第二十六章 反比例函数
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.下列函数中，属于反比例函数的是（ C ）
A.y＝－2x B.y＝kx－1 C.y＝－ D.y＝
2.反比例函数y＝－的图象一定经过的点是（ C ）
A.（－2，－4） B.（2，4） C.（2，－4） D.（－2，－6）
3.下列函数图象中，只具备轴对称性质的是（ A ）
A.二次函数 B.一次函数
C.反比例函数 D.正比例函数
4.如图，矩形OAPB的两边OA，OB分别位于x轴，y轴上，点P在反比例函数y＝的图象上，若矩形OAPB的面积为4，则k的值是（ D ）
第4题图
A.2 B.4 C.－2 D.－4
5.已知反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ A ）
A.m＞1 B.m≥1 C.m＜1 D.m≤1
6.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月生产玩具熊猫的总成本为5 000元，则y与x之间满足的关系式为（ C ）
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝
7.关于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ D ）
A.点（－2，－3）在它的图象上
B.图象关于直线y＝－x对称
C.当x＞0时，y随x的增大而减小
D.若点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3
8.如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ B ）
第8题图
A.x＜－3或x＞3 B.x＜－3或0＜x＜3
C.－3＜x＜0或0＜x＜3 D.－3＜x＜0或x＞3
9.如图是反比例函数y1＝，y2＝的部分图象，下列说法正确的是（ B ）
第9题图
A.k2＜k1＜0 B.k1＜k2＜0 C.k1＞k2＞0 D.k2＞k1＞0
10.在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝ax＋3的图象大致是（ B ）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.已知反比例函数y＝的图象经过点（2，－3），则此函数的解析式是 y＝－ .
12.反比例函数y＝－的比例系数k为 － .
13.已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 m＜ .
14.如图，若反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax＋b的图象交于A，B两点，当y1＜y2时，x的取值范围是 －1＜x＜0或x＞2 .
第14题图
15.已知一块蓄电池的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，则电流I关于电阻R的函数解析式为 I＝（R＞0） .
第15题图
16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 －4 .
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）用解析式表示下列函数：
（1）圆柱的体积是常数V时，那么圆柱的底面积S与高h的函数；
解：根据题意，得圆柱的底面积S与高h的函数解析式为S＝（h＞0）.
（2）上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观.京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的全程运行时间t（单位：h）与此次列车的平均速度v（单位：km/h）的函数.
解：根据题意，得运行时间t与平均速度v的函数解析式为t＝（v＞0）.
18.（6分）若函数y＝（3＋m）是反比例函数，求该反比例函数的解析式.
解：根据题意，得解得m＝3.
∴该反比例函数的解析式为y＝.
19.（6分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝4时，y＝－5.
（1）写出y与x之间的函数解析式；
解：（1）设y＝（k≠0）.
∵当x＝4时，y＝－5，∴－5＝，解得k＝－20.∴y＝－.
（2）当y＝2时，求x的值.
解：（2）把y＝2代入y＝－，得2＝－，解得x＝－10.
20.（8分）反比例函数y＝的图象过点A（2，－8）.
（1）求该反比例函数的解析式；
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，－8），
∴k＝2×（－8）＝－16.∴反比例函数的解析式为y＝－.
（2）请判断点B（－4，4）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
解：（2）点B（－4，4）在这个反比例函数的图象上.理由如下：把x＝－4代入y＝－，得y＝4，
∴点B（－4，4）在这个反比例函数的图象上.
21.（10分）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的关系式为y＝（x＞0）.
（1）上述问题中，当x的值增大，y的值随之 减小 ；（填“增大”“减小”或“不变”）
（2）根据y与x的关系式补全下表：
焦距x/米 0.1 0.2 0.25 …
度数y/度 1 000 500 400 …
（3）小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数下降了多少度？
解：（3）根据题意，得当x＝0.4时，则y＝＝250，
400－250＝150（度）.
答：小明的眼镜度数下降了150度.
