积的乘方—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2016八上·望江期中）计算（ab）2的结果是（ ）
A．2ab B．a2b C．a2b2 D．ab2
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=a2b2．
故选：C．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进行计算即可．
2．（2024八上·黔南期末）式子（﹣ab）4 a2化简后的结果是（ ）
A．a2b4 B．a6b4 C．a8b4 D．a16b4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】（﹣ab）4 a2=a4b4a2=a6b4，
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方和同底数幂的乘方计算方法求解即可.
3．（2021八上·盐池期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用积的积的乘方的逆运算法则进行简便运算得出答案.
4．（2019八上·龙凤期中） （ ）
A． B．1 C．0 D．1997
【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
=
=
=1.
【分析】根据积的乘方公式进行简便运算.
5．（2023八上·大余月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方的逆运用进行求解即可.
6．（2021八上·梁平期末）（ ）2017×1.52016×（﹣1）2017计算的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方及同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解.
7．（2024八上·双辽期末）计算： ．
【答案】-1
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=[4x(-)]7=-1.
【分析】逆运用积的乘方，am.bm=(ab)m.
8．（2024八上·东辽期末）已知，则的值为 ．
【答案】1025
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：由题意得：∵
∴-4
＝9×125－4×25
＝1125－100
＝1025
故答案为：1025
【分析】本题考查幂得乘方和积的乘方，熟知的转化是解题关键，本题先利用积的乘方化简，再利用幂得乘方逆运算转换为的形式，代入数值计算即可得出答案.
9．（2023八上·武汉月考）已知，，，为正整数，则的值是 （用含，的式子表示）．
【答案】或
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
，
.
故答案为：或.
【分析】对已知条件进行整理，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可.
10． 用简便方法计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式 =
（2）解：原式 ==1
（3）解：原式==
（4）解：原式 ==1
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】（1）先分别计算幂的乘方，再逆用积的乘方运算计算乘法；
（2）根据积的乘方的逆运算，将所有底数相乘，后再进行幂运算；
（3）先根据同底数幂的乘法的逆运算法则将218改写28×210，再根据幂的乘方的逆运算法则将28改写成44，以及将255改写成510，然后以及210×510根据积的乘方的逆运算法则分别计算后再将结果相乘；
（4）将根据幂的乘法的逆运算法则改写成，然后与前项相乘即可.
11．（2023七下·仪征期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
【答案】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）①利用幂相同的两个数相乘，指数不变，把底数相乘，然后进行计算；②利用阅读材料将原式转化为，然后进行计算.
（2）将等式的右边转化为底数为3的幂，再根据底数不变，指数相加，可得到，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
二、能力提升
12．（2019八上·邯郸期中）若 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ = ，∴ ，解得：m=2，n=1．
故答案为：C．
【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可．
13．（2022八上·广安月考）若x，y均为实数，，则 .
【答案】1
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴；
又∵，
∴
∴，
∴
故答案为：1.
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则可得43xy·47xy=(43x)y·(47y)x=2021x+y，由积的乘方法则可得43xy·47xy=(43×47)xy=2021xy，则xy=x+y，给两边同时除以xy即可.
14．（2023八上·阳泉月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；为正整数．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，，，请把，，用“”连接起来： ；
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：
，
，，
原式
．
（3）解：
．
【知识点】无理数的大小比较；同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】（1）∵，
，
∴，
即 。
故答案为： 。
【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算，把a、b、c转化为指数都是11的幂的形式，比较底数即可；
（2）根据幂的乘方和同底数的幂的乘法的逆运算计算；
（3）先把底数8变为23，变为，再用幂的乘方计算后用积的乘方的逆运算计算。
三、拓展创新
15．（2019七下·兰州月考）阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子 可以变形为 也可以变形为 .在式子 中，3叫做以2为底8的对数，记为 一般地，若 则 叫做以 为底 的对数，记为 且具有性质：
其中 且
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）计算：log31= ，log1025+log104= (请直接写出结果）；
（2）已知 请你用含 的代数式来表示 其中 (请写出必要的过程).
