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《一次函数的综合应用题》（60题）
1．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3），P（x，y）是一次函数图象上一点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交点A和B的坐标；
（3）当△OAP的面积为5时，求点P的坐标．
2．在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线y＝2x+5平移得到的且经过点A（﹣1，1），交y轴于点B．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为6，求点P的坐标．
3．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5）、B（6，﹣3）．
（1）求k、b的值；
（2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，10）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）将直线AB向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积．
5．如图，直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）若将一次函数yx+4的图象绕点B顺时针旋转45°后得到直线m，请写出直线m的解析式 ．
6．我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？
（1）将一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为 ；
（2）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴的交点为点A，将直线y＝﹣2x+4绕点A逆时针旋转45°，求所得的图象对应的函数表达式．
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积．
8．（1）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于B点，平面上有一点C（2，3），直线向上平移b个单位后直线经过点C，求b的值．
（2）根据（1）问中提供的解题思路完成如下问题：
已知直线y＝mx+n过A（﹣2，0），B（6，8），C为x轴上一点，C点坐标为（2，0），连接BC，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD面积与△ABC面积相等．若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．
9．在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图象经过点（1，2），把此正比例函数的图象向上平移5个单位，得到直线l：y＝kx+b（k≠0），直线l与x轴交于点A．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求A点的坐标；
（3）点B（﹣1，n）是该直线l上一点，点C在x轴上，当△ABC的面积为时，请求出C点的坐标．
10．如图，已知直线l1：y＝kx（k＞0）上有一点A，直线l1绕着原点O旋转45°得直线l2过点A作AB⊥l1，交直线l2于点B，
（1）当，且点A的横坐标是4，点B在第一象限内时，求点B的坐标和直线l2的解析式；
（2）当点A的横坐标是m（m＞0）时，求旋转后直线的解析式．（用含字母k的式子表示）
11．如图，已知直线l1：yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）直线l2的函数表达式是 ；
（3）若点P是线段AB上一点，且S△PBDS△AOB，求点P的坐标．
12．在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝kx沿y轴向上平移2个单位后得到直线l，已知l经过点A（﹣4，0）．
（1）求直线l的解析式；
（2）设直线l与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足S△ABPS△ABO，求点P的坐标．
13．如图，已知直线l1：yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）求四边形ABDC的面积．
14．如图，直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的表达式．
15．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l1的表达式为 ；
（2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的表达式为 ；
（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．
16．将一次函数y＝2x﹣4的图象进行平移、轴对称、旋转变换，求变换后的函数表达式．
（1）沿x轴向左平移3个单位长度，所得函数图象的表达式是 ．
（2）关于y轴对称，所得函数图象的表达式是 ．
（3）绕原点O旋转90°，所得函数图象的表达式是 ．
17．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
18．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与直线y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）关于x轴对称，直线y＝ax+b与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）点P是直线AC上的动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
19．已知一次函数的图象经过A（1，﹣2），B（3，2）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若将这个一次函数的图象向上平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3），P（x，y）是一次函数图象上一点
（1）求一次函数的解析式；
（2）写出图象与x轴、y轴的交点的坐标，并画出一次函数图象；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围；
（4）已知点A（﹣3，0），当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
21．如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：yx+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20成立时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
23．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M．
（1）求直线l1的表达式．
（2）求△BOM的面积．
（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线l1和l2交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．
24．如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）在x轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）当0＜yAC＜yOA时，自变量x的取值范围是 ；
（3）动点M在射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）试判断点P（m+1，m﹣1）是否在直线AB上，并说明理由；
（3）若点Q是x轴上一动点，当△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形时，请直接写出Q点坐标．
28．如图，已知，在直角坐标系中，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）求点A、C的坐标；
（2）若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．
（3）经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E．
（1）求直线AB的解析式和点D的坐标．
（2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值；
（3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方．
①求△ABP的面积；
②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点B，与x轴交于点C，线段OB，OC（OB＞OC）的长是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根，直线y＝x交BC于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系中有一点P（6，m），求△AOP的面积S与m的函数关系式；
（3）M为直线BC上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线OA于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图，直线AB：yx+b，其中B（﹣1，0），点A横坐标为4，点C（3，0），直线FG垂直平分线段BC．
（1）求b的值与直线AC的函数表达式；
（2）D是直线FG上一点，且位于x轴上方，将△BCD翻折得到△BC'D′，若C'恰好落在线段FG上，求C'和点D的坐标；
（3）设P是直线AC上位于FG右侧的一点，点Q在直线FG上，当△CPQ为等边三角形时，求BP的函数表达式．
32．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．
33．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+b经过（0，4）、（10，﹣4）两点．与x轴交于一点A，与y轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）分别求出A和B的坐标，并求出AB的长；
（3）求出△AOB的面积：
（4）观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？
（5）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A（3，0），点B（0，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
36．如图，直线yx+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点匀速出发，同时到达A点，到达A时运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O B A运动．
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）求点P的速度；
（3）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出点P在线段OB上运动时间t的取值范围，以及S与t之间的函数关系式．
37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在x轴上，BC平分∠ABO．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AC的长；
（3）在x轴上是否存在点D，使得△ABD是等腰三角形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标．
39．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A，OA＝4，与正比例函数y＝3x的图象交于点B，B点的横坐标为1．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标；
（3）若点D（4，﹣2），点P是y轴上的一个动点，连接BD，PB，PD，是否存在点P，使得△PBD的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD周长的最小值．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，直线x＝1交x轴于点E，其中P（1，n）是直线x＝1上一动点．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）如图1，当n＝4时，过点P作PF⊥y轴于点F，连接PA，试说明△AOB≌△PFA；
（3）如图2，连接OP，BP．
①当n时，判断△OBP的形状，并说明理由；
②是否存在实数n，使△OBP为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
42．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，与x轴交于点D，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 ；
（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 ；
（3）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；
（4）在x轴上求一点Q，使△QBD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
43．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2与交于点M、N，
①若线段MN＝2，此时点N的坐标为 ；
②y轴上有一点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，当点M在点N的下方时，请直接写出Q点的坐标．
45．如图1，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（6，12）．
（1）直接写出正比例函数与一次函数的表达式；
