幂的乘方—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·梅河口期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·岳阳开学考）若，，则的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
3．（2019八上·邯郸期中）若n为正整数，则计算 的结果是（ ）
A． B． C． D． 或
4．（2024八上·凤山期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2024八上·朝阳期中）已知，则（ ）
A．10 B．12 C．13 D．32
6．（2024八上·大兴期末）计算： ．
7．（2023八上·北塔月考）已知，则的值为 ．
8．（2021八上·大石桥期中）计算：
（1）[(-a)3]4；
（2）(-m2)3·(-m3)2．
（3）[(m-n)2]5(n-m)3
（4）(-x2)5+(-x5)2
9．（2021八上·仁寿期中）已知 ， ，求 的值.
10．（2021八上·内江开学考）
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
二、能力提升
11．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
12．（2023八上·花垣月考） 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：
因为，，所以.
请你仿照上面的方法试比较和的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法比较
13．（2023八上·大冶期末）已知，，则 ．（a、b为正整数）
14．（2022·台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于与之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
三、拓展创新
15．规定新运算“ ” ． 例如 ， 则 .
16．（2024七下·金溪期中）如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则 ；
17．记
（1）计算： ．
（2） 求 的值．
（3） 求证： 与 互为相反数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解： =a12.
故答案为：B。
【分析】根据幂的乘方直接计算出答案即可。
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意知：，，所以．
故选：A．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则，准确化简、计算即可求解.
3．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：若n为奇数，原式= =0；
若n为偶数，原式= = ．
故答案为：D．
【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则计算即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
5．【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
故原式．
故答案为：B
【分析】根据幂的乘方的逆用，再整体代入即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据乘方的运算法则、计算即可.
7．【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】32a-b=32a÷3b=(3a)2÷3b ∵3a=4 3b=5 ∴ 原式 =42÷5= ；故答案为：
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，对所求的式子进行整理，再带入相应的值运算即可。
8．【答案】（1）解：[(-a)3]4 ；
（2）解：(-m2)3·(-m3)2
（3）解：[(m-n)2]5(n-m)3
（4）解：(-x2)5+(-x5)2
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算即可；
（2）先利用幂的乘方化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（3）将（n-m）当作整体，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（4）先利用幂的乘方化简，再合并同类项即可。
9．【答案】解：已知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又已知 ，
∴ ，
∴ ，
联立①②，
解得 ，
∴ .
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【分析】根据幂的乘方法则可得2x=4y+1=(22)y+1=22y+2，27y=33y=3x-1，则x=2y+2，3y=x-1，据此可求出x、y，然后根据有理数的减法法则进行计算.
10．【答案】（1）解：∵m+4n=3
∴2m 16n=2m 24n=2m+4n=23=8；
（2）解：∵ x2n＝4
∴ （x3n）2﹣2（x2）2n=（x2n）3-2（x2n）2=43-2×42=64-32=32.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用已知可得到m+4n=3，再将代数式转化为2m+4n；然后整体代入求值.
（2）将代数式转化为（x2n）3-2（x2n）2，再整体代入进行计算即可.
11．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
12．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
∵，，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则把比较的两个数转化为同指数的幂，通过比较底数的大小来解决问题。
13．【答案】2
【知识点】同底数幂的乘法；等式的基本性质；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵50a=20，8b=20
∴，
∴，
∴
∴=2
故答案为：2.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时取幂次方或者同时乘以相等的数，等式不变求解，进而根据同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则即可求解.
14．【答案】（1）解：15天小时小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，
∵60亿介于与之间，
亿，即亿，
而，
亿，
个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1） 由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360个小时，分裂成个绿藻细胞 ，即得k值；
（2） 根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于与之间， 可得 制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞， 且即亿， 由于，即得个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」.
15．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据新运算法则列出常规算式，再利用幂的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到答案.
16．【答案】3
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：如果，则，，
，
，
故答案为：3.
【分析】 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算求解。
17．【答案】（1）解：．
（2）解： ．
（3）证明： ，
与 互为相反数．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）由已知可得：M（5）可以转化为（-2）5，然后计算出其结果。同理：M（6）可以转化为（-2）6，也计算出其结果。进而再计算出M（5）+M（6）的结果即可.
（2）先把M（2019）可以转化为（-2）2019，把M（2020）转化为（-2）2020。然后把2×（-2）2019转化为：-（-2）×（-2）2019= -（-2）2020 的形式。再计算出 -（-2）2020+ （-2）2020的结果即可.
（3）先把M（n）可以转化为（-2）n，把M（n+1）可以转化为（-2）n+1。然后把2×M（n）转化为2×（-2）n= - （-2）×（-2）n= - （-2）n+1，进而再计算出 - （-2）n+1+（-2）n+1的结果为0。所以可知2M（n）与M（n+1）互为相反数.
