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5第22章《二次函数》阶段检测卷(一)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2（x﹣1）2﹣4 D．y＝（x﹣1）2﹣x2﹣1
【思路点拔】根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：A、不是整式，不是二次函数，故不符合题意；
B、a＝0是一次函数，故A不符合题意；
C、y＝2（x﹣1）2﹣4符合二次函数的定义，符合题意；
D、解析式化简后不含二次项，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）以下函数的图象的顶点坐标为（2，0）的是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝﹣3（x﹣2）2
C．y＝﹣2（x+2）2 D．y＝﹣x2+2
【思路点拔】因为抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），根据这个模式求出每个函数的顶点坐标，再比较．
【解答】解：A、y＝2x2+3的顶点坐标是（0，3），不符合题意；
B、y＝﹣3（x﹣2）2的顶点坐标是（2，0），符合题意；
C、y＝﹣2（x+2）2的顶点坐标是（﹣2，0），不符合题意；
D、y＝﹣x2+2的顶点坐标是（0，2），不符合题意．
故选：B．
3．（3分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向下
B．图象的顶点坐标为（﹣3，1）
C．图象的对称轴是直线x＝﹣3
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1，
∴该函数图象的开口向上，故选项A错误，不符合题意；
该函数图象的顶点坐标为（3，1），故选项B错误，不符合题意；
图象的对称轴是直线x＝3，故选项C错误，不符合题意；
当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
4．（3分）顶点是（﹣2，1），开口方向，形状与抛物线yx2相同的抛物线是（ ）
A．y（x+2）2+1 B．y（x﹣2）2+1
C．y（x﹣2）2+1 D．y（x+2）2+1
【思路点拔】由所求抛物线与已知抛物线开口方向，形状相同，得到a的值相等，再由顶点坐标确定出解析式即可．
【解答】解：根据题意得：抛物线解析式为y（x+2）2+1，
故选：A．
5．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+h）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣9 C．1 D．9
【思路点拔】根据题意可得二次函数的对称轴x＝﹣3，进而可得h的值，从而可得函数解析式y＝﹣（x+3）2，再把x＝0代入函数解析式可得y的值．
【解答】解：由题意得：二次函数y＝﹣（x+h）2的对称轴为x＝﹣3，
故h＝3，
把h＝3代入二次函数y＝﹣（x+h）2可得y＝﹣（x+3）2，
当x＝0时，y＝﹣9，
故选：B．
6．（3分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2
C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2﹣2
【思路点拔】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2的顶点为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（3，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，﹣2），所以平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2．
故选：A．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据ab＞0，可以得到a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，然后分类讨论y＝ax2与y＝ax+b的图象所在的象限，本题得以解决．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，
当a＞0，b＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，顶点在原点，函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选项A、B错误，不符合题意；
当a＜0，b＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，顶点在原点，函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，故选项C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；
故选：D．
8．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【思路点拔】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴C（﹣2，y3）关于直线x＝1的对称点是（4，y3），
∵1＜2＜4，
∴y1＜y2＜y3，
故选：D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 4 ﹣4 6 …
（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值得增大而增大；（3）﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＜0，其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】利用表格中数据得出抛物线的解析式，根据对称轴以及与坐标轴交点，进而分别对每一项进行判断即可得出答案．
【解答】解：将（0，4）（1，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：
则函数的解析式为：y＝9x2﹣17x+4，
（1）ac＝4×9＝36＞0，故（1）错误；
（2）当x时，y的值随x值得增大而增大，故（2）正确；
（3）﹣1不是方程9x2﹣17x+4＝0的一个根，故（3）错误；
（4）当x时，y＞0时，故（4）错误；
故选：D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
【思路点拔】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：1，
解得m≥﹣1．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的开口方向是 向下 ．
【思路点拔】依据题意，根据二次函数的二次项系数即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的二次项系数a＝﹣1＜0，
∴抛物线y＝﹣（x﹣1）2的开口向下．
故答案为：向下．
12．（3分）二次函数y＝x2﹣2（x﹣1）+2的二次项系数、一次项系数和常数项的和为 3 ．