（2）如图2，点E是直线BC上的一动点（与B，C点不重合），过点E作EP⊥x轴于点P，交直线OC于点F，设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当EF＝OB时，a的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若E是线段BC上一动点（与B，C点不重合），连接CP，直线OC能否把△CEP分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．
46．如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．
（1）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．求证：△OAP≌△OBC．
（2）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，
①线段OM与AN有什么数量关系？
②若S表示三角形的面积，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值．
47．在平面直角坐标系xOy中，A（0，t），B（0，t+4），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．
（1）当t＝0时，①在点，P2（1，3），中，线段AB的直角点是 ；
②直线y＝x+b上存在四个线段AB的直角点，求出b取值范围；
（2）直线与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出t取值范围．
48．已知：直线与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（﹣2，a）．
（1）求a、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且∠OBD＝∠BAO，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线BD绕点D旋转45°，求旋转后直线的解析式．
49．如图1，直线y＝kx﹣8与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标以及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣6，0）、B（0，8），C是线段OB上一点，将△OAC沿着AC折叠，点O落在点D，连接BD．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标；
（3）若，求点D的坐标；
（4）点P是平面内一点，若∠PAB＝45°，请直接写出直线PA的函数解析式．
51．如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
53．【源于课本】
（1）将一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着y轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为： ．
【小组探究】
（2）我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动．
①（平移探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着x轴向右平移2个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A（0，6），B（3，0），将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（ ），B'（ ），从而求出直线A'B'对应的函数表达式为： ．
②（轴对称探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ；
③（旋转探究）如图2，若一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于点A，将直线y＝﹣2x+6绕点A逆时针旋转45°，得到的直线与x轴交于点M．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程）
【学以致用】
（3）如图2，在上述③的条件下，y轴上是否存在点P，使得以点A，M，P为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
54．已知一次函数y＝3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，且3OC＝4OB．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）点E是上的一动点，在y轴上是否存在点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D是直线上的一动点，连接BD，使得BD将四边形ABCD的面积分成1：4的两部分，请直接写出满足条件的点D的坐标．
55．如图1，直线和直线y＝ax+5相交于点A（4，b），直线y＝ax+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，直线PD⊥x轴于点D，交直线于点Q．
（1）求a，b的值；
（2）当QP＝OA时，求△APQ的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠AQP的平分线交x轴于点M，请直接写出点M的坐标．
56．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求出点P的坐标．
57．直线AB：y＝x+3分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在线段OB上存在点P，使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标：
（3）在第一象限内是否存在一点E，使得△BCE为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由．
58．已知直线y＝﹣2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）直线AB上是否存在一点C（C与B不重合），使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由．
59．如图，已知正比例函数y＝kx的图象标过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且三角形AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）已知，在直线OA上（除O点外）是否存在点M，使得三角形AHM为等腰三角形？若存在，直接写出OM的长；若不存在，请说明理由．
60．如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+2与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
《一次函数的综合应用题》（60题）
一．解答题（共60小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3），P（x，y）是一次函数图象上一点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交点A和B的坐标；
（3）当△OAP的面积为5时，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）由平移可知，k的值为2，再结合平移后的直线经过点（﹣1，3）即可解决问题．
（2）根据（1）中求得的函数解析式即可解决问题．
（3）根据△OAP的面积为5，求出点P的纵坐标，再根据点P在一次函数的图象上即可解决问题．
【解答】解：（1）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，
所以k＝2．
将点（﹣1，3）的坐标代入y＝2x+b得，
﹣2+b＝3，
解得b＝5，
所以一次函数的解析式为y＝2x+5．
（2）将x＝0代入y＝2x+5得，
y＝5，
所以点B的坐标为（0，5）．
将y＝0代入y＝2x+5得，
x，
所以点A的坐标为（）．
（3）因为△OAP的面积为5，
所以，
解得y＝±4．
当y＝4时，
2x+5＝4，
解得x，
所以点P的坐标为（）．
当y＝﹣4时，
2x+5＝﹣4，
解得x，
所以点P的坐标为（），
综上所述，点P的坐标为（）或（）．
2．在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线y＝2x+5平移得到的且经过点A（﹣1，1），交y轴于点B．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为6，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）依据题意，由该一次函数是由直线y＝2x+5平移得到的，可设此一次函数的表达式为y＝2x+b，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）依据题意，设点P的坐标为（m，2m+3），将x＝0代入一次函数解析式中求出y值，由此即可得出OB的长度，再根据三角形的面积公式结合的面积为6，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，设此一次函数的表达式为：y＝2x+b，
将A（﹣1，1）代入y＝2x+b，
得1＝﹣2+b，
解得b＝3，
∴此一次函数的表达式为y＝2x+3．
（2）由题意，设点P的坐标为（m，2m+3），
当x＝0时，y＝2x+3＝3．
∴点B（0，3）．
∴OB＝3，
∴S△POBOB×|m|＝6．
∴m＝4或m＝﹣4，
当m＝4时，2m+3＝11，
当m＝﹣4时，2m+3＝﹣5．
∴点P的坐标为（4，11）或 （﹣4，﹣5）．
3．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5）、B（6，﹣3）．
（1）求k、b的值；
（2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【思路点拨】（1）将点A和点B坐标代入y＝kx+b即可解决问题．
（2）先根据“上加下减”的平移法则，得出平移后的直线函数解析式，进而得出平移后的直线与坐标轴的交点坐标，据此可解决问题．
【解答】解：（1）将点A和点B坐标为y＝kx+b得，
，
解得，
所以k的值为，b的值为5．
（2）由（1）知，
一次函数解析式为y，
所以将此函数图象向下平移4个单位长度后，所得直线的函数解析式为y．
将x＝0代入y得，
y＝1，
即平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，1）．
将y＝0代入y得，
x，
即平移后的直线与x轴的交点坐标为（，0），
所以平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为：．
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，10）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）将直线AB向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【思路点拨】（1）直接把点A（﹣1，1）和B（2，10）代入一次函数y＝kx+b，求出k，b的值即可得出函数解析式；
（2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，10），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝3x+4；
（2）∵一次函数的解析式为y＝3x+4，
∴将直线AB向上平移2个单位后所得直线的解析式为y＝3x+6，
∵当x＝0时，y＝6；
当y＝0时，x＝﹣2，
∴直线与坐标轴的交点为（0，6），（﹣2，0），
∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积2×6＝6．
5．如图，直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）若将一次函数yx+4的图象绕点B顺时针旋转45°后得到直线m，请写出直线m的解析式 y＝7x+4 ．
【思路点拨】（1）分别将x＝0、y＝0代入直线yx+4中求出与之对应的y、x值，由此即可得出点B、A的坐标；
（2）根据折叠的性质结合勾股定理可求出AB的长度，进而可得出点D的坐标，设OC＝m，则CD＝BC＝4﹣m，在Rt△COD中利用勾股定理可求出m的值，进而可得出点C的坐标，则可求出答案；
（3）过点A作AF⊥直线m于点E，作EF⊥x轴于F．依据全等三角形的性质可得EF＝AO＝3，AF＝BO＝4，进而得出E（﹣1，﹣3），再根据待定系数法即可得出函数表达式．
【解答】解：（1）当x＝0时，yx+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
当y＝0时，有x+4＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
（2）由折叠性质可知，△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，BC＝CD．
在Rt△AOB中，AB5，
∴AD＝5，
∴OD＝AD﹣OA＝5﹣3＝2，
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
设OC＝m，则CD＝BC＝4﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即m2+22＝（4﹣m）2，
解得：m，
∴OC，
∴点C的坐标为（0，）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（3，0）、D（0，）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y．
（3）过点A作AE⊥AB，交直线m于点E，作EF⊥x轴于F．
则∠AFE＝∠BOA＝90°，AE＝BA，∠EAF＝∠ABO，
∴△AOB≌△EFA（AAS），
∴EF＝AO＝3，AF＝BO＝4，
∴FO＝1，
∴E（﹣1，﹣3），
设直线BE的解析式为y＝mx+4，
把点E的坐标代入，得﹣m+4＝﹣3，
解得m＝7，
∴直线BE的解析式为y＝7x+4．
故答案为：y＝7x+4．
6．我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？
（1）将一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为 y＝﹣2x+1 ；
（2）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴的交点为点A，将直线y＝﹣2x+4绕点A逆时针旋转45°，求所得的图象对应的函数表达式．
【思路点拨】（1）利用平移规律得出平移后的函数表达式；
