同底数幂的乘除法—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2020七上·宝山期末）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·岳阳开学考）若3 =4，9 =7，则的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
3．（2024九上·哈尔滨开学考）下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·兴县期末）若 ，则m+n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．ax=2，ay=3，则ax+y=（ ）
A．5 B．6 C．3 D．2
6．（2021七下·诸暨期末）已知 ， ， ，则 ， ， 之间满足的等量关系是 .
7．计算下列各式，并用幂的形式表示结果．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
8．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） (-14)3×14．
（2） (a-b) ·(b-a)5
（3） (-5)2×(-5)3×54．
（4） 10 000 000×(-10 000 000 000)
（5） (-2)2020+(- 2)2021．
（6） 1000×10m+1．
9．（2023七下·沭阳期中）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值．
二、能力提升
10．（2024八下·黄冈开学考）已知为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2024七下·义乌月考）在关于 的二元一次方程组 ， 有下列说法：
①当 时，方程的两根互为相反数：
②当且仅当 时，解得 与 相等；
③ 满足关系式 ；
④若 ， 则 .
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
12．（2024七下·榕城期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于( )
A． B． C． D．
13．（2024七下·九江）若，求的值．
14． 计算机硬盘容量的最小单位为字节 （byte）， 1 个数字 （如 ） 占 1 个字节 （记作 1B）， 1 个英文字母占 1 个字节， 1 个汉字占 2 个字节， 1 个标点符号占 1 个字节， 计算机硬盘容量的常用单位有 ， 其中 ， 读作“1 兆”， 读作“1 吉”．已知 ．
（1）用底数为 2 的幂表示： 有多少个字节？ 有多少个字节？
（2） 设 ， 用底数为 10 的幂表示： 大约有多少个字节？ 大约有多少个字节？
（3） 根据 （2） ， 硬盘容量为 的计算机大约能容纳多少个字节？
三、拓展创新
15．（2024七下·抚州期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
（1）①若，则________；
②若，则________；
（2）若，求的值．
16．（2023八上·武汉月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．
例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为．
（1）①计算以下各对数的值：
， ， ；
②、、之间的数量关系是 ；
（2）猜想一般性的结论： ▲ （结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：A.
【分析】先利用同底数幂的乘法及幂的乘方将代数式变形为，再将数据代入求解即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A.，故正确；
对于B.，故正确；
对于C. ，故正确；
对于D.，故不正确；
故选B
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则逐项计算即可
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ ， ，且
∴
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法计算即可。
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】 ax+y=ax ay，∵ax=2，ay=3，∴ax+y=ax ay=2×3=6，故选B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算，先把ax+y写成ax ay的形式，再求解就容易了．
6．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵4×25=100， ， ，
∴
故
∴
故答案为： .
【分析】观察可知4×25=10×10，可得到，利用同底数幂相乘的法则，可得到a，b，c之间的数量关系.
7．【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，即“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”.
8．【答案】（1）解：原式= (-14)3×14=-144；
（2）解： (a-b) ·(b-a)5 =-（b-a） ·(b-a)5 =- (b-a)6 ；
（3）解： (-5)2×(-5)3×54=-52×53×54=-59；
（4）解：原式=-107×1010=-1017；
（5）解： (-2)2020+(- 2)2021= (-2)2020+（-2）×(- 2)2020=（1-2）×(- 2)2020= 22020 ；
（6）解：1000×10m+1=103×10m+1，=103+m+1=10m+4.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此分别计算即可.
9．【答案】（1）解：
∴，
；
（2）解：
则．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1·2x=2x·2·2x=22x+1=25，则2x+1=5，求解可得x的值；
（2）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1+2x=2x(2+1)=24，则2x=8=23，据此可得x的值.
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，，
∵a，b，c为正整数，
∴当时，；则有：；
当时，；则有：；
当时，，则有：；
∴不可能为8．
故答案为：D．
【分析】本题考查幂的运算；先将原方程变形为，可推出，，再结合a，b，c为正整数，可求出a，c的值，进而求出得值，据此可确定答案．
11．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程的解；幂的乘方运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解得：，
①当a=3时，，则方程的两根互为相反数，故①正确；
②当a=-4时，，则方程的两根相等，故②正确；
③x+5y=+5×（-）==-12，故③正确；
④∵，
∴32x·33y=34，
∴32x+3y=34，
∴2x+3y=4，
把代入2x+3y=4得：=4，
解得a=10，故④正确.
故答案为：D.
