第二十七章 相似 知识总结
复习点一 三个概念
概念1 成比例线段
1.下列四组线段中，不能成比例的是 （ ）
A.a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B.a＝1，b＝，c＝，d＝
C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D.a＝2，b＝，c＝，d＝2
概念2 相似多边形
2.若两个相似多边形周长的比为1∶5，则它们的相似比为 （ ）
A.1∶25 B.1∶5
C.1∶2.5 D.1∶
3.已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是 （ ）
概念3 位似图形
4.如图，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是 （ ）
A.① B.② C.③ D.④
5.如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（－2，－1），B（－2，－3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，－1），B1（1，－5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标为 .
复习点二 两个性质
性质1 平行线分线段成比例的性质
6.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为 （ ）
第6题图
A.3.6 B.4.8 C.5 D.5.2
7.如图，在四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是 （ ）
第7题图
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
性质2 相似三角形的性质
8.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应高线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是 （ ）
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
9.（2024·武威校级三模）如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝ （ ）
A. B. C. D.
复习点三 相似三角形的判定
10.（2024·天水校级三模）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边CB，AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F.
（1）求证：△DBF∽△EBC；
（2）如果AB＝BC，求证：EC2＝DF·DA.
复习点四 两个应用
应用1 测量高度的应用
11.【数学文化】（2024·天水校级三模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝14 m，则树高PQ＝ m.
12.【跨学科融合】如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被撬动了.在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD＝9 cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压 cm.
图1 图2
应用2 测量宽度的应用
13.（教材P57复习题T7变式）如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为 （ ）
A.0.3 cm B.0.5 cm
C.0.7 cm D.1 cm
复习点五 作已知图形的位似图形
14.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（－4，－3），点B（－1，－3），点C（－1，－1）.
（1）画出△ABC；
（2）以点O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1.
全国视野＋核心素养专练
1.【模型观念、应用意识】如图，把一根长4.5 m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处离地面的高度为0.6 m，则石坝的高度为 （ ）
A.2.7 m B.3.6 m
C.2.8 m D.2.1 m
2.【推理能力、创新意识】由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为 （ ）
A. B. C. D.
3.【方程思想、模型观念】如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF∶CE＝1∶2，EF＝，则菱形ABCD的边长是 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.
4.【分类讨论思想、应用意识】将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是 （ ）
A. B. C.10 D.
5.【几何直观】（2024·连云港改编）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为 （ ）
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
6.【数学文化】《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'∶AB＝2∶1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 .第二十七章 相似 知识总结
复习点一 三个概念
概念1 成比例线段
1.下列四组线段中，不能成比例的是 （ C ）
A.a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B.a＝1，b＝，c＝，d＝
C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D.a＝2，b＝，c＝，d＝2
概念2 相似多边形
2.若两个相似多边形周长的比为1∶5，则它们的相似比为 （ B ）
A.1∶25 B.1∶5
C.1∶2.5 D.1∶
3.已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是 （ A ）
概念3 位似图形
4.如图，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是 （ C ）
A.① B.② C.③ D.④
5.如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（－2，－1），B（－2，－3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，－1），B1（1，－5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标为 （－5，－1） .
复习点二 两个性质
性质1 平行线分线段成比例的性质
6.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为 （ B ）
第6题图
A.3.6 B.4.8 C.5 D.5.2
7.如图，在四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是 （ D ）
第7题图
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
性质2 相似三角形的性质
8.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应高线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是 （ C ）
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
9.（2024·武威校级三模）如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝ （ D ）
A. B. C. D.
复习点三 相似三角形的判定
10.（2024·天水校级三模）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边CB，AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F.
（1）求证：△DBF∽△EBC；
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABC，∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角，∴∠ABC＝∠DAB＋∠D，∠ACB＝∠EBC＋∠E，
∵∠DAB＝∠EBC，∴∠D＝∠E.
又∵∠DBF＝∠EBC，∴△DBF∽△EBC.
（2）如果AB＝BC，求证：EC2＝DF·DA.
（2）∵∠DBF＝∠EBC，∠DAB＝∠EBC，
∴∠DBF＝∠DAB.
∵∠D＝∠D，∴△DBF∽△DAB.
∴＝，即DB2＝DF·DA.
在△ADB和△BEC中，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴DB＝EC，∴EC2＝DF·DA.
复习点四 两个应用
应用1 测量高度的应用
11.【数学文化】（2024·天水校级三模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝14 m，则树高PQ＝ 7 m.
12.【跨学科融合】如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被撬动了.在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD＝9 cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压 27 cm.
图1 图2
应用2 测量宽度的应用
13.（教材P57复习题T7变式）如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为 （ B ）
A.0.3 cm B.0.5 cm
C.0.7 cm D.1 cm
复习点五 作已知图形的位似图形
14.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（－4，－3），点B（－1，－3），点C（－1，－1）.
（1）画出△ABC；
解：（1）如图，△ABC即为所求.
（2）以点O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1.
（2）如图，△A1B1C1即为所求.
全国视野＋核心素养专练
1.【模型观念、应用意识】如图，把一根长4.5 m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处离地面的高度为0.6 m，则石坝的高度为 （ A ）
A.2.7 m B.3.6 m
C.2.8 m D.2.1 m
2.【推理能力、创新意识】由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为 （ C ）
A. B. C. D.
3.【方程思想、模型观念】如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF∶CE＝1∶2，EF＝，则菱形ABCD的边长是 （ B ）
A.3 B.4 C.5 D.
4.【分类讨论思想、应用意识】将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是 （ A ）
A. B. C.10 D.
5.【几何直观】（2024·连云港改编）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为 （ D ）
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
6.【数学文化】《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'∶AB＝2∶1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 4π .
