第二十七章 相似
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.甲、乙两地相距1 600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（ ）
A.1∶200 B.1∶20 000 C.20 000∶1 D.1∶4 000
2.△ABC与△A'B'C'是相似图形，且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2，则△ABC与△A'B'C'的面积之比是（ ）
A.1∶2 B.1∶ C.1∶4 D.2∶1
3.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝4，则EF的长为（ ）
第3题图
A.4 B.8 C.9 D.12
4.如图，已知△ABC与△DEF，要使△ABC与△DEF相似，必须满足的条件是（ ）
第4题图
A.∠A＝∠D，∠B＝∠E B.∠A＝∠D，且＝
C.∠A＝∠B，∠D＝∠E D.∠A＝∠E，且＝
5.如图所示的四种画法中，能使得△ABC与△DEF是位似图形的有（ ）
A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④
6.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（ ）
第6题图
A.4米 B.3米 C.3.2米 D.3.4米
7.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，CD＝2，则B点的纵坐标为（ ）
第7题图
A.4 B.5 C.6 D.7
8.如图，在△ABC中，DE∥BC，∶＝1∶4，则AD∶AB为（ ）
第8题图
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶25 D.∶5
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（ ）
第9题图
A.2 B.3 C. D.
10.如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F.若AB＝1，BC＝，则DF的长为（ ）
第10题图
A.1 B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.已知两个相似三角形的面积之比是1∶16，那么这两个三角形的周长之比是 .
12.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝65°，∠C＝82°，∠A'＝110°，则∠D＝ .
13.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，DB＝2，则的值等于 .
第13题图
14.如图，l1∥l2∥l3，AB＝AC，DF＝10，那么DE＝ .
第14题图
15.若Rt△ABC∽Rt△DEF，∠C＝∠F＝90°，AB＝5，BC＝3，DE＝15，则DF＝ .
16.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝8 cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P，Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止.在运动过程中，若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则运动时间为 s.
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC.（保留作图痕迹，不写作法）
18.（6分）如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF 的长.
19.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB.
20.（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时测得BD＝160 m，DC＝80 m，EC＝50 m，求AB间的大致距离.
21.（10分）已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上的一点，BF⊥AE于点F.求证：＝.
22.（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DC与BE相交于点O，且OD＝2，BO＝DC＝6，OE＝3.
（1）求证：△DOE∽△COB；
（2）已知AD＝5，求AB的长.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（－2，2），B（－6，4），C（－4，8）.
（1）以坐标原点O为位似中心，相似比为，将△ABC缩小得到△A'B'C'，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
（2）设△ABC与△A'B'C'的周长分别为l1，l2，则l1∶l2＝ .
24.（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
25.（10分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长.
26.（10分）如图，点C在以AB为直径的☉O上，过点C作☉O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求☉O的半径.
27.（12分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与点B，C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点F，若FG⊥BG.
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）当EC为何值时，△CEF的面积最大？第二十七章 相似
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.甲、乙两地相距1 600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（ B ）
A.1∶200 B.1∶20 000 C.20 000∶1 D.1∶4 000
2.△ABC与△A'B'C'是相似图形，且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2，则△ABC与△A'B'C'的面积之比是（ C ）
A.1∶2 B.1∶ C.1∶4 D.2∶1
3.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝4，则EF的长为（ B ）
第3题图
A.4 B.8 C.9 D.12
4.如图，已知△ABC与△DEF，要使△ABC与△DEF相似，必须满足的条件是（ A ）
第4题图
A.∠A＝∠D，∠B＝∠E B.∠A＝∠D，且＝
C.∠A＝∠B，∠D＝∠E D.∠A＝∠E，且＝
5.如图所示的四种画法中，能使得△ABC与△DEF是位似图形的有（ A ）
A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④
6.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（ B ）
第6题图
A.4米 B.3米 C.3.2米 D.3.4米
7.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，CD＝2，则B点的纵坐标为（ C ）
第7题图
A.4 B.5 C.6 D.7
8.如图，在△ABC中，DE∥BC，∶＝1∶4，则AD∶AB为（ D ）
第8题图
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶25 D.∶5
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（ C ）
第9题图
A.2 B.3 C. D.
10.如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F.若AB＝1，BC＝，则DF的长为（ C ）
第10题图
A.1 B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.已知两个相似三角形的面积之比是1∶16，那么这两个三角形的周长之比是 1∶4 .
12.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝65°，∠C＝82°，∠A'＝110°，则∠D＝ 103° .
13.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，DB＝2，则的值等于 .