【思路点拔】先化简得出y＝x2﹣2x+4，再求出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，最后求出和即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2（x﹣1）+2
∴y＝x2﹣2x+4，
∴二次函数y＝x2﹣2（x﹣1）+2的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，﹣2，4，
和为1+（﹣2）+4＝3．
故答案为：3．
13．（3分）二次函数y＝3（x+2）2﹣5的最小值是 ﹣5 ．
【思路点拔】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【解答】解：由于（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，函数取得最小值为﹣5．
故答案为：﹣5．
14．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ﹣1 ．
【思路点拔】由图象可知抛物线经过原点，把（0，0）代入抛物线的解析式即可求得a的值．
【解答】解：由图象可知抛物线经过原点，
把（0，0）代入y＝ax2﹣3x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
a2＝1，
因为抛物线开口向下，
所以a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣2，当0≤x≤m时，函数y的最小值为﹣3，则m的值为 ．
【思路点拔】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的值，本题得以解决．
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
当x＝1时，该函数取得最大值﹣1，该函数图象开口向下，
令﹣x2+2x﹣2＝﹣3，
解得或，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，
∴，
故答案为：．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数）的顶点在第四象限，且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①b＜0；
②a+b﹣c＞0；
③若4a+c＜0，则当x＞1时，y随x的增大而增大；
④若抛物线的顶点为P（1，n），则方程ax2+b（x+1）+c＝n有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【思路点拔】由题意可知0，由于a﹣b+c＝0，所以图象经过（1，0），从而可判断抛物线的开口向上．
【解答】解：①抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数）的顶点在第四象限，
∴0，
∵a﹣b+c＝0，
∴图象经过（1，0），
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＜0，故①符合题意．
②∵a﹣b+c＝0，
∴b﹣c＝a，
∴a+b﹣c＝2a＞0，故②符合题意．
③∵4a+c＝4a+b﹣a＝3a+b＜0，
∴3，
∴，
∴x，y随着x的增大而增大，故③不符合题意．
④由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，a+b+c＝n，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∵a+b+c＝n，
∴b+c＝n﹣a，
∵ax2+b（x+1）+c＝n，
∴ax2+bx+b+c＝n，
ax2+bx+n﹣a＝n，
ax2+bx＝a，
ax2﹣2ax＝a，
x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝4﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程ax2+b（x+1）+c＝n有两个不相等的实数根，故④符合题意．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）通过配方，写出抛物线y＝﹣3x2+6x﹣7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【思路点拔】先提取二次项系数﹣3，然后利用完全平方公式配方即可，再根据二次项系数写出开口方向，然后写出对称轴与顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x﹣7＝﹣3（x﹣1）2﹣4．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2﹣4．
∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线y＝﹣3x2+6x﹣7的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）．
18．（8分）已知函数y（x+2）2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是 向下 ，对称轴是 直线x＝﹣2 ，顶点坐标为 （﹣2，﹣2） ．
（2）当x ＞﹣2 时，y随x的增大而小；
（3）怎样移动抛物线yx2就可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．
【思路点拔】（1）、（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据平移的平移规律求解．
【解答】解：（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小；
（3）把抛物线yx2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．
故答案为向下，直线x＝﹣2，（﹣2，﹣2）；＞2；
19．（8分）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点A（8，14）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）设该抛物线与y轴交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求△BCD的面积．
【思路点拔】（1）根据顶点坐标设出抛物线解析式，将点A坐标代入求解可得；
（2）先求出B、C、D三点的坐标，再根据三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x）2
∵抛物线经过A（8，14），
∴14＝a（8）2，
解得：a，
∴y（x）2（或yx2x+2）
（2）令x＝0得y＝2，
∴B（0，2）
令y＝0得x2x+2＝0，
解得x1＝1、x2＝4
∴C（1，0）、D（4，0），
则△BCD的面积为（4﹣1）×2＝3．
20．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c的常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2
y ﹣3 3 5 3
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点P（m，9m）在该二次函数的图象上，求m的值．