（2）过点B作BD⊥AB交所得的图象于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A、D的坐标，再利用待定系数法即可求得解析式．
【解答】解：（1）利用平移规律得，
将一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，
所得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣2x+4﹣3＝﹣2x+1，
故答案为：y＝﹣2x+1；
（2）如图，过点B作BD⊥AB交所得的图象于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
函数y＝﹣2x+4于y轴交点为点A，与x轴交点为点B，
令x＝0，y＝4，故A（0，4），
∴OA＝4，
令y＝0，x＝2，故B（2，0），
∴OB＝2，
∵将直线y＝﹣2x+4绕点A逆时针旋转45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∠BED＝90°，
∴∠ABO+∠DBE＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠DBE＝∠OAB，∠AOB＝∠BED，
∴△AOB≌△BED（AAS），
∴BE＝OA＝4，DE＝OB＝2，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴D（6，2），
设所得的图象对应的函数表达式为y＝kx+b，
将A（0，4）、D（6，2）代入得，
，
解得，
∴所得的图象对应的函数表达式为．
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积．
【思路点拨】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝3，再将点A（1，2）代入y＝3x+b，求出b的值；
（2）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标；然后利用三角形的面积公式作答．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，
∴k＝3，
将点A（1，2）代入y＝3x+b，
得3+b＝2，
解得b＝﹣1．
∴所求函数的解析式为：y＝3x﹣1；
（2）在y＝3x﹣1中
令x＝0，得y＝﹣1．
即图象与y轴交点为（0，﹣1）．
令y＝0，得x．
即图象与x轴交点为（，0）．
∴S．
8．（1）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于B点，平面上有一点C（2，3），直线向上平移b个单位后直线经过点C，求b的值．
（2）根据（1）问中提供的解题思路完成如下问题：
已知直线y＝mx+n过A（﹣2，0），B（6，8），C为x轴上一点，C点坐标为（2，0），连接BC，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD面积与△ABC面积相等．若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）根据平移规律得到平移后的直线y，由直线经过点C，把C点的坐标代入即可求得b的值；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，由A、C的坐标可知直线y＝x+2向右平移4个单位经过点C，根据同底等高的三角形面积相等可知平移后的直线与y轴的交点即为D点，同理当直线y＝x+2向左平移4个单位得到的直线与y轴的交点也符合题意．
【解答】解：（1）直线向上平移b个单位后得到直线y，
∵经过点C（2，3），
∴3，
∴b＝1；
（2）存在，
∵直线y＝mx+n过A（﹣2，0}，B（6，8），
∴，
解得，
∴直线为y＝x+2，
∵A（﹣2，0），C（2，0），
∴直线y＝x+2向右平移4个单位经过点C，则平移后的直线为y＝（x﹣4）+2，即y＝x﹣2，
∴直线y＝x﹣2交y轴的交点坐标为（0，﹣2）；
当直线y＝x+2向左平移4个单位得到y＝（x+4）+2，即y＝x+6，
∴直线y＝x+6交y轴的交点坐标为（0，6），
∴D点坐标为（0，6）或（0，﹣2）．
9．在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图象经过点（1，2），把此正比例函数的图象向上平移5个单位，得到直线l：y＝kx+b（k≠0），直线l与x轴交于点A．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求A点的坐标；
（3）点B（﹣1，n）是该直线l上一点，点C在x轴上，当△ABC的面积为时，请求出C点的坐标．
【思路点拨】（1）根据待定系数法求得正比例函数的解析式，利用上加下减的原则求得一次函数的解析式；
（2）令y＝0，求得x的值，即可求得A的坐标；
（2）利用三角形面积求得AC，即可根据A的坐标求得C点的坐标．
【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx，
∵正比例函数的图象经过点（1，2），
∴k＝2，
∴正比例函数为y＝2x，
把此正比函数的图象向上平移5个单位，得到一次函数y＝2x+5；
（2）令y＝0，则2x+5＝0，解得x＝﹣2.5，
∴A（﹣2.5，0）；
（3）∵点B（﹣1，n）是该直线上一点，
∴n＝﹣2+5＝3，
∴B（﹣1，3），
∵△ABC的面积为，
∴AC yB，即AC 3，
∴AC＝2.5，
∵A（﹣2.5，0），
∴C（0，0）或（﹣5，0）．
10．如图，已知直线l1：y＝kx（k＞0）上有一点A，直线l1绕着原点O旋转45°得直线l2过点A作AB⊥l1，交直线l2于点B，
（1）当，且点A的横坐标是4，点B在第一象限内时，求点B的坐标和直线l2的解析式；
（2）当点A的横坐标是m（m＞0）时，求旋转后直线的解析式．（用含字母k的式子表示）
【思路点拨】（1）构造一线三直角全等，解出点B的坐标，通过点B的坐标得到L2解析式即可；
（2）分两种情况讨论①当点B在第一象限时，由（1）可知M（m，m+km），xB＝m﹣km，B（m﹣km，m+km），②当点B在第四象限时，利用两直线垂直，k值互为负倒数解答即可．
【解答】解：（1）∵，
∴y，
∵点A的横坐标是4，
∴A（4，2），
如图，过点A作MN⊥x轴，BM⊥MN，
∵∠AOB＝45°，OA⊥AB，
∴OA＝OB，
在△ONA和△AMB中，
，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴ON＝AM，AN＝BM．
∵A（4，2），
∴B（2，6），
设L2解析式为y＝nx，
∴6＝2k，n＝3，
∴直线L2解析式为：y＝3x．
（2）易知yA（m．km），
①当点B在第一象限时，由（1）可知M（m，m+km），xB＝m﹣km，
∴B（m﹣km，m+km），
直线l2的k值，
∴直线l2的解析式为：y．
②当点B在第四象限时，如图示，
∵∠AOB′＝∠AOB＝45°，∠OAB＝∠OAB′＝90°，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOB′（ASA），
∴AB＝AB′，且点A、B、B′共线，
∴点A是BB′的中点，
∵第一象限的l2⊥第四象限l2，
∴直线OB′的k值是，
∴l2的解析式为：y．
综上分析，l2的解析式为：y或y．
11．如图，已知直线l1：yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）直线l2的函数表达式是 yx+2 ；
（3）若点P是线段AB上一点，且S△PBDS△AOB，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）分别令yx+6中x、y＝0求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（2）根据直线l1的函数表达式结合“上加下减”的平移规则即可得出直线l2的函数表达式；
（3）根据直线l2的函数表达式利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点C、D的坐标，进而即可求出BD的值，根据三角形的面积公式结合S△PBDS△AOB即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出P的横坐标，再根据横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，yx+6＝6，
∴点B的坐标为（0，6），
当yx+6＝0时，x＝8，
∴点A的坐标为（8，0），
∴S△AOB24；
（2）∵将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，
∴直线l2的函数表达式是yx+6﹣4x+2．
故答案为：yx+2．
（3）当x＝0时，yx+2＝2，
∴点D的坐标为（0，2）；
∴BD＝6﹣2＝4，
∵S△PBDS△AOB，S△AOB＝24，
∴S△PBD，
∴BD xP，
解得：xP，
当x时，yx+6＝2，
∴点P的坐标为（，2）．
12．在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝kx沿y轴向上平移2个单位后得到直线l，已知l经过点A（﹣4，0）．
（1）求直线l的解析式；
（2）设直线l与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足S△ABPS△ABO，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）根据平移的规律求得直线l为y＝kx+2，然后把点A的坐标代入即可求得k；
（2）求得OB＝2，由S△ABPS△ABO得出APOA＝2或BPOB＝1，从而求得点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（0，1）或（0，3）．
【解答】解：（1）将直线y＝kx沿y轴向上平移2个单位后得到直线l：y＝kx+2，
∵l经过点A（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+2，解得k，
∴直线l的解析式为yx+2；
（2）设直线l与y轴交于点B，则B（0，2），
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∵点P在坐标轴上，S△ABPS△ABO，
∴APOA＝2或BPOB＝1，
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（0，1）或（0，3）．
13．如图，已知直线l1：yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）求四边形ABDC的面积．
【思路点拨】（1）分别令yx+6中x、y＝0求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（2）根据直线l1的函数表达式结合“上加下减”的平移规则即可得出直线l2的函数表达式；
（3）根据直线l2的函数表达式利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点C、D的坐标，进而根据S四边形ABCD＝S△AOB﹣S△COD求出S四边形ABCD的值．
【解答】解：（1）当x＝0时，yx+6＝6，
∴点B的坐标为（0，6），
当yx+6＝0时，x＝8，
∴点A的坐标为（8，0），
∴S△AOB8×6＝24；
（2）∵将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，
∴直线l2的函数表达式是yx+6﹣4x+2．
故答案为：yx+2．
（3）当x＝0时，yx+2＝2，
∴点D的坐标为（0，2）；
当yx+2＝0时，x，
∴点C的坐标为（，0）．
∴S四边形ABCD＝S△AOB﹣S△COD＝242．
14．如图，直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的表达式．
【思路点拨】（1）根据直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求出B（0，6），A（﹣3，0），数形结合，得到△AOB两条直角边长，直接利用直角三角形面积公式求解即可得到答案；
（2）根据OP＝2OA＝6，确定点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0），设平移后的直线为y＝2x+b，利用待定系数法求解即可得到平移后直线的表达式．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴当x＝0时y＝6，即B（0，6）；当y＝0时x＝﹣3，即A（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∴S△AOB；
（2）由（1）知A（﹣3，0），OA＝3，
∴平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，即OP＝2OA＝6，
∴点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0），
设平移后的直线为y＝2x+b，
当直线过（﹣6，0）时，代入y＝2x+b，得b＝12，
即平移后直线为：y＝2x+12；
当直线过（6，0）时，代入y＝2x+b，得b＝﹣12，
即平移后直线为：y＝2x﹣12；
综上所述，平移后直线的表达式为y＝2x+12或y＝2x﹣12．
15．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l1的表达式为 y＝2x ；
（2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的表达式为 yx+2 ；
（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．
【思路点拨】（1）利用平移的性质即可得出结论；
（2）先得到原直线上的两个点的坐标，进而得到这两点关于y＝﹣x对称的点的坐标，代入直线解析式求解即可；
（3）设P的坐标为（x，2x+4），由S△OAP＝2S△OBP，得到OA |2x+4|＝2OB |x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x或2，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，
故答案为y＝2x；
（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线l：y＝2x+4上，
这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），
设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l1的解析式为：yx+2，
故答案为yx+2；
（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
设P的坐标为（x，2x+4），
∵S△OAP＝2S△OBP，
∴OA |2x+4|＝2OB |x|，即|2x+4|＝4|x|，
