(共34张PPT)
（湘教版）七年级
上
4.2.2 线段的长短比较与和差关系
图形的认识
第4章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.能熟练运用观察法、叠合法、度量法精准比较线段长短.
2.理解并准确表述线段和差的概念，会依据图形与条件进行线段和差计算，能绘制符合要求的线段和差图形.
3.能够理解 “两点之间，线段最短” 的基本事实，能用严谨的数学语言进行表述.
新知导入
【画一画】
在练习本上用尺子画一条”线段“、”射线“和”直线“.
线段
射线
直线
新知导入
思考：
在线段、射线和直线中，哪一种是可以度量的？
只有线段有两个端点，它是有长度的，可以度量。
线段
射线
直线
新知讲解
说一说：
怎样比较图中的线段AB，CD的长短呢？
方法一：目测法.
适用于线段差别较大时，用观察和估测就可以比较长短.
如果线段的长短比较接近怎么办？
新知讲解
说一说：
怎样比较图中的线段AB，CD的长短呢？
方法二：度量法.
先用一把刻度尺分别量出两条线段的长度，再进行比较.
新知讲解
说一说：
怎样比较图中的线段AB，CD的长短呢？
方法三：叠合法.
先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧，再根据另一端落下的位置来比较.
新知讲解
像上图这样，对任意两条线段 AB 与 CD，将线段 AB 移到 CD 上，使点A与点C重合，点B与点D都在点C的同侧。
新知讲解
这时可能出现的情形如下表：
AB小于CD
AB等于CD
AB大于CD
AB < CD
AB = CD
AB > CD
新知讲解
如图，点 C 落在线段 AB 的延长线（即以 B 为端点，方向为 A到 B的射线）上，
则线段 AC是线段 AB与线段BC的和，记作 AC = AB + BC，
线段 BC是线段 AC与线段AB的差，记作BC = AC - AB.
想一想：AB等于什么？
AB = AC - BC
新知讲解
议一议：杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道 . 大桥北起嘉兴市，跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长 36 km. 大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约120 km. 这是什么原理？
新知讲解
根据长期实践经验可以得到关于线段的基本事实：
两点之间的所有连线中，线段最短.
简单说成：两点之间，线段最短.
连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离 .
典例精析
【例1】如图，已知线段 a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a.
作法 :（1） 作射线AD；
（2） 在AD上顺次截取AB = BC = a.
则线段AC就是所求作的线段.
典例精析
像这样仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图.
若点 B 在线段 AC 上，且把线段 AC 分成相等的两条线段 AB 与 BC，这时B叫作线段 AC 的中点 .
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
如图，B 是线段 AC 的中点，则 AB = BC = AC.
典例精析
【例2】如图，已知线段 a，b（a > b），作一条线段使它等于a - b.
作法 （1） 作射线AF；
（2） 在射线AF上截取AC = a；
（3） 在线段AC上截取AB = b.
则线段BC就是所求作的线段
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（ ）.
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.两点之间直线最短
D.线段是直线的一部分
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.若A，B，C在同一条直线上，线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A，C两点间的距离是( ).
A.8 cm
B.2 cm
C.8cm或4cm
D.4cm或2cm
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，比较线段AC和AB的长短，科学的方法有( )
①沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置;
②用直尺度量出AB和AC的长度;
③用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置;
④凭感觉估计.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.如图，点C，D在线段AB上，点C为AB的中点.若AC=5 cm，BD =2 cm，则CD 的长为( ).
A.2 cm B.3 cm C.5 cm D.7 cm
B
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小( ).
A.AB=CD
B.AB>CD
C.ABD.无法比较
B
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.如图，线段AB=4cm，延长线段AB到C，使BC=1cm，再反向延长AB到D，使AD=3cm，E是AD的中点，F是CD的中点，则EF的长为________cm.
2.5
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.如图，线段AB=10 cm，C是线段AB上一点，AC=4 cm，M是AB 的中点，N是AC的中点.
求：(1)线段CM的长;
解：(1)由 AB=10 cm，M 是AB 的中点，所以AM =5 cm，
因为AC =4 cm，所以 CM=AM-AC=5-4 =1(cm).
所以线段 CM 的长为1cm.
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.如图，线段AB=10 cm，C是线段AB上一点，AC=4 cm，M是AB 的中点，N是AC的中点.
求：(2)线段MN的长;
解：(2)因为N是AC 的中点，所以NC =2 cm，
所以 MN =NC +CM =2 +1 =3(cm)，
所以线段 MN 的长为3 cm.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短.
简单说成：两点之间，线段最短.
2. 连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离.
3. 若点B在线段AC上，且把线段AC分成 相等的两条线段AB与BC，这时B叫作线段AC的中点.