1 / 1幂的乘方—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·梅河口期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解： =a12.
故答案为：B。
【分析】根据幂的乘方直接计算出答案即可。
2．（2024八上·岳阳开学考）若，，则的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意知：，，所以．
故选：A．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则，准确化简、计算即可求解.
3．（2019八上·邯郸期中）若n为正整数，则计算 的结果是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：若n为奇数，原式= =0；
若n为偶数，原式= = ．
故答案为：D．
【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则计算即可．
4．（2024八上·凤山期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
5．（2024八上·朝阳期中）已知，则（ ）
A．10 B．12 C．13 D．32
【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
故原式．
故答案为：B
【分析】根据幂的乘方的逆用，再整体代入即可求出答案.
6．（2024八上·大兴期末）计算： ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据乘方的运算法则、计算即可.
7．（2023八上·北塔月考）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】32a-b=32a÷3b=(3a)2÷3b ∵3a=4 3b=5 ∴ 原式 =42÷5= ；故答案为：
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，对所求的式子进行整理，再带入相应的值运算即可。
8．（2021八上·大石桥期中）计算：
（1）[(-a)3]4；
（2）(-m2)3·(-m3)2．
（3）[(m-n)2]5(n-m)3
（4）(-x2)5+(-x5)2
【答案】（1）解：[(-a)3]4 ；
（2）解：(-m2)3·(-m3)2
（3）解：[(m-n)2]5(n-m)3
（4）解：(-x2)5+(-x5)2
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算即可；
（2）先利用幂的乘方化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（3）将（n-m）当作整体，再利用同底数幂的乘法计算即可；
（4）先利用幂的乘方化简，再合并同类项即可。
9．（2021八上·仁寿期中）已知 ， ，求 的值.
【答案】解：已知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又已知 ，
∴ ，
∴ ，
联立①②，
解得 ，
∴ .
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【分析】根据幂的乘方法则可得2x=4y+1=(22)y+1=22y+2，27y=33y=3x-1，则x=2y+2，3y=x-1，据此可求出x、y，然后根据有理数的减法法则进行计算.
10．（2021八上·内江开学考）
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【答案】（1）解：∵m+4n=3
∴2m 16n=2m 24n=2m+4n=23=8；
（2）解：∵ x2n＝4
∴ （x3n）2﹣2（x2）2n=（x2n）3-2（x2n）2=43-2×42=64-32=32.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用已知可得到m+4n=3，再将代数式转化为2m+4n；然后整体代入求值.
（2）将代数式转化为（x2n）3-2（x2n）2，再整体代入进行计算即可.
二、能力提升
11．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
12．（2023八上·花垣月考） 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：
因为，，所以.
请你仿照上面的方法试比较和的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
∵，，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则把比较的两个数转化为同指数的幂，通过比较底数的大小来解决问题。
13．（2023八上·大冶期末）已知，，则 ．（a、b为正整数）
【答案】2
【知识点】同底数幂的乘法；等式的基本性质；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵50a=20，8b=20
∴，
∴，
∴
∴=2
故答案为：2.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时取幂次方或者同时乘以相等的数，等式不变求解，进而根据同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则即可求解.
14．（2022·台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于与之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
【答案】（1）解：15天小时小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，
∵60亿介于与之间，
亿，即亿，
而，
亿，
个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1） 由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360个小时，分裂成个绿藻细胞 ，即得k值；
（2） 根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于与之间， 可得 制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞， 且即亿， 由于，即得个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」.
三、拓展创新
15．规定新运算“ ” ． 例如 ， 则 .
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据新运算法则列出常规算式，再利用幂的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到答案.
16．（2024七下·金溪期中）如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则 ；
【答案】3
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：如果，则，，
，
，
故答案为：3.
【分析】 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算求解。
17．记
（1）计算： ．
（2） 求 的值．
（3） 求证： 与 互为相反数．
【答案】（1）解：．
（2）解： ．
（3）证明： ，
与 互为相反数．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）由已知可得：M（5）可以转化为（-2）5，然后计算出其结果。同理：M（6）可以转化为（-2）6，也计算出其结果。进而再计算出M（5）+M（6）的结果即可.
（2）先把M（2019）可以转化为（-2）2019，把M（2020）转化为（-2）2020。然后把2×（-2）2019转化为：-（-2）×（-2）2019= -（-2）2020 的形式。再计算出 -（-2）2020+ （-2）2020的结果即可.
（3）先把M（n）可以转化为（-2）n，把M（n+1）可以转化为（-2）n+1。然后把2×M（n）转化为2×（-2）n= - （-2）×（-2）n= - （-2）n+1，进而再计算出 - （-2）n+1+（-2）n+1的结果为0。所以可知2M（n）与M（n+1）互为相反数.
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