解得x或2，
∴P（，）或（2，8）．
16．将一次函数y＝2x﹣4的图象进行平移、轴对称、旋转变换，求变换后的函数表达式．
（1）沿x轴向左平移3个单位长度，所得函数图象的表达式是 y＝2x+2 ．
（2）关于y轴对称，所得函数图象的表达式是 y＝﹣2x﹣4 ．
（3）绕原点O旋转90°，所得函数图象的表达式是 yx﹣2或yx+2 ．
【思路点拨】（1）根据平移规律“左加右减”，可以得到新的函数表达式；
（2）关于y轴对称，y不变，x变为﹣x，即可得到新的函数表达式；
（3）求出一次函数y＝2x﹣4的图象的点（0，﹣4）和（2，0）绕原点O顺时针旋转90°后的对应点，从而可求出一次函数y＝2x﹣4的图象绕原点O顺时针旋转90°后的解析式；同理可求出一次函数y＝2x﹣4的图象绕原点O逆时针旋转90°后的解析式，即可得到答案．
【解答】解：（1）将一次函数y＝2x﹣4的图象沿x轴向左平移3个单位长度，得到新的函数表达式为y＝2（x+3）﹣4＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
（2）将一次函数y＝2x﹣4的图象关于y轴对称，得到新的函数表达式为y＝2（﹣x）﹣4＝﹣2x﹣4；
故答案为：y＝﹣2x﹣4；
（3）在y＝2x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝2，
∴一次函数y＝2x﹣4的图象过点（0，﹣4）和（2，0），
分别将（0，﹣4）和（2，0）绕原点O顺时针旋转90°，可得对应点为（﹣4，0）和（0，﹣2），
由（﹣4，0）和（0，﹣2）可知，绕原点O顺时针旋转90°后的直线为yx﹣2；
同理可知绕原点O逆时针旋转90度后的直线为yx+2；
∴将一次函数y＝2x﹣4的图象绕原点O旋转90度，得到新的函数表达式为yx﹣2或yx+2；
故答案为：yx﹣2或yx+2．
17．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
【思路点拨】（1）根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而即可求得A、B的坐标，根据扇形面积公式求得即可；
（2）作CD⊥y轴于D，通过证得△AOB≌△BDC，即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x；令x＝0，则y＝1，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA，OB＝1
∴△AOB的面积；
（2）作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD，
∴C（1，），
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A（，0），C（1，）代入得，
解得，
∴直线l的解析式为yx．
18．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与直线y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）关于x轴对称，直线y＝ax+b与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）点P是直线AC上的动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）由求出点B和点A的坐标，由对称性得到点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y＝ax+b运算即可；
（2）分类讨论P点的位置，结合三角形面积公式运算求解即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
令，解得x＝4，
∴A（4，0），
∵直线与直线y＝ax+b关于x轴对称，
∴由题可得点C（0，2），
把点A（4，0），C（0，2）代入y＝ax+b得，
解得；
（2）直线y＝ax+b的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
由题可得BC＝4，OA＝4，
∴，，
①当点P在x轴上方时，
S△ABP＝S△ABC﹣S△BCP＝8﹣2m＝6，
∴m＝1，
∴此时点；
②当点P在x轴下方时，
S△ABP＝S△BCP﹣S△ABC＝2m﹣8＝6，
∴m＝7，
∴此时点；
综上，点P的坐标为或．
19．已知一次函数的图象经过A（1，﹣2），B（3，2）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若将这个一次函数的图象向上平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【思路点拨】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣2），B（3，2）代入得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）一次函数解析式为y＝2x﹣4向上平移2个单位长度得一次函数y＝2x﹣2，
∴当y＝0时，2x﹣2＝0，则x＝1，
∴图象与x轴交于点A（1，0），
∵一次函数的图象与y轴交于点B（0，﹣2），
所以此函数图象与x轴，y轴围成的三角形的面积．
20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3），P（x，y）是一次函数图象上一点
（1）求一次函数的解析式；
（2）写出图象与x轴、y轴的交点的坐标，并画出一次函数图象；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围；
（4）已知点A（﹣3，0），当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）由平移的性质可得k＝2，再代入（﹣1，3）即可得到解析式；
（2）当x＝0时，y＝5，当y＝0时，，可得交点坐标，再画图即可；
（3）直接根据函数图象可得答案；
（4）由P（x，2x+5），A（﹣3，0），再利用△OPA 的面积为6，建立方程求解P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，
∴一次函数为y＝2x+b，
∵一次函数y＝2x+b经过点（﹣1，3），
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴一次函数为y＝2x+5；
（2）当x＝0时，y＝5，
当y＝0时，2x+5＝0，
∴，
∴图象与x轴、y轴的交点的坐标分别为，（0，5），
画图如下：
（3）由函数图象可得：当y＞0时，；
（4）如图，∵P（x，y），A（﹣3，0），
∴P（x，2x+5），
∵S△OPA＝6，
∴，
解得：或，
当时，y＝2x+5＝4，
当时，y＝2x+5＝﹣4，
∴或．
21．如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据直线与坐标轴的坐标特点即可求解．
（2）连结BF，根据题意可证明△AOE≌△OBF，得到BF＝OE，求出BF＝2，再利用在Rt△BEF中，由股定理求得EF＝2；
（3）根据平行求出直线BC的函数表达式为yBCx﹣4，得到C（﹣3，0），OC＝3，再分当M在A点左侧，当M点在A点右侧分别进行求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
∴A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，﹣4）；
（2）连接BF，如图：
∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵OG⊥AE，
∴∠BOF+∠OEA＝90°，
∵∠OAE+∠OEA＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
∵OF＝AE，
∴△AOE≌△OBF（SAS），
∴∠OBF＝∠EOA＝90°，BF＝OE，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE＝BE＝BF＝2，
∴EF＝2；
（3）存在，
∵，BC∥OG，B（0，﹣4），
∴直线BC的解析式为yx﹣4，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴OC＝3，BC＝5，
当M在A点左侧时，在OA上取OM＝OC，如图：
∴∠CBO＝∠MBO，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠CBO+∠ABM＝∠MBO+∠ABM＝∠OBA＝45°，
∴此时M点即为所求，
∵OC＝3，
∴OM＝3，
∴M的坐标为（3，0）；
当M在A点右侧时，如图：
∵∠ABM+∠CBO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠CBM＝90°，
设M（x，0），则OM＝x，由勾股定理可得，
BM2＝OB2+OM2＝MC2﹣BC2，
∴16+x2＝（x+3）2﹣52，
解得x，
此时M的坐标为（，0），
综上所述，在x轴上存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，点M的坐标为（3，0）或（，0）．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：yx+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20成立时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【思路点拨】（1）将点M的坐标代入函数的解析式即可求得a的值，从而确定点M是坐标，再将点M的坐标代入y＝kx﹣2即可求得k值；
（2）首先得到直线的解析式，然后得到点D的坐标，根据△PBM的面积＝S△BDM+S△BDPBD×（xM﹣xP）（3+2）（4﹣xP）＝20，求得xP＝﹣4，代入直线CD的解析式即可求得点P（﹣4，﹣5）；
（3）设点F的坐标为（m，m+3），点N（a，b），根据点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2）得到BD＝5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点且BF＝BN，两种情况得到点N的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（﹣5，）．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入yx+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k，
∴a＝1，k；
（2）由（1）得直线CD的表达式为：yx﹣2，
则点D（0，﹣2），
∴△PBM的面积＝S△BDM+S△BDPBD×|xM﹣xP|（3+2）|4﹣xP|＝20，
解得：xP＝﹣4或xP＝12，
故点P（﹣4，﹣5）或P（12，7）；
（3）设点F的坐标为（m，m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（m）2，
解得m＝±2，
则点F的坐标为（2，3）或（﹣2，3），
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2，2）或（﹣2，2）；
当点F在点N的下方时，则BD＝DF，不符合题意；
以BD为对角线时，F，N的纵坐标为，F的横坐标为：
x+3，
解得：x＝5，
∴N的坐标为（﹣5，），
综上，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（﹣5，）．
23．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M．
（1）求直线l1的表达式．
（2）求△BOM的面积．
（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线l1和l2交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．
【思路点拨】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）把x＝0代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）由图象可知直线l1在直线l2上方即可，由此即可写出n的范围．
【解答】解：（1）∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∴点B（2，4），
设直线l1的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：，
解得，
∴直线l1的表达式为yx+3；
（2）将x＝0代入yx+3，得：y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴△BOM的面积OM |xB|3×2＝3；
（3）当点C位于点D上方时，即是直线l1在直线l2上方，如图：
由图象可知n＜2．
24．如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）P与C的纵坐标一定互为相反数，据此求得P的纵坐标，代入直线解析式求得横坐标．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线l2的解析式是yx﹣6；
（2）在y＝﹣3x+3中，令y＝0，解得：x＝1．
则D的坐标是（1，0）．
根据题意得：，
解得：，
则C的坐标是（2，﹣3），
则AD＝4﹣1＝3，
S△ADCAD×3；
（3）点P的纵坐标是3，把y＝3代入yx﹣6，得x＝6．
则P的坐标是（6，3）．
25．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）在x轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据已知求得A、B坐标，由重点坐标公式求C坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可；
（2）设P点坐标，当△ABP是直角三角形分两种情况：∠ABP＝90°或∠APB＝90°时求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x＝0时，y＝2×0+4＝4，则B（0，4），
当y＝0时，0＝2x+4，x＝﹣2，则A（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴BC＝∵点C是OB的中点，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∴S△ABCCB×CO＝2
设D（m，0），
则AD，
∴S△ACD，
当S△ACD＝S△ABC时，2，
解得：m＝﹣4或m＝0，
∴D（﹣4，0）或（0，0）；
（2）设x轴存在一点P（m，0），使得△ABP是直角三角形，
∵A（﹣2，0），B（0，4），∠AOB＝90°，
∴根据勾股定理可得：AB2＝OB2+OA2，