板书设计
课题：4.2.2 线段的长短比较与和差关系
教师板演区
学生展示区
一、线段的长短比较
二、两点之间，线段最短
三、两点间的距离
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间.小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________________________.
两点之间，线段最短
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，点E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，AC=6.
若F为线段BC的中点，且BC=4，求线段EF的长;
解：因为AC =6，BC=4，所以AB =6 +4=10，
因为点E 是线段 AB 的中点，所以AE =BE=5，所以 EC =1，
因为F为 BC 的中点，且BC=4，所以 CF =BF=2，
所以 EF =EC +CF =1 +2 =3.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3. 如图所示，完成下列各题.
(1)AD＝AB＋ ；
(2)BC＝ －CD；
(3)AB＝AD－ － ；
(4)AB＋BC＝ －CD.
BD
BD
BC
CD
AD
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
4.下列说法正确的是( ).
A. 线段AB就是A，B两点的距离
B. 连接两点的线段就是两点的距离
C. 乘火车从北京到长沙要走1 537 km，就是说北京与长沙的距离是1 537 km
D. 在两点之间的所有连线中，其中最短线的长度就是这两点的距离
D
【综合拓展类作业】
作业布置
5.如图，A，B，C，D表示4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一购物中心，试问把购物中心建在何处才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由.
A
B
C
D
解：建在A，C的连线与 B，D的连线的交点上，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小.
【综合拓展类作业】
作业布置
5.如图，A，B，C，D表示4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一购物中心，试问把购物中心建在何处才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由.
理由如下：因为两点之间，线段最短，所以购物中心应建在连接A 小区和C小区的线段上，又要建在连接B小区与 D 小区的线段上，故建在A，C的连线与B，D的连线的交点上，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小.
A
B
C
D
Thanks!
2
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分课时教学设计
《4.2.2 线段的长短比较与和差关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时隶属于初中数学几何部分，是在学生对线段有了初步认识，掌握了其基本概念与表示方法之后，进一步探究线段的度量、比较及和差运算，它既是对前面 “线段” 基础内容的深化拓展，又为后续学习角的大小比较、三角形三边关系等几何知识筑牢根基，在整个初中几何知识体系中起着承上启下的关键纽带作用，强化学生的图形直观与逻辑推理素养培育。
学习者分析 学生在小学阶段已对线段长短有朴素认知，能凭直观感觉判断简单线段长短，但尚未系统掌握严谨科学的比较方法与和差量化运算逻辑。初中阶段学生正处于从形象思维向抽象思维过渡关键期，好奇心强、具探索欲，然几何抽象特性易成学习阻碍，对叠合法操作、和差关系严谨推导可能遇到困难，教学需紧扣实例、强化操作体验与引导。
教学目标 1.能熟练运用观察法、叠合法、度量法精准比较线段长短； 2.理解并准确表述线段和差的概念，会依据图形与条件进行线段和差计算，能绘制符合要求的线段和差图形。 3.能够理解 “两点之间，线段最短” 的基本事实，能用严谨的数学语言进行表述。
教学重点 1.能熟练运用观察法、叠合法、度量法精准比较线段长短； 2.理解并准确表述线段和差的概念，会依据图形与条件进行线段和差计算，能绘制符合要求的线段和差图形。
教学难点 能够理解 “两点之间，线段最短” 的基本事实，能用严谨的数学语言进行表述。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师出示问题： 【画一画】 在练习本上用尺子画一条”线段“、”射线“和”直线“. 思考： 在线段、射线和直线中，哪一种是可以度量的？ 只有线段有两个端点，它是有长度的，可以度量。学生活动1： 通过“线段”“射线”“直线”的画法，为本节课的学习做铺垫。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师提问：说一说： 怎样比较图中的线段AB，CD的长短呢？ 方法一：目测法. 适用于线段差别较大时，用观察和估测就可以比较长短. 如果线段的长短比较接近怎么办？ 方法二：度量法. 先用一把刻度尺分别量出两条线段的长度，再进行比较. 方法三：叠合法. 先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧，再根据另一端落下的位置来比较. 像上图这样，对任意两条线段 AB 与 CD，将线段 AB 移到 CD 上，使点A与点C重合，点B与点D都在点C的同侧。 这时可能出现的情形如下表： 如图，点 C 落在线段 AB 的延长线（即以 B 为端点，方向为 A到 B的射线）上， 则线段 AC是线段 AB与线段BC的和，记作 AC = AB + BC， 线段 BC是线段 AC与线段AB的差，记作BC = AC - AB. 想一想：AB等于什么？ AB = AC - BC 议一议：杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道 . 大桥北起嘉兴市，跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长 36 km. 大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约120 km. 这是什么原理？ 根据长期实践经验可以得到关于线段的基本事实： 两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离 .学生活动2： 学生在教师的带领下学习比较线段长短的三种方法。 学生探究理解并准确表述线段和差的概念，会依据图形与条件进行线段和差计算。 学生探究关于线段的基本事实： 两点之间的所有连线中，线段最短。 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：典例精析教师活动3：教师出示例题： 【例1】如图，已知线段 a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a. 