第13题图
14.如图，l1∥l2∥l3，AB＝AC，DF＝10，那么DE＝ .
第14题图
15.若Rt△ABC∽Rt△DEF，∠C＝∠F＝90°，AB＝5，BC＝3，DE＝15，则DF＝ 12 .
16.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝8 cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P，Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止.在运动过程中，若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则运动时间为 或2 s.
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC.（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，过点A作BC的垂线交BC于点D，点D即为所求.
18.（6分）如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF 的长.
解：∵＝＝，＝，∴＝.
又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC.
∴＝.∴＝.∴CF＝.
19.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB.
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠EDC＝∠ADE＋∠ADC＝∠B＋∠DEB，∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝∠DEB.∴△ADC∽△DEB.
20.（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时测得BD＝160 m，DC＝80 m，EC＝50 m，求AB间的大致距离.
解：根据题意，得∠ABD＝∠ECD＝90°，
∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，
∴＝，即＝，解得AB＝100 m.
答：AB间的大致距离为100 m.
21.（10分）已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上的一点，BF⊥AE于点F.求证：＝.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90°.
∴∠DAE＋∠BAE＝90°.
∵BF⊥AE于点F，∴∠AFB＝90°.
∴∠FBA＋∠BAE＝90°.∴∠DAE＝∠FBA.
∵∠AFB＝∠D＝90°，∴△ABF∽△EAD.
∴＝.∴＝.
22.（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DC与BE相交于点O，且OD＝2，BO＝DC＝6，OE＝3.
（1）求证：△DOE∽△COB；
（1）证明：∵OD＝2，BO＝DC＝6，OE＝3，
∴OC＝4，＝＝，＝＝.
∴＝.
∵∠DOE＝∠COB，∴△DOE∽△COB.
（2）已知AD＝5，求AB的长.
（2）解：∵△DOE∽△COB，∴∠ODE＝∠OCB.
∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.∴＝＝＝.
∵AD＝5，∴AB＝2AD＝2×5＝10.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（－2，2），B（－6，4），C（－4，8）.
（1）以坐标原点O为位似中心，相似比为，将△ABC缩小得到△A'B'C'，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求.（答案不唯一）
（2）设△ABC与△A'B'C'的周长分别为l1，l2，则l1∶l2＝ 2∶1 .
24.（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
解：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF.
∵AO⊥OD，EF⊥FG，
∴∠AOD＝∠EFG＝90°.
∴△AOD∽△EFG.
∴＝，即＝.∴AO＝15米.
∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠ADO.
∵∠BOC＝∠AOD＝90°，∴△BOC∽△AOD.
∴＝，即＝.∴BO＝12米.
∴AB＝AO－BO＝15－12＝3（米）.
答：旗杆的高AB为3米.
25.（10分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（1）证明：如图2，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.
∵CE∥DA，∴＝，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠E＝∠ACE.
∴AE＝AC.∴＝.
（2）如图3，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长.
（2）解：∵AD是角平分线，∴＝.
∵AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，
∴＝，解得BD＝ cm.∴BD的长为 cm.
26.（10分）如图，点C在以AB为直径的☉O上，过点C作☉O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（1）证明：如图，连接OC.
∵l是☉O的切线，∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB.
∵∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD.
（2）若AC＝5，CD＝4，求☉O的半径.
（2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝3.
∵△ABC∽△ACD，∴＝.∴＝.
∴AB＝.∴☉O的半径为.
27.（12分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与点B，C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点F，若FG⊥BG.
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
FG⊥BG，EF⊥AE，
∴∠B＝∠EGF＝∠AEF＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠GEF＝90°，∴∠BAE＝∠GEF.
又∵∠B＝∠EGF＝90°，∴△ABE∽△EGF.
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（2）解：∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8.
∵CF是∠DCG的平分线，∠DCG＝90°.∴∠FCG＝45°.
∴FG＝CG.∴EG＝CE＋CG＝2＋FG.
∵由（1），知△ABE∽△EGF，∴＝.∴＝.
∴FG＝8.∴S△CEF＝CE·FG＝×2×8＝8.
（3）当EC为何值时，△CEF的面积最大？
（3）解：设CE＝x，则BE＝10－x.
由（2），知EG＝CE＋CG＝x＋FG，
且由（1），知△ABE∽△EGF，∴＝.∴＝.
∴FG＝10－x.∴＝×CE×FG＝×x·（10－x）＝－（x2－10x）＝－（x－5）2＋.
∵－＜0，且0＜x＜10，∴当EC＝5时，△CEF的面积最大.