∴AB2＝20，
∵AP2＝（m+2）2，BP2＝m2+16，（距离公式），
△ABP是直角三角形，分两种情况：
①∠APB＝90°时，P与原点重合，此时P（0，0）；
②∠ABP＝90°时，则AB2+BP2＝AP2，
∴20+m2+16＝（m+2）2，
解得：m＝8，此时P（8，0），
综上所述：P（0，0）或（8，0）．
26．如图，平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）当0＜yAC＜yOA时，自变量x的取值范围是 8＜x＜12 ；
（3）动点M在射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，利用待定系数法，即可求得直线AC解析式；
（2）根据图象即可作答；
（3）设M的横坐标为a，△OMC的面积是△OAC的面积的，即OC |a|OC×8，M点的横坐标等于4或﹣4，代入即可求出．
【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：，
解得，
∴直线AC表达式为y＝﹣x+12；
（2）当0＜yAC＜yOA时，
根据图象可知，
8＜x＜12；
（3）存在，理由如下：
动点M在射线AC上运动时，
设M的横坐标为a，
△OMC的面积是△OAC的面积的，
即OC |a|OC×8，
∴M点的横坐标等于4或﹣4，
将x＝4代入y＝﹣x+12，
解得：y＝8，
将x＝﹣4代入y＝﹣x+12，
解得：y＝16，
此时点M的坐标（4，8）或（﹣4，16）．
27．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）试判断点P（m+1，m﹣1）是否在直线AB上，并说明理由；
（3）若点Q是x轴上一动点，当△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形时，请直接写出Q点坐标．
【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把点P（m+1，m﹣1）代入（1）中的直线进行验证即可；
（3）根据条件点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，判断分两种情况：①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边；②以点A为顶角顶点，点Q在点A左边，③以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将A（2，0），B（0，﹣2）代入得，
，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2；
（2）将x＝m+1代入y＝x﹣2得，y＝m+1﹣2＝m﹣1，
∴点P（m+1，m﹣1）在直线AB上；
（3）如图，由已知得点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，
∵A（2，0），B（0，﹣2），
∴AB，
①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边，AQ＝AB，
∴OQ＝OA+AQ＝2，
∴Q（2，0）；
②以点A为顶角顶点，点Q在点A左边，
在Rt△AOB中，AB，
∴Q（2，0）；
③以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，BQ＝AB，
∵∠BOQ＝90°，OB＝2，BQ，
由勾股定理得OQ，
∴Q（﹣2，0），
综上，Q（2，0）、（2，0）或（﹣2，0）．
28．如图，已知，在直角坐标系中，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）求点A、C的坐标；
（2）若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．
（3）经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．
【思路点拨】（1）点A和点C是函数与坐标轴的交点，分别让给x＝0，y＝0，求其对应的值即可；
（2）根据题意，分类讨论即可；
（3）当点P在OA上，当点P经过点O之后，分别计算即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
当y＝0时，x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴线段OA＝6，线段OC＝8；
（2）①当AC＝AB时，
此时x轴为线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC＝8，
∴点B的坐标为（0，﹣8）；
②当AC＝CB且点B在点C上方时，
由勾股定理可知，
AC10，
∴BC＝10，
∴点B的坐标为（0，16）；
③当BC＝AC且点B在点C下方时，
∴BC＝AC＝10，
∵OC＝8，
∴OB＝2
∴点B的坐标为（0，﹣2）；
综上，B点坐标为（0，﹣8）或（0，16）或（0，﹣2）；
（3）设经过t秒后，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＜6时，
OP＝6﹣t，OQ＝2t，
S△POQOP×OQ（6﹣t）×2t＝8，
解得t＝2或4，
∴当t为2秒或4秒时，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＞6时，
OP＝t﹣6，OQ＝2t，
S△POQOP×OQ（t﹣6）×2t＝8，
解得t＝3或3（舍去），
∴当t为（3）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位．
综上，当t为2秒或4秒或（3）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位，
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E．
（1）求直线AB的解析式和点D的坐标．
（2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值；
（3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方．
①求△ABP的面积；
②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．
【思路点拨】（1）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将x＝2代入关系式，求出y，即可得出点D的坐标；
（2）确定点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3），再根据轴对称说明AQ+DQ的值最小，然后根据勾股定理求出答案；
（3）①，先求出DP，OE，BE，再根据S△ABP＝S△ADP+S△BDP得出答案．对于②，先以PB为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，分别把（0，3），B（6，0）代入得，
解得
所以yx+3．
当x＝2时，y2+3＝2．
所以点D 的坐标为（2，2）．
（2）作点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3）．
当点D，A′，Q三点共线，即连接DA′交x轴于点Q，此时存在点Q使AQ+DQ的值最小．
AQ+DQ的值最小为DA′．
（3）①根据题意可知DP＝6，OE＝2，BE＝4，
S△ABP＝S△ADP+S△BDP2×64×6＝18；
②以PB为直角边作等腰直角△BPC1，△BPC2，则△BPC3为等腰直角三角形．
∵BE＝PE＝4，
∴∠EBP＝∠EPB＝45°，BP＝4，
∴BC1⊥x轴，
∴BC1＝8，
则点C1（6，﹣8），C3（6，﹣4）．
∵∠BPE＝∠BPC2＝45°，
∴PC2∥x轴，PC2＝8，
则点C2（10，﹣4）．
综上所述：C1（6，﹣8），C2（10，﹣4），C3（6，﹣4）．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点B，与x轴交于点C，线段OB，OC（OB＞OC）的长是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根，直线y＝x交BC于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系中有一点P（6，m），求△AOP的面积S与m的函数关系式；
（3）M为直线BC上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线OA于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）通过解方程确定点C（3.0），B（0.6），再用待定系数法求直线表达式为y＝﹣2x+6，最后联立，解二元一次方程组即；
（2）分类讨论，当点P在点E下方时，即m＜6，得到S＝S△PEO﹣S△PEA，当点P在点E上方时，即m＞6，得到S＝S△PEO﹣S△PEA，代入即可求解；
（3）分类讨论，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ．则有MN＝2|xM|＝2|t|，得到|3t﹣6|＝2|t|，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，则MN＝|xM|＝|t|，得到3t﹣6|＝2|t|，分别求解即可．
【解答】（1）解：x2﹣9x+18＝0，
解得x＝3或x＝6，
∵OB＞OC，
∴C（3，0），B（0.6），
将C（3，0），B（0，6）代入y＝kx+b（k≠0）
得：，
解得：，
∴直线表达式为y＝﹣2x+6，
联立得：，
解得，
∴点A（2，2）；
（2）解：由题意得点P在直线x＝6上，
设直线x＝6与直线y＝x交于点E，交x轴于点F，
将x＝6代入y＝x得y＝6，
∴EF＝OF＝6，
①当点P在点E下方时，即m＜6，如图：
S＝S△PEO﹣S△PEA（6﹣m）×6（6﹣m）×（6﹣2）＝6﹣m；
②当点P在点E上方时，即m＞6，如图：
S＝S△PEO﹣S△PEA（m﹣6）×6（m﹣6）×（6﹣2）＝m﹣6；
综上所述，△AOP的面积S与m的函数关系式为：S；
（3）解：令直线AB为l1，直线AO为l2，
M（t，﹣2t+6），则N（t，t），
∴MN＝|﹣2t+6﹣t|＝|3t﹣6|，
①如图1，若∠MON＝90°，MQ＝NQ，
过点Q作QG⊥MN，
∴点G为MN中点，
∴QGMN，
则有MN＝2|xM|＝2|t|，
∴|3t﹣6|＝2|t|，
∴t或t＝6，
∴M（，）或（6，﹣6），
②如图2，图3，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，
则MN＝|xM|＝|t|，
∴|3t﹣6|＝|t|，
∴t或t＝3，
∴M（，3）或（3，0），
综上所述，M的坐标为（，）或（6，﹣6），或（，3）或（3，0）．
31．如图，直线AB：yx+b，其中B（﹣1，0），点A横坐标为4，点C（3，0），直线FG垂直平分线段BC．
（1）求b的值与直线AC的函数表达式；
（2）D是直线FG上一点，且位于x轴上方，将△BCD翻折得到△BC'D′，若C'恰好落在线段FG上，求C'和点D的坐标；
（3）设P是直线AC上位于FG右侧的一点，点Q在直线FG上，当△CPQ为等边三角形时，求BP的函数表达式．
【思路点拨】（1）把点B（﹣1，0）代入直线AB：yx+b中，可得（﹣1）+b＝0，得b，写出AB的函数关系式：yx，当x＝4时y，设AC的函数关系式为：y＝mx+n，把A，C两点坐标代入即可求解；
（2）证明△BCC′是等边三角形，即可求解；
（3）分类讨论，利用全等三角形知识探索直线BP的特征．
【解答】（1）把点B（﹣1，0）代入直线AB：yx+b中，
得（﹣1）+b＝0，
∴b，
∴AB的函数关系式：yx，
当x＝4时y，
∴点A的坐标为（4，），
设AC的函数关系式为：y＝mx+n，
把A（4，），C（3，0）两点坐标代入，
得，
∴k，b＝5，
∴直线AC的函数表达式为：yx﹣5；
（2）∵直线FG垂直平分线段BC，
∴BC＝CC′，BG＝CG＝2，
由翻折可得BC＝BC′，
∴△BCC′是等边三角形，
∴BC＝BC′＝4，
∴GC′＝2，OG＝1，
∴点C′的坐标为（1，2），
当x＝1时，yx，
∴点D坐标为（1，）；
（3）∵△BCC′是等边三角形，AB垂直平分CC′，
①点P在x轴上方，如图2，
∵△BCC′和△PQC都是等边三角形，
∴CC′＝CB，CP＝CQ，∠PCQ＝∠BCC′＝60°，
∴∠PCC′＝∠QCB，
∴△PCC′≌△QCB（SAS），
∴PC′＝QB，
∵QB＝QC，CP＝CQ，
∴PC＝PC′，
∵BC＝BC′，
∴PB垂直平分CC′，
∴点P与点A重合，
∴PB的函数关系式就是AB的函数关系式：yx；
②点P在x轴下方，如图3，
∵△BCC′和△PQC都是等边三角形，
∴CC′＝CB，CP＝CQ，∠PCQ＝∠BCC′＝60°，
∴∠PCCB∠QCBC′，
∴△PCB≌△QCC′（SAS），
∴∠CBP＝∠CC′Q＝30°，
在Rt△BHO中，BO＝1，
∴HO＝tan∠OBH BO，
∴点H的坐标为（0，），
设BP的函数关系式为y＝mx+n，
把点B（﹣1，0），H（0，）代入得，
，
解得k，b，
∴PB的函数关系式yx，
综上所述PB的函数关系式yx或yx．
32．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．
【思路点拨】（1）用待定系数法求直线n的函数解析式；
（2）根据△ABC的面积为9可求得AC的长，可得出结论；
（3）过点B作BD⊥y轴于点D，则CD＝AD＝4，得C（0，6），设直线l的解析式为：y＝kx+b，将B，C代入即可．
【解答】解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2），点B（3，2），
∴，解得：，
∴直线n的函数解析式为：y；
（2）∵若△ABC的面积为9，
∴9，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∵点C在y轴正半轴，
∴C（0，4）；
（3）当AB＝BC时，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
设直线l的解析式为：y＝kx+b，
将B（3，2），C（0，6）代入得：
，
解得，
∴直线l的解析式为：y．
33．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+b经过（0，4）、（10，﹣4）两点．与x轴交于一点A，与y轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）分别求出A和B的坐标，并求出AB的长；
（3）求出△AOB的面积：
（4）观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？
（5）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标．
