28.1锐角三角函数（含答案）
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28.1锐角三角函数
一、单选题
1． 中， ， ， ， （ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，若，则的长为 （ ）
A． B． C． D．
9．用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（ ）
A．CG B．BC C．AE D．DF
二、填空题
11．若2cosα=1，则锐角α= 度．
12．计算： ．
13．若tan（a+10°）= ，则锐角a= ．
14．高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ．
15．用科学计算器计算：7 ﹣5sin37°= （结果精确到0.1）.
16．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
三、计算题
17．（1）计算：；
（2）化简：
18．计算题:二次根式与分式运算
（1）计算：（ ）﹣2+（ ﹣ ）0+（﹣1）1001+（ ﹣3 ）×tan30°
（2）先化简，再求值： ﹣ （ ﹣a2+b2），其中a=3﹣2 ，b=3 ﹣3．
19．计算题
（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2 ，y= ．
四、解答题
20．已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
21．计算： ．
22．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
23．如图，在中，是对角线的交点，，垂足分别为点．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
9．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
11．【答案】60
【知识点】求特殊角的三角函数值
12．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
13．【答案】50°
【知识点】求特殊角的三角函数值
14．【答案】15．
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
15．【答案】42.9
【知识点】计算器在数的开方中的应用；计算器—三角函数；近似数及有效数字
16．【答案】．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
17．【答案】（1）；（2）
【知识点】完全平方公式及运用；求特殊角的三角函数值
18．【答案】（1）解：原式=9+1﹣1+（2 ﹣3 ）×
=9﹣ ×
=9﹣3
=6
（2）解：当a=3﹣2 ，b=3 ﹣3时，
原式= ﹣ [ ﹣（a2﹣b2）]
= ﹣ [ ﹣（a﹣b）（a+b）]
= ﹣ +a+b
=a+b
=3﹣2 +3 ﹣3
=
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
19．【答案】（1）解： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
=
= ，
当x=2 ，y= 时，原式= ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
20．【答案】解：∵ ，
∴（sinα+cosα）2= ，即sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα cosα= ，
∴1﹣2sinα cosα= ，即sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2= ，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα﹣cosα=﹣ ，
而 ，
∴2sinα= ，
∴sinα= ．
【知识点】互余两角三角函数的关系
21．【答案】解： ，
= ，
= ．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
22．【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10 ，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=10 × =5 ，CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5 ，∴CD=CM﹣MD=15﹣5 ．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
23．【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF，
∴OA﹣OF＝OC﹣OE，
∴AF＝CE；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∴OE＝OF＝6，
∵OD=DB，DB＝20，
∴OD＝10，
∵BF⊥AC，
∴∠OFD＝90°，
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
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28.1锐角三角函数
一、单选题
1． 中， ， ， ， （ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，若，则的长为 （ ）
A． B． C． D．
9．用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（ ）
A．CG B．BC C．AE D．DF
二、填空题
11．若2cosα=1，则锐角α= 度．
12．计算： ．
13．若tan（a+10°）= ，则锐角a= ．
14．高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ．
15．用科学计算器计算：7 ﹣5sin37°= （结果精确到0.1）.
16．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
三、计算题
17．（1）计算：；
（2）化简：
18．计算题:二次根式与分式运算
（1）计算：（ ）﹣2+（ ﹣ ）0+（﹣1）1001+（ ﹣3 ）×tan30°
（2）先化简，再求值： ﹣ （ ﹣a2+b2），其中a=3﹣2 ，b=3 ﹣3．
19．计算题
（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2 ，y= ．
四、解答题
20．已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
21．计算： ．
22．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
23．如图，在中，是对角线的交点，，垂足分别为点．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
9．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
11．【答案】60
【知识点】求特殊角的三角函数值
12．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
13．【答案】50°
【知识点】求特殊角的三角函数值
14．【答案】15．
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
15．【答案】42.9
【知识点】计算器在数的开方中的应用；计算器—三角函数；近似数及有效数字
16．【答案】．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
17．【答案】（1）；（2）
【知识点】完全平方公式及运用；求特殊角的三角函数值
18．【答案】（1）解：原式=9+1﹣1+（2 ﹣3 ）×
=9﹣ ×
=9﹣3
=6
（2）解：当a=3﹣2 ，b=3 ﹣3时，
原式= ﹣ [ ﹣（a2﹣b2）]
= ﹣ [ ﹣（a﹣b）（a+b）]
= ﹣ +a+b
=a+b
=3﹣2 +3 ﹣3
=
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
19．【答案】（1）解： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
=
= ，
当x=2 ，y= 时，原式= ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
20．【答案】解：∵ ，
∴（sinα+cosα）2= ，即sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα cosα= ，
∴1﹣2sinα cosα= ，即sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2= ，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα﹣cosα=﹣ ，
而 ，
∴2sinα= ，
∴sinα= ．
【知识点】互余两角三角函数的关系
21．【答案】解： ，
= ，
= ．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
22．【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10 ，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=10 × =5 ，CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5 ，∴CD=CM﹣MD=15﹣5 ．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
23．【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF，
∴OA﹣OF＝OC﹣OE，
∴AF＝CE；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∴OE＝OF＝6，
∵OD=DB，DB＝20，
∴OD＝10，
∵BF⊥AC，
∴∠OFD＝90°，
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
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