【分析】先解方程组为，把a=3代入求出x、y的值，即可判断①；把a=-4代入求出x、y的值，即可判断②；把方程组的解代入x+5y中求值，即可判断③；由可得32x+3y=34，即得2x+3y=4，再将方程组的解代入，解方程求出a值，即可判断④.
12．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：交换后各袋数量，甲(29-2x+2y )个、乙[(29+2x-(2x+2y)]个、丙（5+2x+2y-2y)个.
因为交换后数量相等，由甲数量=乙数量，乙数量=丙数量得
解得
故答案为：A.
【分析】本题先用代数式表示交换后三个袋中球的个数，再根据交接后各袋中数量相等列方程组，求出2x与2y的值，进而求解.
13．【答案】解：，
则，
，
整理得：．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据同底数幂的乘方规则整理，可得关于m、n的方程组，即可得结果.
14．【答案】（1）解：，
（2）解：．
．
（3）解：
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据条件得到、然后将1024改写成的形式，再根据同底数幂相乘法则计算出结果； 将该结果再乘以1024（即210）就计算出1GB等于多少B；
（2）计算过程与（1）类似，只是B、KB、MB、GB之间的等量关系不同而已，以及底数由2变为10；（3）根据（2）得出的1GB=109B的基础上再乘以10即可.
15．【答案】（1）解：①，②
（2）解：，
，
，
当时，；
当时，；
的值为27或．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）①∵，
∴；
②，
，
故答案为：，.
【分析】（1）①利用新运算的规定，将f(2)拆分成f(1+1)，在进行运算即可；②利用新运算的规定，将将f(2)拆分成f(1+1)，进行运算即可；
（2）利用新运算的规定，将所给条件f(4)=81拆分成f(1)4=81，可求出f(1)的值为±3，在把要求的值f(3)拆分成f(1)3，分别代入f(1)得值进行计算即可．
16．【答案】（1）2；4；6；
（2）.
证明：设，则，
故可得，
即.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：（1）①∵4=22，64=26，16=24，
∴2， 4，6.
故答案为：2，4，6.
②∵2+4=6，
∴+=.
故答案为：+=.
【分析】（1）①根据材料中对数的定义求解；②根据①结果可得等式；
（2）设，则，分别求出MN及b1+b2的值，即可得出猜想.
1 / 1同底数幂的乘除法—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2020七上·宝山期末）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
2．（2024八上·岳阳开学考）若3 =4，9 =7，则的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：A.
【分析】先利用同底数幂的乘法及幂的乘方将代数式变形为，再将数据代入求解即可.
3．（2024九上·哈尔滨开学考）下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A.，故正确；
对于B.，故正确；
对于C. ，故正确；
对于D.，故不正确；
故选B
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则逐项计算即可
4．（2020八上·兴县期末）若 ，则m+n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ ， ，且
∴
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法计算即可。
5．ax=2，ay=3，则ax+y=（ ）
A．5 B．6 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】 ax+y=ax ay，∵ax=2，ay=3，∴ax+y=ax ay=2×3=6，故选B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算，先把ax+y写成ax ay的形式，再求解就容易了．
6．（2021七下·诸暨期末）已知 ， ， ，则 ， ， 之间满足的等量关系是 .
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵4×25=100， ， ，
∴
故
∴
故答案为： .
【分析】观察可知4×25=10×10，可得到，利用同底数幂相乘的法则，可得到a，b，c之间的数量关系.
7．计算下列各式，并用幂的形式表示结果．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，即“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”.
8．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） (-14)3×14．
（2） (a-b) ·(b-a)5
（3） (-5)2×(-5)3×54．
（4） 10 000 000×(-10 000 000 000)
（5） (-2)2020+(- 2)2021．
（6） 1000×10m+1．
【答案】（1）解：原式= (-14)3×14=-144；
（2）解： (a-b) ·(b-a)5 =-（b-a） ·(b-a)5 =- (b-a)6 ；
（3）解： (-5)2×(-5)3×54=-52×53×54=-59；
（4）解：原式=-107×1010=-1017；
（5）解： (-2)2020+(- 2)2021= (-2)2020+（-2）×(- 2)2020=（1-2）×(- 2)2020= 22020 ；
（6）解：1000×10m+1=103×10m+1，=103+m+1=10m+4.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此分别计算即可.
9．（2023七下·沭阳期中）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值．
【答案】（1）解：
∴，
；
（2）解：
则．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1·2x=2x·2·2x=22x+1=25，则2x+1=5，求解可得x的值；
（2）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1+2x=2x(2+1)=24，则2x=8=23，据此可得x的值.
