期末教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ）
2.反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（ ）
A.k＞2 B.k≤2 C.k＜2 D.k≥2
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则∠B的度数为（ ）A.25° B.30° C.45° D.60°
第3题图
4.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°.若sin A＝，BC＝4，则AB的长为（ ）
第4题图
A.2 B.2 C.2 D.6
5.如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50 cm处，遮光板在刻度尺70 cm处，光屏在刻度尺80 cm处，量得像高3 cm，则蜡烛的长为（ ）
第5题图
A.5 cm B.6 cm C.4 cm D.4.5 cm
6.若两个相似三角形的对应高的比是1∶4，则它们的周长的比是（ ）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
7.某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面AB的长度为20 m，坡度为1∶1（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面AD的坡度为1∶2，改造后背水坡AD的长度为（ ）
A.20 m B.10 m C.10 m D.400 m
第7题图
8.如图，一次函数y1＝k1x＋b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2，当y1≥y2时，x的取值范围是（ ）
第8题图
A.x≤－2或x≥1 B.x≤－2或0＜x≤1
C.－2≤x＜0或x≥1 D.－2≤x＜0或0＜x≤1
9.在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2），B（－6，－4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A.（－8，4） B.（8，－4）
C.（－8，4）或（8，－4） D.（－2，1）或（2，－1）
10.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2 m到A'时，梯脚B滑到B'，A'B'与地面的夹角为β，若tan α＝，BB'＝2 m，则cos β的值为（ ）
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.若cos θ＝，则锐角θ的度数是 .
12.函数y＝的图象经过（2，－1），那么m＝ .
13.如图是用卡钳测量容器内径的示意图.若卡钳上A，D两端点的距离为6 cm，＝＝，则容器的内径BC的长为 cm.
第13题图
14.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，如果BD∶DC＝1∶2，AD＝2，那么DE的长等于 .
第14题图
15.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝ 小时.（结果保留根号）
第15题图
16.如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为6，则k的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）计算：－2sin 45°＋2cos 60°＋｜1－｜＋.
18.（6分）如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体.
（1）请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）该几何体的表面积（含下底面）为 .（直接写出结果）
19.（6分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，－3）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围.
20.（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长.
21.（10分）如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝.
（1）求AB的长；
（2）求tan∠CDB的值.
22.（10分）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3 m，即BC＝3 m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC＝∠BCE＝90°.假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE＝60°），为使正午时窗前地面上能有1 m宽的阴影区域，即CD＝1 m，求遮阳棚AB的宽度.（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73）
图1 图2
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（4，5），C（3，2）.
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且相似比为2∶1；
（3）求出△A2BC2的面积.
24.（10分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C和点D（－1，a）.
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数.
25.（10分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA.∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示 图1 图2
解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结果精确到0.1 cm）
参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
26.（10分）阅读下面材料，完成学习任务：
数学活动－－测量树的高度.在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时.测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米.
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整.
27.（12分）如图，AB为☉O的直径，且弦CD⊥AB于点E，过点B的切线与AD的延长线交于点F.
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长，交BC于N.求证：MN⊥BC；
（2）若cos C＝，DF＝3，求☉O的半径.期末教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ B ）
2.反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（ A ）
A.k＞2 B.k≤2 C.k＜2 D.k≥2
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则∠B的度数为（ B ）A.25° B.30° C.45° D.60°
第3题图
4.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°.若sin A＝，BC＝4，则AB的长为（ D ）
第4题图
A.2 B.2 C.2 D.6
5.如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50 cm处，遮光板在刻度尺70 cm处，光屏在刻度尺80 cm处，量得像高3 cm，则蜡烛的长为（ B ）
第5题图
A.5 cm B.6 cm C.4 cm D.4.5 cm
6.若两个相似三角形的对应高的比是1∶4，则它们的周长的比是（ B ）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
7.某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面AB的长度为20 m，坡度为1∶1（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面AD的坡度为1∶2，改造后背水坡AD的长度为（ B ）
A.20 m B.10 m C.10 m D.400 m
第7题图
8.如图，一次函数y1＝k1x＋b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2，当y1≥y2时，x的取值范围是（ C ）
第8题图
A.x≤－2或x≥1 B.x≤－2或0＜x≤1
C.－2≤x＜0或x≥1 D.－2≤x＜0或0＜x≤1
9.在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2），B（－6，－4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ D ）
A.（－8，4） B.（8，－4）
C.（－8，4）或（8，－4） D.（－2，1）或（2，－1）
10.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2 m到A'时，梯脚B滑到B'，A'B'与地面的夹角为β，若tan α＝，BB'＝2 m，则cos β的值为（ A ）
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.若cos θ＝，则锐角θ的度数是 60° .
12.函数y＝的图象经过（2，－1），那么m＝ －2 .
13.如图是用卡钳测量容器内径的示意图.若卡钳上A，D两端点的距离为6 cm，＝＝，则容器的内径BC的长为 10 cm.
第13题图
14.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，如果BD∶DC＝1∶2，AD＝2，那么DE的长等于 .
第14题图
15.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝ （1＋） 小时.（结果保留根号）
第15题图
16.如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为6，则k的值为 4 .
