第二十六章 反比例函数 知识总结
复习点一 反比例函数的概念
1.（2024·张掖月考）下列函数：①y＝2x；②y＝；③y＝x－1；④y＝.其中，是反比例函数的有 （ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
复习点二 反比例函数的图象和性质
2.如果点（3，－4）在反比例函数y＝的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是 （ ）
A.（3，4） B.（－2，－6） C.（－2，6） D.（－3，－4）
3.已知反比例函数y＝－，下列结论中不正确的是 （ ）
A.其图象分别位于第二、四象限
B.其图象关于原点对称
C.其图象经过点（2，－4）
D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
4.若ab＞0，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象是 （ ）
5.（2024·武威校级三模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 .
6.反比例函数y＝－，当y＜4时，x的取值范围是 .
复习点三 反比例函数中k的几何意义
7.如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为 .
复习点四 反比例函数与一次函数的综合
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（－6，－1），则不等式kx＋b＞的解集为 （ ）
A.x＜－6 B.－6＜x＜0或x＞2 C.x＞2 D.x＜－6或0＜x＜2
10.已知正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于点A（1，m）和点B，则点B的坐标是 .
11.（2024·临夏州）如图，直线y＝kx与双曲线y＝－交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）.
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝－在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值.
复习点五 反比例函数的实际应用
12.【跨学科融合】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了 mL.
13.【跨学科融合】（2023·广东）某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数解析式为I＝.当R＝12 Ω时，I的值为 A.
14.【核心素养·应用意识】某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围.
15.（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示.
（1）当气球内的气压超过150 kPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸；（球体的体积公式V＝πr3，π取3）
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.
全国视野＋核心素养专练
1.【几何直观】如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B两点，当k1x≤时，x的取值范围是 （ ）
A.－1≤x＜0或x≥1
B.x≤－1或0＜x≤1
C.x≤－1或x≥1
D.－1≤x＜0或0＜x≤1
2.【创新意识、新定义试题】定义：一次函数y＝ax＋b的特征数是[a，b].若一次函数y＝－2x＋m的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数y＝的图象的其中一个交点A的坐标为（n，－4），则一次函数y＝－2x＋m的特征数是 .
3.【应用意识】（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝ m/s.
4.【新定义试题】（2024·江苏徐州校级二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”.例如，点（－1，1）是函数y＝x＋2的图象的“平衡点”.在函数①y＝2x－1；②y＝；③y＝－x2＋2x＋1；④y＝x2＋x＋3；⑤y＝－；⑥y＝－x＋3的图象上，存在“平衡点”的函数是 .（填序号）
5.【跨学科融合、模型观念、应用意识】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1 600 N，阻力臂长为0.5 m.设动力为y（N），动力臂长为x（m）.（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要多大的力？
（3）小明若想使动力不超过300 N，在动力臂最大为2.5 m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.
6.【新考法·注重实践探究】小明根据学习函数的经验，对函数y＝x＋的图象与性质进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x＋的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x … －3 －2 －1 － － 1 2 3 4 …
y … － － －2 － － m 2 n …
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数图象，请完成：
①当y＝－时，x＝ ；
②写出该函数的一条性质 ；
③若方程x＋＝t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 .
7.【阅读理解、新定义试题】阅读下列材料：
定义运算：min｜a，b｜，当a≥b时，min｜a，b｜＝b；当a＜b时，min｜a，b｜＝a.
例如：min｜－1，3｜＝－1；min｜－1，－2｜＝－2.
完成下列任务：
（1）①min｜（－3）0，2｜＝ ；
②min｜－，－4｜＝ ；
（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A，B两点.当－2＜x＜0时，min＝（x＋1）（x－3）－x2，求这两个函数的解析式.第二十六章 反比例函数 知识总结
复习点一 反比例函数的概念
1.（2024·张掖月考）下列函数：①y＝2x；②y＝；③y＝x－1；④y＝.其中，是反比例函数的有 （ C ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
复习点二 反比例函数的图象和性质
2.如果点（3，－4）在反比例函数y＝的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是 （ C ）
A.（3，4） B.（－2，－6） C.（－2，6） D.（－3，－4）
3.已知反比例函数y＝－，下列结论中不正确的是 （ D ）
A.其图象分别位于第二、四象限
B.其图象关于原点对称
C.其图象经过点（2，－4）
D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
4.若ab＞0，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象是 （ A ）
5.（2024·武威校级三模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y3＜y2 .
6.反比例函数y＝－，当y＜4时，x的取值范围是 x＜－1或x＞0 .
复习点三 反比例函数中k的几何意义
7.如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ B ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为 2 .
复习点四 反比例函数与一次函数的综合
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（－6，－1），则不等式kx＋b＞的解集为 （ B ）
A.x＜－6 B.－6＜x＜0或x＞2 C.x＞2 D.x＜－6或0＜x＜2
10.已知正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于点A（1，m）和点B，则点B的坐标是 （－1，－2） .
11.（2024·临夏州）如图，直线y＝kx与双曲线y＝－交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）.