作法 :（1） 作射线AD； （2） 在AD上顺次截取AB = BC = a. 则线段AC就是所求作的线段. 像这样仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图. 若点 B 在线段 AC 上，且把线段 AC 分成相等的两条线段 AB 与 BC，这时B叫作线段 AC 的中点 . 如图，B 是线段 AC 的中点，则 AB = BC = AC. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. 【例2】如图，已知线段 a，b（a > b），作一条线段使它等于a - b. 作法 （1） 作射线AF； （2） 在射线AF上截取AC = a； （3） 在线段AC上截取AB = b. 则线段BC就是所求作的线段学生活动3： 学生完成例题，总结尺规作图的定义。 活动意图说明：通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：4.2.2 线段的长短比较与和差关系 一、线段的长短比较 二、两点之间，线段最短 三、两点间的距离
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（ B ）. A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.两点之间直线最短 D.线段是直线的一部分 2.若A，B，C在同一条直线上，线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A，C两点间的距离是( C ). A.8 cm B.2 cm C.8cm或4cm D.4cm或2cm 3.如图，比较线段AC和AB的长短，科学的方法有( C ) ①沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置; ②用直尺度量出AB和AC的长度; ③用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置; ④凭感觉估计. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，点C，D在线段AB上，点C为AB的中点.若AC=5 cm，BD =2 cm，则CD 的长为( B ). A.2 cm B.3 cm C.5 cm D.7 cm 选做题： 5.如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小( B ). A.AB=CD B.AB>CD C.AB课堂总结 本节课你学到了什么？ 1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. 2. 连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离. 3. 若点B在线段AC上，且把线段AC分成 相等的两条线段AB与BC，这时B叫作线段AC的中点.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间.小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短. 2.如图，点E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，AC=6. 若F为线段BC的中点，且BC=4，求线段EF的长; 解：因为AC =6，BC=4，所以AB =6 +4=10， 因为点E 是线段 AB 的中点，所以AE =BE=5，所以 EC =1， 因为F为 BC 的中点，且BC=4，所以 CF =BF=2， 所以 EF =EC +CF =1 +2 =3. 选做题： 3. 如图所示，完成下列各题. (1)AD＝AB＋ BD ； (2)BC＝ BD －CD； (3)AB＝AD－ BC － CD ； (4)AB＋BC＝ AD －CD. 4.下列说法正确的是( D ). A. 线段AB就是A，B两点的距离 B. 连接两点的线段就是两点的距离 C. 乘火车从北京到长沙要走1 537 km，就是说北京与长沙的距离是1 537 km D. 在两点之间的所有连线中，其中最短线的长度就是这两点的距离 【综合拓展类作业】 5.如图，A，B，C，D表示4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一购物中心，试问把购物中心建在何处才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由. 解：建在A，C的连线与 B，D的连线的交点上，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小. 理由如下：因为两点之间，线段最短，所以购物中心应建在连接A 小区和C小区的线段上，又要建在连接B小区与 D 小区的线段上，故建在A，C的连线与B，D的连线的交点上，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小.
教学反思 教学结束后，反思各环节成效。观察探究环节学生参与热情、操作熟练度，考量能否自主归纳结论，评估对核心知识理解深度；分析例题、练习解答，查看原理运用准确性、建模解题能力，定位薄弱处；回顾小组合作，反思协作氛围、沟通效率，以便后续改进教学方法、优化活动设计，提升教学质量。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第四章
课标要求 1.通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. 2.了解简单立体图形的展开图，能根据展开图想象和制作模型. 3.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. 4.掌握基本事实:两点确定一条直线. 5.掌握基本事实:两点之间，线段最短. 6.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 7.理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 8.理解余角、补角的概念，探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质.
内容分析 本章的内容属于图形与几何领域中“图形的性质”主题，是初中阶段图形与几何领域中的第一章，它在整个初中数学体系中扮演着基础性和先导性的角色，涉及的内容为学生后续深入学习几何知识奠定坚实的基础.这一章构建起了从现实物体到几何图形的桥梁，主要学习点、线、面、体、角等基本几何图形的概念，以及图形的基本性质、位置关系、数量关系等.本章内容对于培养学生的数学核心素养具有重要意义，通过图形的分类、比较等活动，培养学生的观察、分析、推理等能力，强化学生的抽象能力、几何直观、空间观念、应用意识等，这些素养的提升有助于学生的全面发展.
