2015-2016学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2015-2016学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 519.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-24 13:06:18 | ||
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文档简介
2015-2016学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．
1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}
2．对数型函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，1）
3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（ ）
A．0 B．π C．2π D．4π
4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（ ）
A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对
5．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 12 24 49 95 190
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（ ）
A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6 2x D．y=12log2x+12
6．的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（ ）
A．﹣1 B． C． D．
8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（ ）
A．y=sinx B．y=sin（4x+） C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x+）
9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）
10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（ ）
A． B． C． D．
11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3） f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（ ）
A．0 B．0.5 C．﹣2 D．2
12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．
13．sin420°= ．
14．函数的单调递增区间是 ．
15．设向量，定义两个向量之间的运算“ ”为，若向量，则向量= ．
16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．
（1）求集合B及 RA；
（2）若C={x|x≤a}，（ RA）∩C=C，求实数a的取值范围．
18．已知，．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．已知函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；
（2）若f（a）=10，求实数a的值．
20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．
（1）求；
（2）求的值；
（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
22．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数n的取值范围．
2015-2016学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．
1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】利用交集定义求解．
【解答】解：∵集合集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，
∴A∩B={0，2}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．
2．对数型函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，1）
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；演绎法；函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．
【解答】解：对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），
函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，
故函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（ ）
A．0 B．π C．2π D．4π
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由已知可得函数的周期为2π，进而可得f（4π）=f（2π）=f（0）．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），
∴f（4π）=f（2π）=f（0）=0，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．
4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（ ）
A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题．
【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]．
【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，
f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，
f（2.5）=﹣10=＞0，
f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，
方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是[2，2.5]，
故选A．
【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的 ( http: / / www.21cnjy.com )区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．
5．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 12 24 49 95 190
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（ ）
A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6 2x D．y=12log2x+12
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；分析法；概率与统计．
【分析】根据表格中y的增长速度进行判断．
【解答】解：由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数增长．
故选：C．
【点评】本题考查了不同函数模型的增长速度问题，属于基础题．
6．的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】二倍角的正弦．
【专题】计算题．
【分析】原式先利用对数的运算法则计算，再利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．
【解答】解：原式=log2sinπcosπ=log2sinπ=log22﹣2=﹣2．
故选C
【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及对数的运算性质，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知向量的坐标求出k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得k值．
【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，0），
∴k+=k（1，2）+（﹣2，0）=（k﹣2，2k），
由k+与垂直，得，
即1×（k﹣2）+2×2k=0，解得：k=．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题．
8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（ ）
A．y=sinx B．y=sin（4x+） C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x+）
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2[（x+）﹣）]=sin（2x+），再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin（4x+），
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的平移及周期变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．周期变换的原则是y=sinx的图象伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原理的可得 y=sinωx的图象．
9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，
∴4α=，解得α=﹣；
∴f（x）=，x＞0；
又f（a+1）＜f（10﹣2a），
∴，
解得3＜a＜5，
∴实数a的取值范围是（3，5）．
故选：D．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及利用函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目．
10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（ ）
A． B． C． D．
【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．
【专题】证明题．
【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可
【解答】解：∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x≥1时函数f（x）=3x﹣1为单调递增函数，
∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）=f（）
∵＜＜＜1
∴，即
故选B
【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法
11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3） f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（ ）
A．0 B．0.5 C．﹣2 D．2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据已知可得函数f（x）是周期为6的周期函数，结合函数奇偶性，可得答案．
【解答】解：∵f（x+3） f（x）=﹣1，
∴f（x+3） f（x+6）=﹣1，
∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数，又f（1）=﹣2，
故f（2015）=f（﹣1）=﹣f（1）=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos（A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．
【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，
∵cos2===
∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1
∴A=B
∴三角形为等腰三角形．
故选B
【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．
13．sin420°= ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14．函数的单调递增区间是 [2，+∞） ．
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】可求导数，根据导数符号即可判断f（x）在定义域上为增函数，从而便可得出f（x）的单调递增区间．
【解答】解：；
∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增；