二、能力提升
10．（2024八下·黄冈开学考）已知为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，，
∵a，b，c为正整数，
∴当时，；则有：；
当时，；则有：；
当时，，则有：；
∴不可能为8．
故答案为：D．
【分析】本题考查幂的运算；先将原方程变形为，可推出，，再结合a，b，c为正整数，可求出a，c的值，进而求出得值，据此可确定答案．
11．（2024七下·义乌月考）在关于 的二元一次方程组 ， 有下列说法：
①当 时，方程的两根互为相反数：
②当且仅当 时，解得 与 相等；
③ 满足关系式 ；
④若 ， 则 .
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程的解；幂的乘方运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解得：，
①当a=3时，，则方程的两根互为相反数，故①正确；
②当a=-4时，，则方程的两根相等，故②正确；
③x+5y=+5×（-）==-12，故③正确；
④∵，
∴32x·33y=34，
∴32x+3y=34，
∴2x+3y=4，
把代入2x+3y=4得：=4，
解得a=10，故④正确.
故答案为：D.
【分析】先解方程组为，把a=3代入求出x、y的值，即可判断①；把a=-4代入求出x、y的值，即可判断②；把方程组的解代入x+5y中求值，即可判断③；由可得32x+3y=34，即得2x+3y=4，再将方程组的解代入，解方程求出a值，即可判断④.
12．（2024七下·榕城期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：交换后各袋数量，甲(29-2x+2y )个、乙[(29+2x-(2x+2y)]个、丙（5+2x+2y-2y)个.
因为交换后数量相等，由甲数量=乙数量，乙数量=丙数量得
解得
故答案为：A.
【分析】本题先用代数式表示交换后三个袋中球的个数，再根据交接后各袋中数量相等列方程组，求出2x与2y的值，进而求解.
13．（2024七下·九江）若，求的值．
【答案】解：，
则，
，
整理得：．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据同底数幂的乘方规则整理，可得关于m、n的方程组，即可得结果.
14． 计算机硬盘容量的最小单位为字节 （byte）， 1 个数字 （如 ） 占 1 个字节 （记作 1B）， 1 个英文字母占 1 个字节， 1 个汉字占 2 个字节， 1 个标点符号占 1 个字节， 计算机硬盘容量的常用单位有 ， 其中 ， 读作“1 兆”， 读作“1 吉”．已知 ．
（1）用底数为 2 的幂表示： 有多少个字节？ 有多少个字节？
（2） 设 ， 用底数为 10 的幂表示： 大约有多少个字节？ 大约有多少个字节？
（3） 根据 （2） ， 硬盘容量为 的计算机大约能容纳多少个字节？
【答案】（1）解：，
（2）解：．
．
（3）解：
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据条件得到、然后将1024改写成的形式，再根据同底数幂相乘法则计算出结果； 将该结果再乘以1024（即210）就计算出1GB等于多少B；
（2）计算过程与（1）类似，只是B、KB、MB、GB之间的等量关系不同而已，以及底数由2变为10；（3）根据（2）得出的1GB=109B的基础上再乘以10即可.
三、拓展创新
15．（2024七下·抚州期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
（1）①若，则________；
②若，则________；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：①，②
（2）解：，
，
，
当时，；
当时，；
的值为27或．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）①∵，
∴；
②，
，
故答案为：，.
【分析】（1）①利用新运算的规定，将f(2)拆分成f(1+1)，在进行运算即可；②利用新运算的规定，将将f(2)拆分成f(1+1)，进行运算即可；
（2）利用新运算的规定，将所给条件f(4)=81拆分成f(1)4=81，可求出f(1)的值为±3，在把要求的值f(3)拆分成f(1)3，分别代入f(1)得值进行计算即可．
16．（2023八上·武汉月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．
例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为．
（1）①计算以下各对数的值：
， ， ；
②、、之间的数量关系是 ；
（2）猜想一般性的结论： ▲ （结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程．
【答案】（1）2；4；6；
（2）.
证明：设，则，
故可得，
即.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：（1）①∵4=22，64=26，16=24，
∴2， 4，6.
故答案为：2，4，6.
②∵2+4=6，
∴+=.
故答案为：+=.
【分析】（1）①根据材料中对数的定义求解；②根据①结果可得等式；
（2）设，则，分别求出MN及b1+b2的值，即可得出猜想.
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