学情分析 在小学阶段，学生已经认识了一些常见的平面图形和立体图形，具备一定的观察能力、对比分析能力和初步的空间想象能力，在前面的学习过程中，学生已经养成了交流分享、合作探究和动手实践的数学学习习惯.七年级的学生刚刚完成对六年级过渡教材的学习，对数学学习兴趣较高，但还依赖于丰富的实际背景，学生的语言表达的准确性和条理性还有待进一步提高.
单元目标 （一）教学目标 1.能从现实世界认识物体的形状、位置等，了解立体图形和平面图形，并表述为数学概念，知道把一些立体图形的问题转化为平面图形来研究，会画相应立体图形的展开图. 2.结合现实世界的物体，了解构成复杂图形的元素，理解点、线、面、体的概念. 3.掌握基本事实:两点确定一条直线，了解两条直线相交的位置关系，了解直线、射线、线段的概念. 4.能用尺规作图，能比较线段的长短，掌握基本事实:两点之间，线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离；理解线段的和、差，以及线段中点的意义. 5.结合日常生活的观察，理解角的概念，认识度、分、秒等角的度量单位，了解角度制，并能根据实际问题画出方向角. 6.利用画图、量角器测量等方法，能比较角的大小；能进行简单的单位换算，会计算角的和、差；理解角的平分线的概念. 7.理解余角、补角的概念，掌握余角、补角的性质，并会计算余角和补角. （二）教学重点、难点 教学重点： 1.了解点、线、面、角的概念. 2.经历从不同方向观察立体图形的过程,知道简单立体图形的展开图. 3.理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 4.理解余角、补角的概念，探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质. 教学难点： 1.知道图形的特征、共性与区别,理解线段长短的度量,探究并理解角度大小的度量,形成和发展抽象能力. 2.在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1立体图形与平面图形认识几何图形14.2线段、射线、直线认识直线、射线、线段，比较线段的长短与和差关系24.3角认识角，角的大小比较，会计算角的大小，认识余角和补角3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 4.1立体图形与平面图形通过具体的生活实例抽象出几何图形,了解几何图形在生活中的分布和应用. 通过列举认识的图形,了解几何图形的内涵；通过分类,知道几何图形概念的外延,认识简单的几何图形. 由特殊推广到一般,能从生活中各种各样的实物中找出几何图形,形成几何直观.最后通过作业,锻炼学生对知识的应用能力,强化应用意识.任务一：从现实世界认识物体的形状、位置等，了解立体图形和平面图形。 任务二：把一些立体图形的问题转化为平面图形来研究，会画相应立体图形的展开图。 4.2线段、射线、直线1.在现实情境中理解线段、射线、直线的概念,并会用不同的方式表示. 2.在解决问题的过程中提升比较、联想、猜想等思维能力,提高解决问题的积极性和主动性. 比较线段、射线和直线的联系与区别,并根据直线的表示方法猜想射线和线段 的表示方法. 任务一：掌握线段、射线、直线的概念。 任务二：根据直线的表示方法猜想射线和线段的表示方法。 任务三：练习巩固。1.会比较两条线段的长短；会用尺规作一条线段等于已知线段，理解线段等分点的意义。 2.了解两点间距离的意义,理解“两点之间,线段最短”的基本事实,并学会运用.1.了解“两点之间,线段最短”的基本事实； 2.能用多种方法(观察法、度量法、叠合法)比较线段的长短； 3.尺规作图.任务一：掌握“两点之间，线段最短”的基本事实； 任务二：用尺规作图画线段； 任务三：练习巩固。 4.3角1.知道角、角的顶点、角的边的含义，会用三种方法表示角. 2.会在简单图形中识别并表示角. 3.会用量角器量角，会用量角器画出任何给定度数的角.理解角的有关概念，掌握角的表示方法.会进行角的度量，以及度、分、秒的互化。进一步认识锐角、钝角、直角、平角、周角及其大小关系.任务一：认识角及其相关概念； 任务二：认识锐角、钝角、直角、平角、周角及其大小关系； 任务三：练习巩固。1.使学生进一步认识角的有关概念； 2.会用符号、字母表示角； 3.使学生正确掌握“角、分、秒”的互化，会进行角度的和、差计算。认识直角、锐角和钝角，掌握角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算。任务一：认识直角、锐角和钝角相关概念； 任务二：掌握角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算； 任务三：练习巩固。1.知道互为余角、互为补角的意义，会求一个角余角和补角的度数. 2.知道等角的补角或余角相等，培养初步的推理能力.了解余角与补角．懂得等角的余角相等，等角的补角相等．并能运用这些性质解决一些简单的实际问题.任务一：认识余角与补角相关概念； 任务二：掌握等角的余角相等，等角的补角相等； 任务三：练习巩固。
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