第二十八章 锐角三角函数 知识总结
复习点一 锐角三角函数的定义
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是 （ ）
A. B. C.3 D.
2.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A'B'C'，对应锐角A，A'的正弦值的关系为（ ）
A.sin A＝3sin A' B.sin A＝sin A'
C.3sin A＝sin A' D.不能确定
3.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan C的值是 （ ）
A.2
B.
C.1
D.
复习点二 特殊角的三角函数值
4.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tan B－）（2sin A－）＝0，则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.有一个角是60°的三角形
5.计算：
（1）3tan 30°－tan245°＋2sin 60°；
（2）4cos 30°－cos 45°tan 60°＋2sin245°.
复习点三 用计算器计算三角函数
6.（1）用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值；（精确到0.01）
（2）已知sin A＝0.328 6，tan B＝10.08，利用计算器求相应的锐角A，B.（精确到0.01°）
复习点四 解直角三角形
7.如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21.
（1）求AC的长；
（2）求∠BAC的正弦值.
复习点五 解直角三角形的实际应用
8.【古代文化】（2024·武威校级二模）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径OA长为6米，∠OAB＝42°，则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB（单位：米）的距离是 （ ）
A.6sin 42° B.6＋6sin 42°
C.6＋6cos 42° D.6＋6tan 42°
9.（2024·威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表（尚不完整）.
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量 工具 竹竿，米尺
测量 示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿.点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离.∠α是要测量的倾斜角.
测量 数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏；
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程；
（3）假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数.你选择的按键顺序为 .
10.【甘肃人文信息】（2024·临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB.（结果保留整数.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
复习点六 锐角三角函数的综合应用
11.（2024·兰州）如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D为☉O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA.
（1）求证：ED是☉O的切线；
（2）若BO＝4，tan∠CBA＝，求ED的长.
全国视野＋核心素养专练
1.【新定义】 定义一种运算：
sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°＋30°）＝×＋×＝，则sin 15°的值为 .
2.【古代文化】（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具－－“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米.（结果用含根号的式子表示）
3.【跨学科融合】（2024·呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°.
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度.（结果用含非特殊角的三角函数表示）第二十八章 锐角三角函数 知识总结
复习点一 锐角三角函数的定义
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是 （ A ）
A. B. C.3 D.
2.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A'B'C'，对应锐角A，A'的正弦值的关系为（ B ）
A.sin A＝3sin A' B.sin A＝sin A'
C.3sin A＝sin A' D.不能确定
3.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan C的值是 （ B ）
A.2
B.
C.1
D.
复习点二 特殊角的三角函数值
4.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tan B－）（2sin A－）＝0，则△ABC一定是（ D ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.有一个角是60°的三角形
5.计算：
（1）3tan 30°－tan245°＋2sin 60°；
解：原式＝3×－12＋2×
＝2－1.
（2）4cos 30°－cos 45°tan 60°＋2sin245°.
解：原式＝4×－×＋2×
＝2－＋1.
复习点三 用计算器计算三角函数
6.（1）用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值；（精确到0.01）
解：（1）∵AC＝2，BC＝3.5，∠C＝90°，
∴AB＝＝＝≈4.031 1，
∴sin A＝≈≈0.87，cos A＝≈≈0.50，tan A＝＝＝1.75.
（2）已知sin A＝0.328 6，tan B＝10.08，利用计算器求相应的锐角A，B.（精确到0.01°）
+++（2）∵sin A＝0.328 6，tan B＝10.08，
∴∠A≈19.18°，∠B≈84.33°.
复习点四 解直角三角形
7.如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21.
（1）求AC的长；
解：（1）∵在Rt△ADB中，cos B＝＝，AB＝13，
∴BD＝AB·cos B＝13×＝5，
∴CD＝BC－BD＝21－5＝16.
∵AD＝＝＝12，
∴AC＝＝＝20.
（2）求∠BAC的正弦值.
+++（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H.
∵＝AB·CH＝BC·AD，
∴13CH＝21×12，∴CH＝.
∴∠BAC的正弦值是＝＝.
复习点五 解直角三角形的实际应用
8.【古代文化】（2024·武威校级二模）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径OA长为6米，∠OAB＝42°，则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB（单位：米）的距离是 （ B ）
A.6sin 42° B.6＋6sin 42°
C.6＋6cos 42° D.6＋6tan 42°
9.（2024·威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表（尚不完整）.
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量 工具 竹竿，米尺
测量 示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿.点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离.∠α是要测量的倾斜角.
测量 数据 AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏；
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程；
解：（2）如图，过点A作AM⊥CB，交CB的延长线于点M，则∠AMB＝90°.
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴AM＝，
∴在Rt△ABM中，sin α＝＝＝.
（3）假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数.你选择的按键顺序为 ① .
10.【甘肃人文信息】（2024·临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB.（结果保留整数.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
解：如图，设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，则DG＝BF＝CE＝1.6米，EF⊥AB，EG＝14.5米.
设FG＝x米，则EF＝（14.5＋x）米.
在Rt△AEF中，
∵∠AEF＝37°，∴tan 37°＝，
∴AF＝EF·tan 37°≈0.75（x＋14.5）＝（0.75x＋10.875）米.
在Rt△AGF中，
∵∠AGF＝45°，∴tan 45°＝，
∴AF＝FG＝x米，
∴0.75x＋10.875＝x，
解得x≈43.5，
∴AB＝AF＋BF＝43.5＋1.6≈45（米）.
答：乾元塔的高度AB约为45米.
复习点六 锐角三角函数的综合应用
11.（2024·兰州）如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D为☉O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA.
（1）求证：ED是☉O的切线；
（1）证明：如图，连接OD.
∵AB为☉O的直径，
∴∠BCA＝∠BDA＝90°.
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），
∴∠CBA＝∠DBA.
∵OB＝OD，
∴∠DBA＝∠BDO.
∵∠ADE＝∠CBA，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO.
∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD.
∵OD为☉O的半径，
∴ED是☉O的切线.
（2）若BO＝4，tan∠CBA＝，求ED的长.
（2）解：∵BO＝4，
∴AB＝2OB＝8，
∴EB＝EA＋AB＝EA＋8.
∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，
∴tan∠DBA＝.
在Rt△ABD中，tan∠DBA＝＝，
∴设AD＝a，DB＝2a.
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EDB，
∴＝＝，即＝＝，
由＝，得EA＝ED，
由＝，得2ED＝EA＋8，
∴2ED＝ED＋8，
∴ED＝.
全国视野＋核心素养专练
1.【新定义】 定义一种运算：
sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°＋30°）＝×＋×＝，则sin 15°的值为 .
2.【古代文化】（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具－－“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 （6－2） 分米.（结果用含根号的式子表示）
3.【跨学科融合】（2024·呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°.
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
解：（1）∵AB＝24 cm，BE＝AB，
∴BE＝×24＝8（cm）.
∵在Rt△BGE中，cos 12°＝，
∴BG＝8cos 12°（cm）.
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度.（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）∵在Rt△BGE中，sin 12°＝，
∴EG＝8sin 12°（cm）.
如图，延长GB，NM交于点H.
根据题意，得四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE－EG＝（28－8sin 12°）cm.
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝NH－MN＝28－8sin 12°－8＝（20－8sin 12°）cm，
∴DN＝GH
＝BG＋BH
＝（8cos 12°＋20－8sin 12°）cm.