22.（10分）如图，已知A（－4，2），B（n，－4）是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
解：（1）∵A（－4，2）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝－4×2＝－8.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
∵B（n，－4）在反比例函数y＝－的图象上，
∴－4＝－，解得n＝2.∴B（2，－4）.
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A（－4，2），B（2，－4），
∴ 解得∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
（2）根据图象写出不等式kx＋b＞的解集.
（2）根据图象，得不等式kx＋b＞的解集为0＜x＜2或x＜－4.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100 km/h时，行驶时间为1.5 h；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h，行驶的时间为t h.
（1）求v关于t的函数解析式；
解：（1）根据题意，得从甲地到乙地的路程为100×1.5＝150（km），
∴v关于t的函数解析式为v＝.
（2）若小汽车匀速行驶的速度为60 km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
解：（2）在v＝中，令v＝60，得60＝，解得t＝2.5.
答：从乙地返回甲地需要2.5 h.
24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（－1，n），B（2，1）.
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
解：（1）∵一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（－1，n），B（2，1），
∴m＝－n＝2.∴m＝2，n＝－2.
∴反比例函数解析式为y＝.
∵一次函数y＝kx＋b的图象过A（－1，－2），B（2，1），
∴解得∴一次函数解析式为y＝x－1.
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积.
解：（2）在一次函数y＝x－1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），即OC＝1，
∴S△OAB＝S△BOC＋S△AOC＝×1×1＋×1×2＝.
25.（10分）如图，已知一次函数y＝－2x＋8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C.
（1）切点C的坐标是 （2，4） ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝－2x＋8的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上，求此时k的值.
解：（2）∵一次函数y＝－2x＋8的图象与坐标轴交于A，B两点，∴点B的坐标是（4，0）.
∵点M为线段BC的中点，且由（1），知C（2，4），∴点M的坐标是（3，2）.
∴点C和点M平移后的对应点坐标分别是（2－m，4），（3－m，2）.
∴k＝4（2－m）＝2（3－m），解得m＝1.∴k＝4.
26.（10分）小明在学习过程中看到一个函数y1＝，下面是小魏对其探究的结果，请补充完整：
将函数y1＝的解析式进行变形，得
y1＝＝＋＝1＋，即y1＝1＋.
（1）当x＜0时，对于函数y2＝，y2随x的增大而减小，且y2＜0；则对于函数y1＝1＋，y1随x的增大而 减小 ，且y1的取值范围是 y1＜1 ；
（2）当x＞0时，函数y2＝的图象如图所示.
下表是函数y1＝1＋，当x＞0时，y1与x的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 …
y1 … 3 2 …
结合表格内的数据，在如图给定的坐标系内画出当x＞0时的函数y1＝1＋的图象；
解：（2）画出当x＞0时的函数
y1＝1＋的图象如图所示.
（3）综合上述图象和结论，猜想：函数y1＝1＋的图象是由函数y2＝的图象向 上 平移 1 个单位长度后得到的；
（4）由以上猜想可知：函数y3＝（m为常数）的图象的对称中心坐标为 （0，2） .
27.（12分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE.
（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式；
解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2）.
∵F为AB的中点，∴F（3，1）.
∵点F在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3.∴反比例函数的解析式为y＝.
∵点E的纵坐标为2，则点E的横坐标为，∴E，A（3，0）.
设直线AE的解析式为y＝ax＋b（a≠0），将A（3，0），E代入，得解得
∴直线AE的解析式为y＝－x＋4.
（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值.
（2）根据题意，知E，F，
∴S＝AF·BE＝×＝－k2＋k＝－（k－3）2＋.
∵点F在边AB上，不与A，B重合，即0＜＜2，解得0＜k＜6.
