 锐角三角函数
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.cos 45°的值等于（ ）
A. B. C. D.2
2.在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（ ）
A.都扩大为原来的2倍 B.都缩小为原来的一半
C.都没有变化 D.不能确定
3.如图，△ABC在6×5的网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
第3题图
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则sin B等于（ ）
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，则AB的长为（ ）
A.5sin A B.5cos A C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且｜tan B－｜＋（2sin A－）2＝0，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9.一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ ）
A.700米 B.10米 C.2米 D.4米
10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan 22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝1，则BC＝1，AB＝BD＝，所以tan 22.5°＝＝＝＝－1.类比这种方法，计算tan 15°的值为（ ）
第10题图
A.－ B.2－ C.＋ D.－2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.计算：sin 30°＝ .
12.已知∠A为锐角，cos A＝，则∠A的度数是 .
13.如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tan α＝ .
第13题图
14.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.1 m，则建筑物AB的高度约为 .（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19）
第14题图
15.已知△ABC中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC＝7，则△ABC的面积是 .
16.已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA，OB.若∠AOB＝90°，则cos A＝ .
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）计算：2sin 45°＋4cos2 30°－tan2 60°.
18.（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.
19.（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C的值.
20.（8分）如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1＝，求m的值.
21.（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值.
22.（10分）郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物.学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度.如图，AF是高为1米的测角仪，DC是郇家庄白塔的高度，在A处测得塔顶端D的仰角（即∠DAE）为66°，向塔方向前进9.18米在B处测得塔顶端D的仰角（即∠DBE）为84°39'，求郇家庄白塔DC的高度.（精确到1米，参考数据：sin 84°39'≈0.996，cos 84°39'≈0.09，tan 84°39'≈10.67，sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25）
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝12米，坝高6米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AD的坡角和坝底宽AB的长.
24.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值.
25.（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，且距离灯塔200海里.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由.
26.（10分）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于点D，
则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sin A，
AC＝AB·cos A＝cos A.
在Rt△CED中，
sin 2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sin A＝2cos A sin A.
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sin A或cos A表示cos 2A.
27.（12分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表.
课题 古代典籍数学文化探究
工具 计算器、纸、笔等
示意图
说明 图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆.OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°
参考数据 sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75
计算 求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米）第二十八章 锐角三角函数
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.cos 45°的值等于（ B ）
A. B. C. D.2
2.在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（ C ）
A.都扩大为原来的2倍 B.都缩小为原来的一半
C.都没有变化 D.不能确定
3.如图，△ABC在6×5的网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ D ）
第3题图
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则sin B等于（ C ）
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，则AB的长为（ D ）
A.5sin A B.5cos A C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（ D ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且｜tan B－｜＋（2sin A－）2＝0，则△ABC是（ B ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（ C ）
第8题图
A. B. C. D.
9.一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ B ）
A.700米 B.10米 C.2米 D.4米
10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan 22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝1，则BC＝1，AB＝BD＝，所以tan 22.5°＝＝＝＝－1.类比这种方法，计算tan 15°的值为（ B ）
第10题图
A.－ B.2－ C.＋ D.－2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.计算：sin 30°＝ .
12.已知∠A为锐角，cos A＝，则∠A的度数是 60° .
13.如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tan α＝ .
第13题图
14.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.1 m，则建筑物AB的高度约为 7.1 m .（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19）
第14题图
15.已知△ABC中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC＝7，则△ABC的面积是 10或6 .
16.已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA，OB.若∠AOB＝90°，则cos A＝ .
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）计算：2sin 45°＋4cos2 30°－tan2 60°.
解：原式＝2×＋4×－
＝＋3－3
＝.
18.（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.
解：∵∠C＝90°，a＝4，c＝8，
∴b＝＝＝4.
∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
19.（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C的值.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，
tan∠BAD＝＝，且AD＝12，
∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9.
∵BC＝14，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.
∴AC＝＝＝13.∴sin C＝＝.
20.（8分）如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1＝，求m的值.
解：如图，作AB⊥x轴于点B.
∵点A的坐标是（3，m），∴OB＝3，AB＝m.