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）计算：－2sin 45°＋2cos 60°＋｜1－｜＋.
解：原式＝2－2×＋2×＋（－1）＋2
＝2－＋1＋－1＋2
＝2＋2.
18.（6分）如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体.
（1）请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
解：（1）该几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示.
（2）该几何体的表面积（含下底面）为 26 .（直接写出结果）
19.（6分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，－3）.
（1）求反比例函数的解析式；
解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，－3），
∴k＝2×（－3）＝－6.∴反比例函数的解析式为y＝－.
（2）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围.
解：（2）当x≤1且x≠0时，y的取值范围是y＞0或y≤－6.
20.（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠DAF＝∠AEB.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.
∴△ABE∽△DFA.
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长.
（2）解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2.
∵AB＝6，∴AE＝＝＝2.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.
∵△ABE∽△DFA，∴＝.∴DF＝＝＝.
21.（10分）如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝.
（1）求AB的长；
解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E.设CE＝x.
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝2x.∴AC＝＝x.
∴x＝，解得x＝1.∴CE＝1，AE＝2.
在Rt△BCE中，∵sin B＝，∴∠B＝45°.
∴△BCE为等腰直角三角形.∴BE＝CE＝1.
∴AB＝AE＋BE＝3.
（2）求tan∠CDB的值.
解：（2）∵CD为中线，∴BD＝AB＝1.5.
∴DE＝BD－BE＝1.5－1＝0.5.
∴tan∠CDE＝＝＝2.即tan∠CDB的值为2.
22.（10分）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3 m，即BC＝3 m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC＝∠BCE＝90°.假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE＝60°），为使正午时窗前地面上能有1 m宽的阴影区域，即CD＝1 m，求遮阳棚AB的宽度.（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73）
图1 图2
解：如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为F，∴∠DFB＝∠DFA＝90°.
∵∠ABC＝∠BCE＝90°，∴四边形FBCD是矩形.
∴DF＝BC＝3 m，BF＝CD＝1 m，AB∥CE.∴∠BAD＝∠ADE＝60°.
在Rt△ADF中，AF＝＝＝（m），
∴AB＝AF＋BF＝＋1≈2.7（m）.
答：遮阳棚AB的宽度约为2.7 m.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（4，5），C（3，2）.
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（3，－3）.
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且相似比为2∶1；
（2）如图，△A2BC2即为所求.
（3）求出△A2BC2的面积.
解：（3）∵△A2BC2与△ABC相似，且相似比为2∶1，
∴＝.
∴＝4S△ABC＝4×××＝20.
24.（10分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C和点D（－1，a）.
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
将A（0，2），B（2，0）代入，
得解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.
将D（－1，a）代入y＝－x＋2，得a＝＋2＝3，∴点D的坐标为（－1，3）.
将D（－1，3）代入y＝，得m＝－3，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
（2）求∠ACO的度数.
解：（2）联立，得解得
∴点C的坐标为（3，－）.
如图，过点C作CH⊥x轴于点H.
在Rt△OHC中，CH＝，OH＝3，tan∠COH＝＝，
∴∠COH＝30°.
在Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝60°.∴∠ACO＝∠ABO－∠COH＝60°－30°＝30°.
25.（10分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA.∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示 图1 图2
解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结果精确到0.1 cm）
参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm，
∴tan∠BOA＝，sin∠BOA＝.
∵2.05≈，0.90≈，∴OD≈10 cm，OB≈22.78 cm.
在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78 cm，∠COA＝37°，
∴cos∠COA＝，即cos 37°≈.
∴OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），则ED＝OE－OD≈8.2（cm）.
26.（10分）阅读下面材料，完成学习任务：
数学活动－－测量树的高度.在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时.测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米.
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整.
解：剩余过程如下：
∴＝.
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，∴＝.∴＝.
∴＝，解得y＝20.
把y＝20代入＝中，得＝，解得x＝15.
∴树的高度AB为15米.
27.（12分）如图，AB为☉O的直径，且弦CD⊥AB于点E，过点B的切线与AD的延长线交于点F.
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长，交BC于N.求证：MN⊥BC；
（1）证明：如图，连接AC.
∵AB是☉O的直径，且AB⊥CD于点E，
由垂径定理，得点E是CD的中点.
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线.∴MN∥AC.
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠MNB＝∠ACB＝90°，即MN⊥BC.
（2）若cos C＝，DF＝3，求☉O的半径.
（2）解：如图，连接BD.
∵∠BCD与∠BAD同对，
∴∠BCD＝∠BAD.∴cos∠BAD＝cos∠BCD＝.
∵BF是☉O的切线，∴∠ABF＝90°.
在Rt△ABF中，cos∠BAF＝＝，设AB＝4x，则AF＝5x.
由勾股定理，得BF＝3x.
∵AB是☉O的直径，∴BD⊥AD.∴∠BDF＝∠ABF＝90°.
又∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△BDF.∴＝.
即＝，解得x＝.∴AB＝4x＝4×＝.
∴☉O的半径为×＝.
即☉O的半径为.
