第28章锐角三角函数综合检测题（含答案）

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第28章锐角三角函数综合检测题
一、填空题
1．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是　 　米．
2．在中，已知，是锐角，若，则的度数为　 　．
3．如图所示，拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长　 　.
4．已知 ，则 ＝　 　.
5．如图，边长为3的正方形ABCD在正六边形外部做顺时针方向的滚动运动，滚动一周回到初始位置时停止，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是　 　．
6．如图，四边形为正方形，且边长，点是以为直径的圆上一动点，当时，的长度为　 　.
二、单选题
7．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（　　）．（参考数据，，）
A．140 B．340 C．360 D．480
8．tan45°的值等于（　　）
A．2 B． C．-1 D．1
9．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．2
10． 的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
11．如图，在一个直角三角板ABC中， ∠A=60°，则cosA的值为 （　　）
A． B．1 C． D．
12． （　　）
A． B． C． D．
13．如图所示，是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，，均在格点上，则和的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法确定
14．如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为a，则两条平行线间的距离为（　　）
A．asinα B．asinα+acosα
C．2acosα D．asinα﹣acosα
15．如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，， ，为顶点作正方形，则的长不可能是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，抛物线y=-x2+k与x轴交于A(-3，0)和B(3，0)，有一动点C在线段AB上从点A运动到点B(不与A，B重合)，分别以AC，BC为底边作等腰△ADC和等腰△BEC，点D，E恰好落在此抛物线上，在整个运动过程中， ∠DCE的变化情况是（　　）
A．保持不变 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
三、解答题
17．某电脑桌生产厂家生产了一种平板电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其调节桌面的侧面示意图，在点C处安装一根长度一定的支撑杆CB，且AC＝BC＝20cm，点B可在AD上滑动，当B滑动到D处，电脑的承载面AE与AD重合．
（1）如图2，当BC⊥AC时，求电脑的承载面最高点E与B之间的距离；
（2）如图3，小华经过多次试验发现，当∠A＝40°时，利用平板电脑观看电影的效果最好，求此时点B与点D之间的距离（参考数据：sin40°≈0.64， cos40°≈0.77， tan40°≈0.84， 结果精确到0.1cm）．
18．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（ ，结果保留一位小数）.
19．塔山阻击战革命烈士纪念碑（图1）位于葫芦岛市区以东12公里的连山区塔山乡塔山村，是“全国爱国主义教育示范基地”．某校“综合与实践”活动小组借助无人机测量纪念碑主碑的高度．如图2，先将无人机升至距离地面10米高的点处，测得主碑最高点的仰角为，再将无人机从点处竖直向上升高至距离地面15.8米高的点处，测得点的俯角为，已知点在同一平面内，求纪念碑主碑的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：）
20．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度.如图所示，测得斜坡 的坡度 ，坡底 的长为8米，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，求树高 .（结果保留根号）
21．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)
22．如图，直线与轴交于点，与反比例函数，过作轴于点，且．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于一点，求的值．
四、计算题
23．计算：．
24．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4 ）
25．【问题提出】
（1）如图①，为半圆的直径，O为圆心，C，D为半圆上的两点，若，，则___．
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，，点P在直线的右侧，且满足，求点P到的最短距离．
【问题解决】
（3）如图③，有一块矩形型板材，米，米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上找一点P，裁出与，并满足，．请问王师傅的设想可以实现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的的面积；如果不能，请说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】4.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
2．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值；绝对值的非负性
3．【答案】
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
4．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；同角三角函数的关系
5．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形；解直角三角形；旋转的性质
6．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
8．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
9．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
10．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
11．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
12．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
13．【答案】C
【知识点】解直角三角形
14．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形
16．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；等腰三角形的性质；锐角三角函数的增减性
17．【答案】（1）cm；（2）9.2cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
18．【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m
在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD
在Rt△BDC中，由tan∠BCD= ，得
又∵BC-AB=AC，∴ ，∴
答：该古塔BD的高度 m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．【答案】解：过点作，垂足为．
，
四边形是矩形，．
由题意知：，
．
设
在中
在中，，
答：纪念碑主碑的高度约为12.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
20．【答案】解：作 于点 ，设 米，
在 中， ，
则 （米 ，
∵ ，且AE=8
∴
∴
在直角 中， 米，
在直角 中， ，
米.
，即 .
解得： ，
则 米.
答： 的高度是 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
21．【答案】解：连接，作于D，
∵，，
∴是边边上的中线，也是的角平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B两点间的距离为．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
22．【答案】（1）
（2）存在，点坐标为(，)
（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；两点之间线段最短；锐角三角函数的定义
23．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
24．【答案】约为5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
25．【答案】（1）；（2）；（3）师傅的设想可以实现，平方米
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
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