【思路点拨】（1）根据点的坐标，利用待定系数法，即可求出这条直线的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，再利用勾股定理，即可求出AB的长；
（3）利用三角形的面积公式，即可求出△AOB的面积：
（4）观察图象，即可得出结论；
（5）设P点的坐标为（m，0），则PA2＝（m﹣5）2，PB2＝m2+42，分PA＝PB，AP＝AB及BP＝BA三种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可列出关于m的方程，解之可得出m的值，进而可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）将（0，4），（10，﹣4）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴这条直线的解析式为y＝﹣0.8x+4；
（2）当y＝0时，﹣0.8x+4＝0，
解得：x＝5，
∴点A的坐标为（5，0），
∴OA＝5；
当x＝0时，y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4，
∴AB；
（3）S△AOB OA OB5×4＝10；
（4）观察图象可知：当x＜5时，y大于0；
当x＞5时，y小于0；
（5）设P点的坐标为（m，0），则PA2＝（m﹣5）2，PB2＝m2+42，
①当PA＝PB时，（m﹣5）2＝m2+42，
解得：m，
∴P点的坐标为（，0）；
②AP＝AB时，（m﹣5）2＝41，
解得：m＝5或m＝5，
∴P点的坐标为（5，0）或（5，0）；
③当BP＝BA时，m2+42＝41，
解得：m＝﹣5或m＝5（不符合题意，舍去），
∴P点的坐标为（﹣5，0）．
综上所述，当P点的坐标为（，0）或（5，0）或（5，0）或（﹣5，0）时，△PAB为等腰三角形．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A（3，0），点B（0，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（3，0），B（0，3）代入计算即可；
（2）设点C的坐标为（m，﹣m+3），则S△AOC3×（﹣m+3）＝3，解方程即可得出m；
（3）由C（1，2），得OC，分OC＝OP，OC＝CP，OP＝CP三种情况，分别计算即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入得：
∴，
∴
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设点C的坐标为（m，﹣m+3），
S△AOC3×（﹣m+3）＝3，
∴m＝1，
∴﹣m+3＝﹣1+3＝2，
∴C的坐标为（1，2）；
（3）存在点P，使得△COP是等腰三角形，
∵C（1，2），
∴OC，
当OC＝OP时，
P（，0）或P（，0），
当OC＝CP时，
P（2，0），
当OP＝CP时，如图：
设OP＝x，则CP＝x，DP＝x﹣1，
在Rt△CDP中，由勾股定理得：
CD2+DP2＝CP2，
∴22+（x﹣1）2＝x2，
解得x，
∴P（，0），
∴存在一点P，使得△COP是等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（2，0）或（，0）．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，A（﹣2，0），yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，D（10，0），AD＝10+2＝12， 4＝10，即可求解；
②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线yx+b过点C，
4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形．
36．如图，直线yx+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点匀速出发，同时到达A点，到达A时运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O B A运动．
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）求点P的速度；
（3）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出点P在线段OB上运动时间t的取值范围，以及S与t之间的函数关系式．
【思路点拨】（1）令x＝0，y＝0求出点A、B的坐标；
（2）由点A、B、O的坐标，求出OB、OA、AB的长度，利用“速度×时间＝路程”和同时出发同时停止，求出点P的速度；
（3）用含有t的代数式表示OP、OQ的长度，根据三角形面积公式求出△OPQ的面积S．
【解答】解：（1）当y＝0时，x＝8，当x＝0时，y＝6，
∴A（8，0），B（0，6）．
（2）∵OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10，
∵点Q由O到A的时间是8秒，
∴点P的速度是：（6+10）÷8＝2（个单位长度/秒），
∴点P每秒运动2个单位长度．
（3）当P在线段OB上运动时，0≤t≤3，
∵OQ＝t，OP＝2t，
∴St2（0≤t≤3）．
37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在x轴上，BC平分∠ABO．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AC的长；
（3）在x轴上是否存在点D，使得△ABD是等腰三角形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用坐标轴上点的特征即可求出A，B点的坐标；
（2）先构造全等三角形，再在Rt△AEC中利用勾股定理进行求解，从而得出AC的长；
（3）利用等腰三角形的性质进行求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，
又∵CO⊥BO，BC平分∠ABO，
∴EC＝OC，
在Rt△OBC和Rt△EBC中，
∴Rt△OBC≌Rt△EBC（HL）
∴BE＝OB＝3，
设OC＝EC＝x，
则AC＝4﹣x，AE＝5﹣3＝2，
在Rt△AEC中，
AE2+EC2＝AC2，
即22+x2＝（4﹣x）2，解得x，
∴AC＝4，
∴线段AC的长为；
（3）存在，理由如下：当AB为底时，点D在AB的垂直平分线与x轴的交点处，
设AB的中点为F，则F点的坐标为（﹣2，），
直线DF的解析式可设为y（x+2），
令y＝0，x，
则点D1的坐标为（，0），
当AB为腰时，①AB＝AD，当点D在A点右侧时，此时点D2的坐标为（1，0），
当点D在A点左侧时，此时点D3的坐标为（﹣9，0），
②AB＝BD，此时点D与点A关于y轴对称，则点D4的坐标为（4，0），
综上所述点D的坐标为（，0）或（4，0）或（﹣9，0）或（1，0）．
38．如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标．
【思路点拨】（1）联立两条直线的解析式即可得出点A的坐标；
（2）由点P的坐标可得出点D，E的坐标，再根据DE＝6，列出方程，求解可得a的值；
（3）由（2）可得点D，E的坐标，再结合等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）令﹣x+4＝2x+1，解得x＝1，
∴y＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3）；
（2）由题意可知，D（a，﹣a+4），E（a，2a+1），
∴DE＝|2a+1﹣（﹣a+4）|＝9，
解得a＝﹣2或a＝4，
∴a的值为﹣2或4；
（3）设DE与x轴的交点为H，
当a＝﹣2时，D（﹣2，6），E（﹣2，﹣3），
以D为圆心，DE长为半径画弧交x轴负半轴于点Q，
QH3，
∴Q点的横坐标为﹣32，
∴Q（﹣32，0）；
同理：以E为圆心，DE长为半径画弧交x轴负半轴于点Q′，
Q′H6，
∴Q′点的横坐标为﹣62，
∴Q′（﹣62，0）；
当a＝4时，D（4，0），E（4，9），
以E为圆心，DE长为半径画弧与x轴负半轴无交点，
以D为圆心，DE长为半径画弧与x轴负半轴交于Q″，
∴Q″的横坐标为：﹣（9﹣4）＝﹣5，
Q″（﹣5，0）．
故点Q的坐标为（﹣32，0）或（﹣62，0）或（﹣5，0）．
39．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，由A（8，4）得AH＝8，故S△OACOC AH12×8＝48；
（3）①若M在线段OA上时，由△OMC的面积是△OAC的面积的，知M为OA中点，即得M（4，2），②当M在射线AC上时，△OMC的面积是△OAC的面积的，则M为AC的中点，可得M（4，8），由等底同高的三角形面积相等可得，M'（﹣4，16）．
【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
，
解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OACOC AH12×8＝48；
（3）存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2）；
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由题意CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段MM'的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴M'（﹣4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．
40．如图，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A，OA＝4，与正比例函数y＝3x的图象交于点B，B点的横坐标为1．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标；
（3）若点D（4，﹣2），点P是y轴上的一个动点，连接BD，PB，PD，是否存在点P，使得△PBD的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD周长的最小值．
【思路点拨】（1）根据题意可得A（4，0），再将B点的横坐标代入y＝3x求出点B的纵坐标，以此即可利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设C（0，a），则OC＝|a|，再根据三角形的面积公式可得S△BOC，6，再由列出方程，求解即可；
（3）根据两点间距离公式求得BD，由C△PBD＝PB+PD+BD可得，要求△PBD周长的最小值，即求PB+PD的最小值，作点B关于y轴的对称点E，连接DE，交y轴于点P，以此得到PB+PD的最小值为DE，根据两点间距离公式求出DE，即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝4，
∴A（4，0），
∵点B在正比例函数y＝3x的图象上，且B点的横坐标为1，
∴y＝3×1＝3，即B（1，3），
将A，B两点分别代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4；
（2）设C（0，a），则OC＝|a|，
∴S△BOC，
6，
∵，
∴，
解得：a＝±6，
∴C（0，6）或（0，﹣6）；
（3）存在点P，使得△PBD的周长有最小值．理由如下：
∵点B（1，3），D（4，﹣2），
∴BD，
∴C△PBD＝PB+PD+BD，
∴要求△PBD周长的最小值，即求PB+PD的最小值，
作点B关于y轴的对称点E，连接DE，交y轴于点P，如图，
则点E的坐标为（﹣1，3），
则PB+PD≥DE，即PB+PD的最小值为DE，
∴DE，
∴△PBD周长的最小值．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，直线x＝1交x轴于点E，其中P（1，n）是直线x＝1上一动点．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）如图1，当n＝4时，过点P作PF⊥y轴于点F，连接PA，试说明△AOB≌△PFA；
（3）如图2，连接OP，BP．
①当n时，判断△OBP的形状，并说明理由；
②是否存在实数n，使△OBP为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，根据x轴上当的坐标特征求出点B的坐标；
（2）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（3）①根据勾股定理分别求出PB、AP、OB的长，根据等腰三角形的判定定理解答；
②根据直角三角形的判定定理列出关于n的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵yx+b经过A（0，1），
∴b＝1，
∴直线AB的解析式是yx+1，
当y＝0时，x+1＝0，
解得，x＝3，
则点B的坐标为：（3，0）；
（2）当n＝4时，AF＝OF﹣OA＝3，PF＝OA＝1，
在△AOB和△PFA中，
，
∴△AOB≌△PFA；
（3）①当n时，
由勾股定理得，PB3，AP，
∴OB＝PB，即△OBP是等腰三角形；
②当△OBP为直角三角形时，
由射影定理得，PE2＝OE BE，即n2＝1×2，
解得，n，
则当n时，△OBP为直角三角形．
42．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，与x轴交于点D，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 ；
（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 1＜x＜3 ；
（3）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；
（4）在x轴上求一点Q，使△QBD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【思路点拨】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；
（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；
（3）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．
（4）求得D（3，0），设点Q的坐标为（a，0），得到QB，QD＝|3﹣a|，BD3，然后分三种情况：QD＝BD、QD＝QB、BD＝QB解答即可得解．
【解答】解：（1）如图所示：
方程组，
解得：；
故答案为：；
（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，
x取何值范围是：1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
（3）令x＝0，则y1＝2x﹣2＝﹣2，y2＝﹣2x+6＝6，
∴A（0，﹣2），B（0，6），