即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】考查根据导数符号判断函数单调性以及求函数单调区间的方法，清楚增函数的定义，注意正确求导．
15．设向量，定义两个向量之间的运算“ ”为，若向量，则向量= （﹣3，﹣2） ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．
【分析】直接利用新定义即可求出．
【解答】解：向量，则向量=（x，y），
∴（x，2y）=（﹣3，﹣4），
∴x=﹣3，y=﹣2，
∴向量=（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考新定义的应用，以及向量的坐标运算，属于基础题．
16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是 ﹣1 ．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】根据，得出x=是函数f（x）的一条对称轴，从而求出φ的表达式，再函数g（x）的解析式以及的值．
【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，
∴x=是函数f（x）的一条对称轴，
∴cos（ω+φ）=±1，
即ω+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ﹣ω，k∈Z；
∴函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1=3sin（ωx+kπ﹣ω）﹣1，k∈Z；
∴=3sin（ω+kπ﹣ω）=3sinkπ﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．
（1）求集合B及 RA；
（2）若C={x|x≤a}，（ RA）∩C=C，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】对应思想；定义法；集合．
【分析】（1）化简集合B，求出集合A在R中的补集即可；
（2）根据交集的定义，计算得出C RA，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，
∴B={x|x＜3}，（2分）
又∵A={x|1＜x＜4}，
∴ RA={x|x≤1或x≥4}；（5分）
（2）∵（ RA）∩C=C，
∴C RA={x|x≤1或x≥4}，（7分）
又C={x|x≤a}，
∴a≤1．（10分）
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
18．已知，．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵，
∴，…（3分）
∴；…（6分）
（2）原式==，…（9分）
=…（12分）
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．已知函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；
（2）若f（a）=10，求实数a的值．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知中函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )，将x=1，x=﹣2代入计算，可得答案；
（2）根据函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )，分类讨论满足f（a）=10的a值，综合讨论结果，可得答案；
【解答】解：（1）∵函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴（2分）
f[f（﹣2）]=f（4）=10；（6分）
（2）．，（8分）
，不合题意，舍去； （10分）
当a≥2时，10log4a=10，a=4合题意；．（11分）
∴．（12分）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．
20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．
（1）求；
（2）求的值；
（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）直接由已知结合数量积公式求解；
（2）利用，等式右边展开后代入数量积得答案；
（3）由，代入投影公式化简即可．
【解答】解：向量与的夹角为30°，且=， =1．
（1）；
（2）；
（3）∵，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，对于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．
21．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由图求出A，ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）根据，，求出x0，代入g（x）=1+2cos2x，可求g（x0）的值；
（3）（3），，进而得到答案．
【解答】解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）（1分）
，（2分）
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∴，
∴，，（3分）
∴； （4分）
（2），（6分）
； （8分）
（3），
，（9分）
=，（10分）
∵，（11分）
∴a∈[﹣2，1]．（12分）
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．
22．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数n的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据分段函数的表达式结合函数的单调性进行求解．
（2）利用函数与方程之间的关系转化为函数f（x）与y=m的交点问题进行求解，
（3）根据不等式恒成立，转化为为以B为变量的参数问题，结合一元一次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤0时，函数f（x）为增函数，
当x＞0时，函数的对称轴为x=1，则函数的单调递减区间是（0，1）； （2分）
（2）函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点等价于直线y=m与函数y=f（x）的图象
恰有1个交点，，（4分）
∴； （7分）
（3）若要使f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，
则需，
而[f（x）]max=f（0）=1，（9分）
即n2﹣2kn+1≥1，∴﹣2nb+n2≥0在b∈[﹣1，1]恒成立，
，（10分）
∴，（11分）
∴n≤﹣2或n=0或n≥2．（12分）
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．
1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}
2．对数型函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，1）
3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（ ）
A．0 B．π C．2π D．4π
4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（ ）
A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对
5．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 12 24 49 95 190
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（ ）
A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6 2x D．y=12log2x+12
6．的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（ ）
A．﹣1 B． C． D．
8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（ ）
A．y=sinx B．y=sin（4x+） C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x+）
9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）
10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（ ）
A． B． C． D．
11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3） f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（ ）
A．0 B．0.5 C．﹣2 D．2
12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．
13．sin420°= ．
14．函数的单调递增区间是 ．
15．设向量，定义两个向量之间的运算“ ”为，若向量，则向量= ．
16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．
（1）求集合B及 RA；
（2）若C={x|x≤a}，（ RA）∩C=C，求实数a的取值范围．
18．已知，．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．已知函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；
（2）若f（a）=10，求实数a的值．
20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．
（1）求；
（2）求的值；
（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
22．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数n的取值范围．
2015-2016学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．
1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】利用交集定义求解．
【解答】解：∵集合集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，
∴A∩B={0，2}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．
2．对数型函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，1）
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；演绎法；函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．
【解答】解：对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），
函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，
故函数y=logax+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（ ）
A．0 B．π C．2π D．4π
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由已知可得函数的周期为2π，进而可得f（4π）=f（2π）=f（0）．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），
∴f（4π）=f（2π）=f（0）=0，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．
4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（ ）
A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题．
【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]．
【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，
f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，
f（2.5）=﹣10=＞0，
f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，
方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是[2，2.5]，
故选A．
【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的 ( http: / / www.21cnjy.com )区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．