【思路点拔】（1）把表中的前面三组对应值分别代入y＝ax2+bx+c中得到a、b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入（1）中的解析式值得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）把（﹣1，﹣3）、（0，3）、（1，5）分别代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+3；
（2）∵点P（m，9m）在该二次函数的图象上，
∴﹣2m2+4m+3＝9m，
整理得2m2+5m﹣3＝0，
解得m1，m2＝﹣3，
即m的值为或﹣3．
21．（8分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．
【思路点拔】（1）把点C的坐标代入函数解析式求出n的值即可得解；
（2）根据函数解析式求出抛物线的对称轴以及点B的坐标，设对称轴与x轴相交于点E，过点P作PF⊥对称轴于F，根据同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“角角边”证明△BEM和△MFP全等，根据全等三角形对应边相等可得PF＝ME，MF＝BE，设PF＝a，然后分点P在x轴上方和下方两种情况表示出点P的坐标，再代入函数解析式，计算求出a的值即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣1）2+n与y轴交于C（0，﹣3），
∴1+n＝﹣3，
∴n＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的对称轴为直线x＝1，
令y＝0，则（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
设对称轴与x轴相交于点E，过点P作PF⊥对称轴于F，
则BE＝3﹣1＝2，
∵△BMP是等腰直角三角形，
∴MB＝MP，∠BMP＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△BEM和△MFP中，
，
∴△BEM≌△MFP（AAS），
∴PF＝ME，MF＝BE，
设PF＝a，①若点P在x轴的下方，则点P的坐标为（a+1，﹣a﹣2），
∵点P在抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上，
∴（a+1﹣1）2﹣4＝﹣a﹣2，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣2（舍去），
∴点P的坐标为（2，﹣3）；
②若点P在x轴的上方，则点P的坐标为（a+1，a+2），
∵点P在抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上，
∴（a+1﹣1）2﹣4＝a+2，
整理得，a2﹣a﹣6＝0，
解得a1＝﹣2，a2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（4，5），
综上所述，点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
22．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，交y轴于点B．
（1）求a的值．
（2）延长AB至点C，使得AB：BC＝2：3．若将该抛物线向下平移m个单位长度，再向右平移n个单位长度，平移后的抛物线恰好经过A，C两点，已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
【思路点拔】（1）根据待定系数法可求a的值；
（2）根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴为直线x，可得n，再根据待定系数法可求m的值．
【解答】解：（1）由知，B（0，）．
∵A（﹣2，），
∴4﹣2a，
解得a＝2．
故a的值是2；
（2）∵A（﹣2，），B（0，），
∴AB＝2且AB∥x轴．
∵AB：BC＝2：3，
∴BC＝3，
∴C（3，）．
根据A（﹣2，）和C（3，）确定线段AC的中点坐标为（，），
∴根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴为直线x．
∴n，
设平移后的抛物线表达式为，
把C（3，）代入得：m，
解得．
故m的值是，n的值是．
23．（10分）如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC＝16．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式及其对称轴；
（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．
【思路点拔】（1）由A（2，0），B（6，0），可得AB＝6﹣2＝4．由S△ABC＝16，根据三角形的面积公式得出4 OC＝16，求出OC＝8，于是得到点C的坐标为（0，8）；
（2）由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），再将C（0，8）代入，利用待定系数法求出抛物线的解析式为yx2x+8，进而得到对称轴为直线x＝4；
（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，根据题意得出D（4m，﹣m），E（4m，﹣m）．将E（4m，﹣m）代入yx2x+8，得﹣m（4m）2（4m）+8，解方程求出m的值，进而得到S正方形DEFG．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB＝6﹣2＝4．
∵S△ABC＝16，
∴4 OC＝16，
∴OC＝8，
∴点C的坐标为（0，8）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将C（0，8）代入，得8＝12a，
解得a，
∴y（x﹣2）（x﹣6）x2x+8，
故抛物线的解析式为yx2x+8，其对称轴为直线x＝4；
（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，
∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），
∴D（4m，﹣m），E（4m，﹣m）．
将E（4m，﹣m）代入yx2x+8，
得﹣m（4m）2（4m）+8，
整理得，m2+6m﹣16＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣8（不合题意舍去），
∴正方形DEFG的边长为2，
∴S正方形DEFG＝22＝4．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E（t，﹣t+3﹣m），可得DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DFDE（﹣t2+3t+m）（t）2（m），运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a+2a+3＝0，
∴a＝﹣1．
（2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．
∵y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，
设D（t，﹣t2+2t+3），
过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，
∴E（t，﹣t+3﹣m），
∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∵B′C′∥BC，
∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，
∵DE∥y轴，
∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，
∵∠DFE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DFDE（﹣t2+3t+m）（t）2（m），
∵0，
∴当t时，DF取得最大值（m），此时点D的坐标为（，）．
（3）存在．
当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P，如图，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），
∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，
∴△BOM≌△COA（SAS），
∴∠MBO＝∠ACO，
∵∠CBO＝45°，
∴∠CBP+∠MBO＝45°，
∴∠CBP+∠ACO＝45°，
设直线BM的解析式为y＝k′x+b′，则，
解得：，
∴直线BM的解析式为yx+1，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴P（，）；
当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P，
由对称得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，
∴∠MCM′＝90°，
∴M′（2，3），
则直线BM′的解析式为y＝﹣3x+9，
联立，得：，
解得：（舍去），，
∴P（2，3）；
综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直线BP的解析式为yx+1或y＝﹣3x+9．中小学教育资源及组卷应用平台
5第22章《二次函数》阶段检测卷(一)
(测试范围:第22.1二次函数的图象和性质 解答参考时间:120分钟 满分:120分)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2（x﹣1）2﹣4 D．y＝（x﹣1）2﹣x2﹣1
2．（3分）以下函数的图象的顶点坐标为（2，0）的是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝﹣3（x﹣2）2
C．y＝﹣2（x+2）2 D．y＝﹣x2+2
3．（3分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向下
B．图象的顶点坐标为（﹣3，1）
C．图象的对称轴是直线x＝﹣3
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
4．（3分）顶点是（﹣2，1），开口方向，形状与抛物线yx2相同的抛物线是（ ）
A．y（x+2）2+1 B．y（x﹣2）2+1
C．y（x﹣2）2+1 D．y（x+2）2+1
5．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+h）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣9 C．1 D．9
6．（3分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2
C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2﹣2
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 4 ﹣4 6 …
（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值得增大而增大；（3）﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＜0，其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的开口方向是 ．
12．（3分）二次函数y＝x2﹣2（x﹣1）+2的二次项系数、一次项系数和常数项的和为 ．
13．（3分）二次函数y＝3（x+2）2﹣5的最小值是 ．
14．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ．
15．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣2，当0≤x≤m时，函数y的最小值为﹣3，则m的值为 ．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数）的顶点在第四象限，且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①b＜0；
②a+b﹣c＞0；
③若4a+c＜0，则当x＞1时，y随x的增大而增大；
④若抛物线的顶点为P（1，n），则方程ax2+b（x+1）+c＝n有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）通过配方，写出抛物线y＝﹣3x2+6x﹣7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．（8分）已知函数y（x+2）2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ．
（2）当x 时，y随x的增大而小；
（3）怎样移动抛物线yx2就可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．
19．（8分）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点A（8，14）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）设该抛物线与y轴交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求△BCD的面积．
20．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c的常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2
y ﹣3 3 5 3
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点P（m，9m）在该二次函数的图象上，求m的值．
21．（8分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．
22．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，交y轴于点B．
（1）求a的值．
（2）延长AB至点C，使得AB：BC＝2：3．若将该抛物线向下平移m个单位长度，再向右平移n个单位长度，平移后的抛物线恰好经过A，C两点，已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
23．（10分）如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC＝16．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式及其对称轴；
（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．