（1）求a，k的值；
解：（1）∵点A在反比例函数图象上，
∴2＝－，解得a＝－2.
∴点A的坐标为（－2，2）.
将A（－2，2）代入y＝kx，
得2＝－2k，解得k＝－1.
故a的值为－2，k的值为－1.
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝－在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值.
+++（2）如图，过点C作CF⊥y轴于点F.
由此可得CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP.
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS）.
∴CF＝OE，OP＝PF.
∵直线y＝－x向上平移m个单位长度得到y＝－x＋m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m）.
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m.
∴C（－m，2m）.
∵双曲线y＝－过点C，
∴－m·2m＝－4，
解得m＝或－（舍去）.
∴m＝.
复习点五 反比例函数的实际应用
12.【跨学科融合】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了 20 mL.
13.【跨学科融合】（2023·广东）某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数解析式为I＝.当R＝12 Ω时，I的值为 4 A.
14.【核心素养·应用意识】某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1）求储存室的容积V的值；
解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝（V＞0），
把点（20，500）代入，得500＝，
∴V＝500×20＝10 000.
即储存室的容积V的值为10 000 m3.
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围.
+++（2）由（1），得S＝（d＞0），
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625.
15.（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示.
（1）当气球内的气压超过150 kPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸；（球体的体积公式V＝πr3，π取3）
解：（1）设气压p与气体体积V的函数关系式为p＝（k≠0）.
根据图象，得k＝pV＝120×0.04＝4.8，
∴p＝.
当p＝150时，V＝＝0.032，
∴×3r3＝0.032，解得r＝0.2.
∵k＝4.8＞0，∴p随V的增大而减小.
∴要使气球不会爆炸，则V≥0.032，此时r≥0.2.
∴气球的半径至少为0.2 m时，气球不会爆炸.
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎.
全国视野＋核心素养专练
1.【几何直观】如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B两点，当k1x≤时，x的取值范围是 （ A ）
A.－1≤x＜0或x≥1
B.x≤－1或0＜x≤1
C.x≤－1或x≥1
D.－1≤x＜0或0＜x≤1
2.【创新意识、新定义试题】定义：一次函数y＝ax＋b的特征数是[a，b].若一次函数y＝－2x＋m的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数y＝的图象的其中一个交点A的坐标为（n，－4），则一次函数y＝－2x＋m的特征数是 [－2，－13] .
3.【应用意识】（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝ 4 m/s.
4.【新定义试题】（2024·江苏徐州校级二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”.例如，点（－1，1）是函数y＝x＋2的图象的“平衡点”.在函数①y＝2x－1；②y＝；③y＝－x2＋2x＋1；④y＝x2＋x＋3；⑤y＝－；⑥y＝－x＋3的图象上，存在“平衡点”的函数是 ①③⑤ .（填序号）
5.【跨学科融合、模型观念、应用意识】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1 600 N，阻力臂长为0.5 m.设动力为y（N），动力臂长为x（m）.（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
（1）求y关于x的函数解析式；
解：（1）根据题意，得xy＝1 600×0.5，则y＝，
∴y关于x的函数解析式为y＝（x＞0）.
（2）当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要多大的力？
+++（2）在函数y＝中，
当x＝2时，y＝＝400.
即当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要400 N的力.
（3）小明若想使动力不超过300 N，在动力臂最大为2.5 m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.
+++（3）他不能撬动这块石头.理由如下：
在y＝中，当0＜x≤2.5时，0＜≤2.5， 解得y≥320.
∵320＞300，
∴他不能撬动这块石头.
6.【新考法·注重实践探究】小明根据学习函数的经验，对函数y＝x＋的图象与性质进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x＋的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x … －3 －2 －1 － － 1 2 3 4 …
y … － － －2 － － m 2 n …
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
解：画出该函数的图象如图所示.
（4）结合函数图象，请完成：
①当y＝－时，x＝ －4或－ ；
②写出该函数的一条性质 ①图象在第一、三象限且关于原点对称；②当－1≤x＜0或0＜x≤1时，y随x的增大而减小；当x＜－1或x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一） ；
③若方程x＋＝t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 t＞2或t＜－2 .
7.【阅读理解、新定义试题】阅读下列材料：
定义运算：min｜a，b｜，当a≥b时，min｜a，b｜＝b；当a＜b时，min｜a，b｜＝a.
例如：min｜－1，3｜＝－1；min｜－1，－2｜＝－2.
完成下列任务：
（1）①min｜（－3）0，2｜＝ 1 ；
②min｜－，－4｜＝ －4 ；
（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A，B两点.当－2＜x＜0时，min＝（x＋1）（x－3）－x2，求这两个函数的解析式.
解：（2）根据题意，得－2x＋b＝（x＋1）（x－3）－x2， 解得b＝－3.
∴y2＝－2x－3.
在y2＝－2x－3中，当x＝－2时，y2＝1.
∴点A的坐标为（－2，1）.
将点A（－2，1）代入y1＝中，得k＝－2.
∴y1＝－.