∴AB＝8，
∴S△ABC8×2＝8，
令P（x0，2x0﹣2），则S△ABP8×|x0|＝2×8，
∴x0＝±4．
∴x0＝﹣4时，2x0﹣2＝﹣10；x0＝4时，2x0﹣2＝6；
∴P（﹣4，﹣10）或（4，6）；
（4）令y2＝0，则x＝3，
∴D（3，0），
设点Q的坐标为（a，0），
∴QB，QD＝|3﹣a|，BD3，
当QD＝BD时，|3﹣a|＝3，
∴a＝3±3，
∴点Q的坐标为：（3+3，0）或（3﹣3）；
当QD＝QB时，|3﹣a|，
∴a＝﹣4.5，
∴点Q的坐标为（﹣4.5，0）；
当BD＝QB时，3，
∴a＝﹣3或3（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为 （﹣3，0）；
综上，点Q的坐标为（3+3，0）或 （3﹣3，0）或 （﹣4.5，0）或 （﹣3，0）．
43．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据直线y＝﹣x+1即可求得A、B的坐标；
（2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA＝OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB＝∠OBA＝45°，即可求得∠APE＝45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ＝90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP＝∠BPQ．
（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）QP＝QO；（ⅱ）QP＝QO；（ⅲ） 若PO＝PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，
令x＝0，则y＝0+1＝1，
∴A（0，1），
令y＝0，则0＝﹣x+1，
解得：x＝1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP＝∠BPQ．
理由如下：
过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE＝45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ＝90°，
∵∠AOP+∠OPE＝90°，
∴∠AOP＝∠BPQ．
（3）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如图，过P点PE⊥OA交OA于点E，
（ⅰ）若OP＝OQ，
则∠OPQ＝∠OQP，
∴∠POQ＝90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP＝QO，
则∠OPQ＝∠QOP＝45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y＝﹣x+1得x，
∴点P坐标为（，），
（ⅲ） 若PO＝PQ
∵∠OPQ+∠1＝∠2+∠3，
而∠OPQ＝∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠3＝∠4＝45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB＝OA＝1，
∴AP1
由勾股定理求得PE＝AE＝1，
∴EO，
∴点P坐标为（1，），
∴点P坐标为（0，1），（，）或（1，）时，△OPQ是等腰三角形．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2与交于点M、N，
①若线段MN＝2，此时点N的坐标为 或 ；
②y轴上有一点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，当点M在点N的下方时，请直接写出Q点的坐标．
【思路点拨】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交于点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）①根据题意设点M、N的坐标，根据MN＝1.5列方程求解即可；
②分∠MQN＝90°、∠QNM＝90°、∠NMQ＝90°三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线l2：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把x＝0，则y＝3；
把y＝0，则x＝6，
∴与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵直线l1与l2交于点C，
联立得方程组：两个函数表达式得：x+3＝x，
解得：x＝2，
故点C（2，2）；
则△COB的面积OB×xC3；
（2）①设点M、N的坐标分别为（m，m）、（m，3m），
根据题意可得：|m﹣（3m）|＝2，
解得：m或m，
所以点N的坐标为： 或，
故答案为： 或；
②y轴上存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，理由如下：
设M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3m）、（0，n），
当∠MQN＝90°时，
如图1.2，作PQ⊥MN交MN于点P，
由题意得：MN＝2PQ，
∴m+3﹣m＝2m，
解得：m，
∴Q点坐标为：（0，）；
当∠QNM＝90°时，如图2：
则MN＝QN，即：3m﹣m＝m，
解得：m，
∴Q点坐标为：（0，）；
当∠NMQ＝90°时，如图3：
则MN＝QM，即：3m﹣m＝m，
解得：m，
∴Q点坐标为：（0，），
综上，点Q的坐标为：．
45．如图1，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与正比例函数y＝k2x的图象交于点C（6，12）．
（1）直接写出正比例函数与一次函数的表达式；
（2）如图2，点E是直线BC上的一动点（与B，C点不重合），过点E作EP⊥x轴于点P，交直线OC于点F，设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当EF＝OB时，a的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若E是线段BC上一动点（与B，C点不重合），连接CP，直线OC能否把△CEP分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设点E（a，a+4），则点F（a，2a），则EF＝|a+4﹣2a|＝|a﹣4|，则4＝|a﹣4|，即可求解；
（3）直线OC能否把△CEP分成面积之比为2：3的两部分，则EFEP或EP，即可求解．
【解答】：（1）将点C的坐标代入y＝k2x得：12＝6k2，
则k2＝2，
则正比例函数的表达式为：y＝2x；
由题意得：，解得：，
则一次函数的表达式为：yx+4；
（2）设点E（a，a+4），则点F（a，2a），
则EF＝|a+4﹣2a|＝|a﹣4|，
则4＝|a﹣4|，
解得：a＝0（舍去）或12；
（3）能，理由：
直线OC能把△CEP分成面积之比为2：3的两部分，则EFEP或EFEP，
即﹣（a﹣4）（a+4）或﹣（a﹣4）（a+4），
解得：a＝2或，
则点E（2，）或（，）．
46．如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．
（1）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．求证：△OAP≌△OBC．
（2）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，
①线段OM与AN有什么数量关系？
②若S表示三角形的面积，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值．
【思路点拨】（1）用ASA证明△OAP≌△OBC（ASA），即可求解；
（2）①证明△MOD≌△NAD（ASA），即可求解；
（2）点D为AB的中点，则S△DOBS△AOB8＝4，而△MOD≌△NAD，则S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°，
∴∠AOP＝∠BHP，
∵∠APO＝∠BPH，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，∠OAP＝∠OBC，OA＝OB，∠AOP＝∠BOC，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）解：①线段OM＝AN，
理由如下：如图2，连接OD，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，点D为AB的中点，
∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°，
∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°，
∴∠MOD＝∠NAD，
∵∠ODA＝∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA，
在△MOD和△NAD中，∠MOD＝∠NAD，OD＝AD，∠MDO＝∠NDA，
∴△MOD≌△NAD（ASA），
∴OM＝AN；
（2）式子S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，
理由如下：S△AOB4×4＝8，
∵点D为AB的中点，
∴S△DOBS△AOB8＝4，
∵△MOD≌△NAD，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4．
47．在平面直角坐标系xOy中，A（0，t），B（0，t+4），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．
（1）当t＝0时，①在点，P2（1，3），中，线段AB的直角点是 P2、P3 ；
②直线y＝x+b上存在四个线段AB的直角点，求出b取值范围；
（2）直线与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出t取值范围．
【思路点拨】（1）①由线段AB的直角点定义可求解；
②由圆周角定理可得点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，求出直线y＝x+b过点C时b的值和直线y＝x+b与以BC为直径或以AC为直径的圆相切时b的值，即可求解；
（2）由题意可得以BC为直径或以AC为直径的圆与线段MN的交点只有两个，利用特殊位置求解即可．
【解答】（1）解：①当t＝0时，则点A（0，0），点B（0，4），
∵点C是AB中点，
∴点C（0，2），
∴AC＝BC＝2，
∵，AC2＝4，
∴，
∴点P不是线段AB的直角点，
∵，BC2＝4，
∴
∴∠BP2C＝90°，
∴点P2是线段AB的直角点，
∴，
∴，
∴∠CP3A＝90°，
∴点P3是线段AB的直角点；
故答案为：P2，P3；
②当直线y＝x+b经过点C（0，2）时，设直线y＝x+b交x轴于点G，
得：2＝0+b，
解得：b＝2，
∴直线CG的解析式为y＝x+2，
当y＝0时，得：x＝﹣2，
∴G（﹣2，0），
∴AC＝AG＝2，
∴∠ACG＝45°，即直线CG与y轴所成的锐角为45°，
∵∠APC或者∠BPC为直角，
∴点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，
如图，当直线y＝x+b与以AC为直径的圆相切时，直线y＝x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即存在三个线段AB的直角点，
当直线y＝x+b与以BC为直径的圆相切时，直线y＝x+b与以BC为直径的圆和以AC为直径的圆有三个交点，即存在三个线段AB的直角点，
设切点分别为F、F1以AC为直径的圆的圆心为E，以BC为直径的圆的圆心为E1，直线y＝x+b与y轴交于点H（当直线y＝x+b与以BC为直径的圆相切时，与y轴交于点H1），连接EF，E1F1，
∵直线y＝x+b与以AC为直径的圆相切，
∴EF⊥FH，
∵直线y＝x+b与直线CG：y＝x+2平行，
∴∠FHE＝∠ACG＝45°，
∴∠FEH＝90°﹣∠FHE＝90°﹣45°＝45°＝∠FHE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
用同样的方法，当直线y＝x+b与以BC为直径的圆相切时，，
∴，
∴，
∴，
当直线y＝x+b经过点C时，直线y＝x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即直线y＝x+b上存在三个线段AB的直角点，此时b＝2，
∴当或时，直线y＝x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有四个交点，即直线y＝x+b上存在四个线段AB的直角点；
（2）∵直线与x，y轴交于点M，N，
当y＝0时，得：x＝2，
当x＝0时，得：，
∴M（2，0），N（0，2），
∴OM＝2，，
∴，
∴，
∴∠MNO＝30°，
如图，当直线与以AC为直径的圆相切于点F，
设AC为直径的圆的圆心为E，连接EF，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，
∵A（0，t），B（0，t+4），线段AB的中点为C，
∴AB＝4，AC＝BC＝2，
∵直线与以AC为直径的圆相切于点F，
∴EF⊥MN，
∴∠MNO＝30°，
∴NE＝2EF＝2×1＝2，
∴，
∴，
∴，
如图，当直线与以BC为直径的圆相切于点F1时，
此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有1个交点，即线段MN上存在1个线段AB的直角点，
设BC为直径的圆的圆心为E1，连接E1F1，
∴E1F1⊥MN，
∵∠MNO＝30°，
∴NE1＝2E1F1＝2×1＝2，
∴
∴，
∴，
当点B与点N重合时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，此时，
∴当或t时，线段MN上只存在两个线段AB的直角点．
48．已知：直线与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（﹣2，a）．
（1）求a、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且∠OBD＝∠BAO，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线BD绕点D旋转45°，求旋转后直线的解析式．
【思路点拨】（1）将点B的坐标代入y＝﹣x得：a＝2，即点B（﹣2，2），将点B的坐标代入一次函数表达式得：2（﹣2）+b，即可求解；
（2）证明△OBD∽△OAB，得到OD OA＝OB2，即可求解；