又∵－＜0，∴当k＝3时，S有最大值，S最大值＝.第二十六章 反比例函数
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A.y＝－2x B.y＝kx－1 C.y＝－ D.y＝
2.反比例函数y＝－的图象一定经过的点是（ ）
A.（－2，－4） B.（2，4） C.（2，－4） D.（－2，－6）
3.下列函数图象中，只具备轴对称性质的是（ ）
A.二次函数 B.一次函数
C.反比例函数 D.正比例函数
4.如图，矩形OAPB的两边OA，OB分别位于x轴，y轴上，点P在反比例函数y＝的图象上，若矩形OAPB的面积为4，则k的值是（ ）
第4题图
A.2 B.4 C.－2 D.－4
5.已知反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A.m＞1 B.m≥1 C.m＜1 D.m≤1
6.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月生产玩具熊猫的总成本为5 000元，则y与x之间满足的关系式为（ ）
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝
7.关于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A.点（－2，－3）在它的图象上
B.图象关于直线y＝－x对称
C.当x＞0时，y随x的增大而减小
D.若点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3
8.如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
第8题图
A.x＜－3或x＞3 B.x＜－3或0＜x＜3
C.－3＜x＜0或0＜x＜3 D.－3＜x＜0或x＞3
9.如图是反比例函数y1＝，y2＝的部分图象，下列说法正确的是（ ）
第9题图
A.k2＜k1＜0 B.k1＜k2＜0 C.k1＞k2＞0 D.k2＞k1＞0
10.在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝ax＋3的图象大致是（ ）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.已知反比例函数y＝的图象经过点（2，－3），则此函数的解析式是 .
12.反比例函数y＝－的比例系数k为 .
13.已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 .
14.如图，若反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax＋b的图象交于A，B两点，当y1＜y2时，x的取值范围是 .
第14题图
15.已知一块蓄电池的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，则电流I关于电阻R的函数解析式为 .
第15题图
16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 .
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）用解析式表示下列函数：
（1）圆柱的体积是常数V时，那么圆柱的底面积S与高h的函数；
（2）上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观.京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的全程运行时间t（单位：h）与此次列车的平均速度v（单位：km/h）的函数.
18.（6分）若函数y＝（3＋m）是反比例函数，求该反比例函数的解析式.
19.（6分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝4时，y＝－5.
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）当y＝2时，求x的值.
20.（8分）反比例函数y＝的图象过点A（2，－8）.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）请判断点B（－4，4）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
21.（10分）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的关系式为y＝（x＞0）.
（1）上述问题中，当x的值增大，y的值随之 ；（填“增大”“减小”或“不变”）
（2）根据y与x的关系式补全下表：
焦距x/米 0.1 0.2 …
度数y/度 1 000 400 …
（3）小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数下降了多少度？
22.（10分）如图，已知A（－4，2），B（n，－4）是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出不等式kx＋b＞的解集.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100 km/h时，行驶时间为1.5 h；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h，行驶的时间为t h.
（1）求v关于t的函数解析式；
（2）若小汽车匀速行驶的速度为60 km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（－1，n），B（2，1）.
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积.
25.（10分）如图，已知一次函数y＝－2x＋8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C.
（1）切点C的坐标是 ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝－2x＋8的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上，求此时k的值.
26.（10分）小明在学习过程中看到一个函数y1＝，下面是小魏对其探究的结果，请补充完整：
将函数y1＝的解析式进行变形，得
y1＝＝＋＝1＋，即y1＝1＋.
（1）当x＜0时，对于函数y2＝，y2随x的增大而减小，且y2＜0；则对于函数y1＝1＋，y1随x的增大而 ，且y1的取值范围是 ；
（2）当x＞0时，函数y2＝的图象如图所示.
下表是函数y1＝1＋，当x＞0时，y1与x的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 …
y1 … 3 2 …
结合表格内的数据，在如图给定的坐标系内画出当x＞0时的函数y1＝1＋的图象；
（3）综合上述图象和结论，猜想：函数y1＝1＋的图象是由函数y2＝的图象向 平移 个单位长度后得到的；
（4）由以上猜想可知：函数y3＝（m为常数）的图象的对称中心坐标为 .
27.（12分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE.
（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式；
（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值.