【答案】（1）0；2
（2）解：已知
所以
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）根据材料给出的运算法则计算即可（2）先变形 再代入 即可
1 / 1积的乘方—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2016八上·望江期中）计算（ab）2的结果是（ ）
A．2ab B．a2b C．a2b2 D．ab2
2．（2024八上·黔南期末）式子（﹣ab）4 a2化简后的结果是（ ）
A．a2b4 B．a6b4 C．a8b4 D．a16b4
3．（2021八上·盐池期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八上·龙凤期中） （ ）
A． B．1 C．0 D．1997
5．（2023八上·大余月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·梁平期末）（ ）2017×1.52016×（﹣1）2017计算的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（2024八上·双辽期末）计算： ．
8．（2024八上·东辽期末）已知，则的值为 ．
9．（2023八上·武汉月考）已知，，，为正整数，则的值是 （用含，的式子表示）．
10． 用简便方法计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
11．（2023七下·仪征期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
二、能力提升
12．（2019八上·邯郸期中）若 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
13．（2022八上·广安月考）若x，y均为实数，，则 .
14．（2023八上·阳泉月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；为正整数．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，，，请把，，用“”连接起来： ；
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
三、拓展创新
15．（2019七下·兰州月考）阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子 可以变形为 也可以变形为 .在式子 中，3叫做以2为底8的对数，记为 一般地，若 则 叫做以 为底 的对数，记为 且具有性质：
其中 且
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）计算：log31= ，log1025+log104= (请直接写出结果）；
（2）已知 请你用含 的代数式来表示 其中 (请写出必要的过程).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=a2b2．
故选：C．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进行计算即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】（﹣ab）4 a2=a4b4a2=a6b4，
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方和同底数幂的乘方计算方法求解即可.
3．【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用积的积的乘方的逆运算法则进行简便运算得出答案.
4．【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
=
=
=1.
【分析】根据积的乘方公式进行简便运算.
5．【答案】A
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方的逆运用进行求解即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方及同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解.
7．【答案】-1
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=[4x(-)]7=-1.
【分析】逆运用积的乘方，am.bm=(ab)m.
8．【答案】1025
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：由题意得：∵
∴-4
＝9×125－4×25
＝1125－100
＝1025
故答案为：1025
【分析】本题考查幂得乘方和积的乘方，熟知的转化是解题关键，本题先利用积的乘方化简，再利用幂得乘方逆运算转换为的形式，代入数值计算即可得出答案.
9．【答案】或
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
，
.
故答案为：或.
【分析】对已知条件进行整理，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可.
10．【答案】（1）解：原式 =
（2）解：原式 ==1
（3）解：原式==
（4）解：原式 ==1
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】（1）先分别计算幂的乘方，再逆用积的乘方运算计算乘法；
（2）根据积的乘方的逆运算，将所有底数相乘，后再进行幂运算；
（3）先根据同底数幂的乘法的逆运算法则将218改写28×210，再根据幂的乘方的逆运算法则将28改写成44，以及将255改写成510，然后以及210×510根据积的乘方的逆运算法则分别计算后再将结果相乘；
（4）将根据幂的乘法的逆运算法则改写成，然后与前项相乘即可.
11．【答案】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）①利用幂相同的两个数相乘，指数不变，把底数相乘，然后进行计算；②利用阅读材料将原式转化为，然后进行计算.
（2）将等式的右边转化为底数为3的幂，再根据底数不变，指数相加，可得到，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
12．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ = ，∴ ，解得：m=2，n=1．
故答案为：C．
【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可．
13．【答案】1
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴；
又∵，
∴
∴，
∴
故答案为：1.
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则可得43xy·47xy=(43x)y·(47y)x=2021x+y，由积的乘方法则可得43xy·47xy=(43×47)xy=2021xy，则xy=x+y，给两边同时除以xy即可.
14．【答案】（1）
（2）解：
，
，，
原式
．
（3）解：
．
【知识点】无理数的大小比较；同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】（1）∵，
，
∴，
即 。
故答案为： 。
【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算，把a、b、c转化为指数都是11的幂的形式，比较底数即可；
（2）根据幂的乘方和同底数的幂的乘法的逆运算计算；
（3）先把底数8变为23，变为，再用幂的乘方计算后用积的乘方的逆运算计算。
15．【答案】（1）0；2
（2）解：已知
所以
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）根据材料给出的运算法则计算即可（2）先变形 再代入 即可
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