又∵tan∠1＝＝，即＝，∴m＝2.
21.（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
（1）求AC的长；
解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10.
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
AC＝＝＝6，即AC的长为6.
（2）求tan∠FBD的值.
（2）如图，过点F作FE⊥BD于点E.
∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点.
∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC.∴FE是△ACD的中位线.
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2.
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝tan∠FBE＝＝＝.
22.（10分）郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物.学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度.如图，AF是高为1米的测角仪，DC是郇家庄白塔的高度，在A处测得塔顶端D的仰角（即∠DAE）为66°，向塔方向前进9.18米在B处测得塔顶端D的仰角（即∠DBE）为84°39'，求郇家庄白塔DC的高度.（精确到1米，参考数据：sin 84°39'≈0.996，cos 84°39'≈0.09，tan 84°39'≈10.67，sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25）
解：如图，延长AB与CD相交于E，则AE⊥CD于E.
则AF＝BG＝CE＝1米，AB＝FG＝9.18米，
在Rt△DBE中，tan∠DBE＝，设DE＝x米，
∴BE＝≈x米.
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，∴AE＝≈x米.
∴9.18＋x＝x，解得x≈26.2.
∴AB＝CE＋DE≈27（米）.
答：郇家庄白塔DC的高度约为27米.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝12米，坝高6米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AD的坡角和坝底宽AB的长.
解：如图，分别过点D，C作AB的垂线，垂足分别为E，F.
根据题意，知FE＝CD＝5米，
CF＝DE＝6米，
∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°.∴斜坡AD的坡角为30°.
∴AE＝AD·cos 30°＝12×＝6（米）.
∵CF∶BF＝1∶3，∴BF＝3CF＝18（米）.
∴AB＝BF＋EF＋AE＝18＋5＋6＝（6＋23）米.
答：斜坡AD的坡角为30°，坝底宽AB的长为（6＋23）米.
24.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
（1）求BC的长；
解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8.
∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6.
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14.
（2）求sin∠DAE的值.
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝×14＝7.∴DE＝CE－CD＝7－6＝1.
∵AD⊥BC，∴AE＝＝＝.
∴sin∠DAE＝＝＝.
25.（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
解：（1）如图，过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°－45°＝45°，PA＝100海里，
∴PC＝PA·cos 45°＝100×＝50（海里）.
在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°，
∴PB＝2PC＝2×50＝100（海里）.
答：B处距离灯塔P有100海里.
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，且距离灯塔200海里.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由.
（2）海轮到达B处没有触礁的危险.理由如下：
设圆形暗礁区域的圆心位置为点O，则OB＝OP－PB＝（200－100）海里，且100＜150，
∴200－100＞200－150＝50，即OB＞50海里.
∴海轮到达B处没有触礁的危险.
26.（10分）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于点D，
则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sin A，
AC＝AB·cos A＝cos A.
在Rt△CED中，
sin 2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sin A＝2cos A sin A.
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值；
解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°，
∴AC＝＝＝2.
∴sin A＝＝，cos A＝＝.
∴sin 2A＝2cos Asin A＝2××＝.
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sin A或cos A表示cos 2A.
（2）如图2，在Rt△CED中，cos 2A＝cos∠CED＝＝＝2AC·cos A－1＝2cos2 A－1.
27.（12分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表.
课题 古代典籍数学文化探究
工具 计算器、纸、笔等
示意图
说明 图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆.OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°
参考数据 sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75
计算 求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米）
解：如图，过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点O作OC⊥AE，垂足为C.
根据题意，得OM＝CE＝3米，∠COM＝90°，
∵∠AOM＝127°，∴∠AOC＝∠AOM－∠COM＝127°－90°＝37°.
∵AB＝4.2米，OA∶OB＝2∶1，∴OA＝AB＝×4.2＝2.8（米）.
在Rt△AOC中，AC＝OA·sin 37°≈2.8×0.6＝1.68（米），
∴AE＝AC＋CE＝1.68＋3≈4.7（米）.
∴点A位于最高点时到地面的距离约为4.7米.