（3）设HT＝3x＝TD，则HT＝x，则HNx，则ND＝x+3x，得到点H（2，0），即可求解；当直线逆时针旋转时和上述直线垂直，则直线表达式中的k值为，则此时直线的表达式为：yx﹣4，即可求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入y＝﹣x得：a＝2，即点B（﹣2，2），
将点B的坐标代入一次函数表达式得：2（﹣2）+b，
则b＝1；
（2）由（1）知一次函数的表达式为：yx+1，则点A（2，0），
由点B的坐标得，OB2＝8，
∵直线y＝﹣x和x轴负半轴的夹角为45°，
则∠AOB＝∠BOD＝135°，∠OBD＝∠BAO，
则△OBD∽△OAB，
则OD OA＝OB2，
即2OD＝8，则OD＝4，
即点D（0，﹣4）；
（3）如图，设BD顺时针旋转45°交x轴于点H，过点H作HT⊥BD交于点T，
设BD的表达式为：y＝kx﹣4，
将点B的坐标代入上式得：2＝﹣2k﹣4，
则k＝﹣3，
则直线BD的表达式为：y＝﹣3x﹣4，设BD交x轴于点N，
令y＝0，则x，
则点N（，0），则tan∠AND＝3，
由点B、N的坐标得，BD2，
∵∠BDH＝45°，tan∠AND＝3，
设HT＝3x＝TD，则HT＝x，则HNx，
则ND＝x+3x，
解得：x，
则HNx，则点H（2，0），
由点H、D的坐标得，旋转后的直线表达式为：y＝2x﹣4，
当直线逆时针旋转时和上述直线垂直，则直线表达式中的k值为，
则直线的表达式为：yx+t，
而点D（0，﹣4），即t＝﹣4，
则此时直线的表达式为：yx﹣4，
综上，旋转后直线的解析式为：y＝2x﹣4或yx﹣4．
49．如图1，直线y＝kx﹣8与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标以及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积PB×xC|y+8|＝6，即可求解；
（3）当BC＝BQ时，则20＝（y+8）2，即可求解；当BC＝CQ或BQ＝CQ时，同理可解．
【解答】解：（1）将点C的坐标代入y＝﹣2x得：﹣4＝﹣2a，则a＝2，
即点C（2，﹣4），
将点C的坐标代入AB的表达式得：﹣4＝2k﹣8，则k＝2，
则直线AB的表达式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P（0，y），
则△PBC的面积PB×xC|y+8|＝6，
解得：y＝﹣2或﹣14，
即点P（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）设点Q（0，y），
由点B、C、Q的坐标得，BC2＝20，BQ2＝（y+8）2，QC2＝4+（y+4）2，
当BC＝BQ时，则20＝（y+8）2，
解得：y＝﹣8±2，即点Q（0，8）或（0，8﹣2），
当BC＝CQ或BQ＝CQ时，
同理可得：（y+8）2＝4+（y+4）2或20＝4+（y+4）2，
解得：y＝﹣8（舍去）或0或﹣5.5，
即点Q（0，0）或（0，﹣5.5），
综上，Q（0，8）或（0，8﹣2）或（0，0）或（0，﹣5.5）．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣6，0）、B（0，8），C是线段OB上一点，将△OAC沿着AC折叠，点O落在点D，连接BD．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标；
（3）若，求点D的坐标；
（4）点P是平面内一点，若∠PAB＝45°，请直接写出直线PA的函数解析式．
【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由BC2＝BD2+CD2，即（8﹣m）2＝m2+42，即可求解；
（3）若，即S△ACOS△AOB，则COOB＝2，进而求解；
（4）当点P在AB的下方时，证明△AMG≌△GNH（AAS），得到点H（0，），进而求解；当点P在AB上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝kx+8，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣6k+8，则k，
则直线AB的表达式为：yx+8；
（2）如图，由点A、B的坐标得，AB＝10，
由题意得：OA＝OD＝6，则BD＝10＝6＝4，
设CO＝m＝CD，则BC＝8﹣m，
则BC2＝BD2+CD2，即（8﹣m）2＝m2+42，
解得：m＝3，
即点C（0，3）；
（3）若，即S△ACOS△AOB，则COOB＝2，
设点D（x，y），
由AD＝AO＝6，CD＝CO＝2，
即AD2＝AO2＝36，CD2＝CO2＝4，
即（x+6）2+y2＝36，x2+（y﹣2）2＝4，
即x2+12x+36+y2＝36，x2+y2﹣4y+4＝4，
上述两式相减并整理得：y＝﹣3x，
则x2+（﹣3x﹣2）2＝4，
解得：x＝﹣1.2，
则y＝3.6，
即点D（﹣1.2，3.6）；
（4）当点P在AB的下方时，
设点G（m，m+8），点H（0，n），
设直线AP交y轴于点H，过点H作HG⊥AB于点G，
∵∠PAB＝45°，则△AGH为等腰直角三角形，则GH＝GA，
∵∠NGH+∠MGA＝90°，∠MGA+∠MAG＝90°，
∴∠NGH＝∠MAG，
∵∠AMG＝∠GNH＝90°，
∴△AMG≌△GNH（AAS），
则AM＝GN，MG＝HN，
即m+6m+8﹣n且m+8＝﹣m，
解得：m，n，
即点H（0，），
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为：yx；
当点P（P′）在AB上方时，
则直线AP′⊥AP，
则直线AP′表达式中的k值为﹣7，
则直线AP的表达式为：y＝﹣7x﹣42，
综上，直线AP的表达式为：yx或y＝﹣7x﹣42．
51．如图①，直线y＝2x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以BC为腰的△BCQ是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【思路点拨】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得：a＝2，
∴C（2，﹣4），
由点A、C的坐标得，AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，
同理：△QCM≌△BQN（AAS），
∴QN＝CM，BN＝QM，
设Q（m，t），
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t，
∴，解得：，
∴m＝3，
故m的值为4或6或3．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，令yx+4＝0，则x＝﹣3，即可求解；
（2）由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，即可求解；
（3）由则S△PAB＝8|yB﹣yP||8﹣yP|，即可求解．
【解答】解：（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，
令yx+4＝0，则x＝﹣3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），
由点A、B的坐标得，AB＝5；
（2）存在，理由：
设点D（0，m），
由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，
则点C（﹣8，0），
由CD＝BD得：（4﹣m）2＝82+m2，
解得：m＝﹣6，
即点D（0，﹣6）；
（3）∵S△CODCO OD24，
则S△PAB＝8|yB﹣yP||8﹣yP|，
解得：yP或，
综上，点P的坐标为：（0，）或（0，）．
53．【源于课本】
（1）将一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着y轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为： y＝﹣2x+8 ．
【小组探究】
（2）我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动．
①（平移探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象沿着x轴向右平移2个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A（0，6），B（3，0），将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（ （2，6） ），B'（ （5，0） ），从而求出直线A'B'对应的函数表达式为： y＝﹣2x+10 ．
②（轴对称探究）将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： y＝2x﹣6 ；
③（旋转探究）如图2，若一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于点A，将直线y＝﹣2x+6绕点A逆时针旋转45°，得到的直线与x轴交于点M．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程）
【学以致用】
（3）如图2，在上述③的条件下，y轴上是否存在点P，使得以点A，M，P为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由平移的性质即可求解；
（2）①点A、B的坐标分别为：（0，6）、（3，0），则将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（2，6），B'（5，0），即可求解；
②将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，则点B的对称点为：（0，﹣6），由点A的坐标和点（0，﹣6）得，此时函数的表达式为：y＝2x﹣6，即可求解；
③证明△AOB≌△BHN（AAS），得到点N（9，3），即可求解；
（3）当AM＝AP时，则122+62＝（y﹣6）2，则y＝6±6，即可求解；当AM＝PM或AP＝PM时，同理可解．
【解答】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：y＝﹣2x+6+2＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8；
（2）①由直线AB的表达式知，点A、B的坐标分别为：（0，6）、（3，0），
则将它们沿着x轴向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，其坐标分别为A'（2，6），B'（5，0），
由于平移的k不变，则平移后的表达式为：y＝﹣2（x﹣5）＝﹣2x+10，
故答案为：（2，6），（5，0），y＝﹣2x+10；
②将图1中一次函数y＝﹣2x+6的图象关于x轴对称，则点B的对称点为：（0，﹣6），
由点A的坐标和点（0，﹣6）得，此时函数的表达式为：y＝2x﹣6，
故答案为：y＝2x﹣6；
③过点B作BN⊥AB交AM于点N，作NH⊥x轴于点H，
∵∠BAM＝45°，则△ABN为等腰直角三角形，则BA＝BN，∠ABN＝90°，
∵∠ABO+∠NBH＝90°，∠NBH+∠HBN＝90°，
∴∠ABO＝∠HBN，
∵∠AOB＝∠BHN＝90°，BA＝BN，
∴△AOB≌△BHN（AAS），
在AO＝BN＝6，HN＝OB＝3，
则点N（9，3），
由点A、N的坐标得，直线AM的表达式为：yx+6；
（3）存在，理由：
由直线AM的表达式为：yx+6得，点M（18，0），
设点P（0，y），
由点A、P、M的坐标得，AM2＝122+62，PM2＝182+y2，AP2＝（y﹣6）2，
当AM＝AP时，
则122+62＝（y﹣6）2，则y＝6±6，
即点P（0，6+6）或（0，6﹣6）；
当AM＝PM或AP＝PM时，
则122+62＝182+y2或182+y2＝（y﹣6）2，
解得：y＝6（舍去）或﹣6或﹣24，
即点P（0，﹣6）或（0，﹣24），
综上，P（0，6+6）或（0，6﹣6）或（0，﹣6）或（0，﹣24）．
54．已知一次函数y＝3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，且3OC＝4OB．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）点E是上的一动点，在y轴上是否存在点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D是直线上的一动点，连接BD，使得BD将四边形ABCD的面积分成1：4的两部分，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【思路点拨】（1）先求得A，B的坐标，根据已知条件得出C（﹣4，0），待定系数法求直线解析式，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当CE为边时，②当CE为对角线时，分别画出图形，根据平行四边形的性质，即可求解；
（3）根据题意可得AG：CG＝1：4或AG：CG＝4：1，进而得出G点的坐标，求得直线BD的解析式，进而求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x＝1，
∴A（1，3），B（0，﹣3），
∴OB＝3，
∵3OC＝4OB，
∴OC＝4，
即C（﹣4，0），
由点B、C的坐标得，直线解析式为yx﹣3；
（2）在y轴上存在一点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
当CE为边时，如图1.1，
∵CE∥BF，
∴CE∥y轴，
∴E点的横坐标为﹣4，
将x＝﹣4代入，得y＝4，
∴E（﹣4，4）；
当CE为对角线时，CE，BF的中点为O，如图1，2，则CO＝OE，
∴E（4，0），
综上所述，E的坐标为（﹣4，4）或（4，0）；
（3）如图2所示，设BD交x轴于点G，
∵BD将四边形ABCD的面积分成2：3的两部分，
则AG：CG＝1：4或AG：CG＝4：1，
∵A（1，0），C（﹣4，0），
∴AC＝5，
则G（﹣3，0）或（0，0），
当G（﹣3，0）时，设直线BG的解析式为y＝m（x+3），
则3m＝﹣3，则m＝﹣1，
则BD的表达式为：y＝﹣x﹣3，
联立上式和yx+2得：y＝﹣x﹣3x+2，
解得：x＝﹣10，
即点D（﹣10，7）
当G（0，0）时，直线BD为y轴，
则点D（0，2）；
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣10，7）或（0，2）．
55．如图1，直线和直线y＝ax+5相交于点A（4，b），直线y＝ax+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，直线PD⊥x轴于点D，交直线于点Q．
（1）求a，b的值；
（2）当QP＝OA时，求△APQ的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠AQP的平分线交x轴于点M，请直接写出点M的坐标．
【思路点拨】（1）根据已知条件直线和直线y＝ax+5相交于点A（4，b），将A（4，b）代入yx，可求出b＝3，再将A（4，3）代入y＝ax+5即可求出a的值；
（2）