5．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 12 24 49 95 190
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（ ）
A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6 2x D．y=12log2x+12
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；分析法；概率与统计．
【分析】根据表格中y的增长速度进行判断．
【解答】解：由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数增长．
故选：C．
【点评】本题考查了不同函数模型的增长速度问题，属于基础题．
6．的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】二倍角的正弦．
【专题】计算题．
【分析】原式先利用对数的运算法则计算，再利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．
【解答】解：原式=log2sinπcosπ=log2sinπ=log22﹣2=﹣2．
故选C
【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及对数的运算性质，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知向量的坐标求出k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得k值．
【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，0），
∴k+=k（1，2）+（﹣2，0）=（k﹣2，2k），
由k+与垂直，得，
即1×（k﹣2）+2×2k=0，解得：k=．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题．
8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（ ）
A．y=sinx B．y=sin（4x+） C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x+）
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2[（x+）﹣）]=sin（2x+），再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin（4x+），
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的平移及周期变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．周期变换的原则是y=sinx的图象伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原理的可得 y=sinωx的图象．
9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，
∴4α=，解得α=﹣；
∴f（x）=，x＞0；
又f（a+1）＜f（10﹣2a），
∴，
解得3＜a＜5，
∴实数a的取值范围是（3，5）．
故选：D．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及利用函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目．
10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（ ）
A． B． C． D．
【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．
【专题】证明题．
【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可
【解答】解：∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x≥1时函数f（x）=3x﹣1为单调递增函数，
∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）=f（）
∵＜＜＜1
∴，即
故选B
【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法
11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3） f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（ ）
A．0 B．0.5 C．﹣2 D．2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据已知可得函数f（x）是周期为6的周期函数，结合函数奇偶性，可得答案．
【解答】解：∵f（x+3） f（x）=﹣1，
∴f（x+3） f（x+6）=﹣1，
∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数，又f（1）=﹣2，
故f（2015）=f（﹣1）=﹣f（1）=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos（A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．
【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，
∵cos2===
∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1
∴A=B
∴三角形为等腰三角形．
故选B
【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．
13．sin420°= ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14．函数的单调递增区间是 [2，+∞） ．
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】可求导数，根据导数符号即可判断f（x）在定义域上为增函数，从而便可得出f（x）的单调递增区间．
【解答】解：；
∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增；
即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】考查根据导数符号判断函数单调性以及求函数单调区间的方法，清楚增函数的定义，注意正确求导．
15．设向量，定义两个向量之间的运算“ ”为，若向量，则向量= （﹣3，﹣2） ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．
【分析】直接利用新定义即可求出．
【解答】解：向量，则向量=（x，y），
∴（x，2y）=（﹣3，﹣4），
∴x=﹣3，y=﹣2，
∴向量=（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考新定义的应用，以及向量的坐标运算，属于基础题．
16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是 ﹣1 ．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】根据，得出x=是函数f（x）的一条对称轴，从而求出φ的表达式，再函数g（x）的解析式以及的值．
【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，
∴x=是函数f（x）的一条对称轴，
∴cos（ω+φ）=±1，
即ω+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ﹣ω，k∈Z；
∴函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1=3sin（ωx+kπ﹣ω）﹣1，k∈Z；
∴=3sin（ω+kπ﹣ω）=3sinkπ﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．
（1）求集合B及 RA；
（2）若C={x|x≤a}，（ RA）∩C=C，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】对应思想；定义法；集合．
【分析】（1）化简集合B，求出集合A在R中的补集即可；
（2）根据交集的定义，计算得出C RA，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，
∴B={x|x＜3}，（2分）
又∵A={x|1＜x＜4}，
∴ RA={x|x≤1或x≥4}；（5分）
（2）∵（ RA）∩C=C，
∴C RA={x|x≤1或x≥4}，（7分）
又C={x|x≤a}，
∴a≤1．（10分）
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
18．已知，．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵，
∴，…（3分）
∴；…（6分）
（2）原式==，…（9分）
=…（12分）
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．已知函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；
（2）若f（a）=10，求实数a的值．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知中函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )，将x=1，x=﹣2代入计算，可得答案；
（2）根据函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )，分类讨论满足f（a）=10的a值，综合讨论结果，可得答案；
【解答】解：（1）∵函数f（x）= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴（2分）
f[f（﹣2）]=f（4）=10；（6分）
（2）．，（8分）
，不合题意，舍去； （10分）
当a≥2时，10log4a=10，a=4合题意；．（11分）
∴．（12分）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．
20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．
（1）求；
（2）求的值；
（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）直接由已知结合数量积公式求解；
（2）利用，等式右边展开后代入数量积得答案；
（3）由，代入投影公式化简即可．
【解答】解：向量与的夹角为30°，且=， =1．
（1）；
（2）；
（3）∵，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，对于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．
21．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由图求出A，ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）根据，，求出x0，代入g（x）=1+2cos2x，可求g（x0）的值；
（3）（3），，进而得到答案．
【解答】解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）（1分）
，（2分）
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∴，
∴，，（3分）
∴； （4分）
（2），（6分）
； （8分）
（3），
，（9分）
=，（10分）
∵，（11分）
∴a∈[﹣2，1]．（12分）
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．
22．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数n的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据分段函数的表达式结合函数的单调性进行求解．
（2）利用函数与方程之间的关系转化为函数f（x）与y=m的交点问题进行求解，
（3）根据不等式恒成立，转化为为以B为变量的参数问题，结合一元一次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤0时，函数f（x）为增函数，
当x＞0时，函数的对称轴为x=1，则函数的单调递减区间是（0，1）； （2分）
（2）函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点等价于直线y=m与函数y=f（x）的图象
恰有1个交点，，（4分）
∴； （7分）
（3）若要使f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，
则需，
而[f（x）]max=f（0）=1，（9分）
即n2﹣2kn+1≥1，∴﹣2nb+n2≥0在b∈[﹣1，1]恒成立，
，（10分）
∴，（11分）
∴n≤﹣2或n=0或n≥2．（12分）
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．
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