整式的除法—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·仙居期末）的运算结果是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024八上·青县期末）若，则☆代表的代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018八上·孝南月考）一个长方形的面积为4a2-6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为( )
A．4a-3b B．8a-6b C．4a-3b+1 D．8a-6b+2
4．（2024八上·老河口期末）三角形的面积是， 它的一条高是3a， 这条高对应的底边长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·高昌月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·娄底月考）计算： ．
7．（2023八上·桦甸期中）已知与一个整式的积是，则这个整式是 ．
8．（华师大版数学八年级上册第十二章第四节12.4.1单项式除以单项式 同步练习）月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时
9．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
10． 李老师给同学们讲了一道题， 小明认真地把它抄在笔记本上， 放学后回到家里拿出笔记本， 发现这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了， 污染后的习题如下： ． 你能复原被污染的地方吗？ 请你试一试．
11．（2023八上·江源月考）已知A、B均为整式，A= （xy+1）（xy-2）-2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把
“÷”抄成了“-”，这样他计算的结果为-x2y2．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求A÷B的正确结果．
12．点点与圆圆做游戏，两人各报一个整式，圆圆报的整式作为除式，点点报的整式作为被除式，要求商式必须是 .
（1）若点点报的是 ，那么圆圆报的整式是什么
（2）若点点报的是 ，圆圆能报出一个整式吗 请说明理由.
13．（2023七下·武功期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式除法也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 的商为 ，余式为 ，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以3x的商为 ，余式为 ，请你根据以上法则求出该多项式．
二、能力提升
14．（2021八上·香洲期末）已知A=，B是多项式，在计算B-A时，小海同学把B-A错看成了B÷A，结果得，那么B-A的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024七下·武侯月考）已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为 ．
16．（2022八上·武汉期中）湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
17．（2019八上·武汉月考）阅读下列材料：
∵(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6
∴(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，这说明x2＋x－6能被x－2整除，同时也说明多项式x2＋x－6有一个因式为x－2，另外，当x＝2时，多项式x2＋x－6的值为0
回答下列问题：
（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式x－2、多项式能被x－2整除，这之间存在着一种什么样的联系？
（2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，那么M与代数式x－k之间有何种关系？
（3）应用：利用上面的结果求解，已知x2＋mx－14能被x－2整除，求m的值.
三、拓展创新
18．（2023七下·达州期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．
（1）的商是 ，余式是 ．
（2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）．另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】本题直接根据单项式除以单项式的法则进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据单项式除以单项式即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：另一边长是：（ ﹣6ab+2a）÷2a=2a﹣3b+1，
则周长是：2[（2a﹣3b+1）+2a]=8a﹣6b+2．
故答案为：D．
【分析】首先利用长方形的面积除以一边长即可求得另一边长，然后根据长方形的周长+相邻两边之和的2倍，列式计算即可求解。
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ∵三角形的面积是， 它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长为2（）÷ 3a=.
故答案为：A.
【分析】三角形的面积=底×高÷2，据此列式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据多项式与单项式的除法法则可得原式=-4a2÷(-4a2)+12a3b÷(-4a2)，然后结合单项式与单项式的除法法则进行计算.
6．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；整式的除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据幂的运算法则进行计算即可求解.
7．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵与一个整式的积是，
∴这个整式是：，
故答案为： .
【分析】根据 与一个整式的积是，列式计算求解即可。
8．【答案】4.8×102
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】3.84×105÷（8×102）
=0.48×103=4.8×102
答案为4.8×102
【分析】先根据时间=路程÷速度，算出时间为（3.84×105）÷（8×102），利用单项式除单项式的法则计算，然后再按照科学记数法的方法的形式表示
9．【答案】（1）解：原式==.
（2）解：原式==，
（3）解：原式==，
（4）原式==.
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用积的乘方法则化简，最后根据同底数幂的除法计算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法计算法则计算即可；
（3）利用同底数幂的乘法和除法计算法则计算即可求解；
（4）根据同底数幂的除法计算法则计算即可；
10．【答案】解：被除式的第二项为 ，
商的第一项为 ．
被污染的地方分别为 和 ．
【知识点】单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】根据多项式除以单项式法则"多项式除以单项式就是把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加"和单项式除以单项式的法则"系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式"计算可求解.
11．【答案】（1）解：
（2）解：由题意，得A-B=-x2y2，∴B=-xy，∴A÷ B= （-x2y2-xy） ÷（-xy）= xy+1．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：A的最简形式为
【分析】（1）根据多项式乘多项式性质将括号展开，再合并同类项即可求出答案；
（2）先根据“-”求出B，再根据多项式除以单项式即可求出答案.
12．【答案】（1）解：∵点点与圆圆在做游戏时，两人各报一个整式，圆圆报的整式作为除式，点点报的整式作为被除式，要求商式必须是 ，
圆圆报的整式为 .
（2）解：圆圆能报出一个整式.
理由：
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)根据题意得出一个多项式除以单项式的整式，再进行整式的除法运算即可；
(2)根据题意得出一个多项式除以单项式的整式，再进行整式的除法运算即可。
13．【答案】（1）解：由题意得， ；
（2）解：由题意可得该多项式为：
．
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）由题意已知除式，商和余式，根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可；
（2）题二解答方法与题一相同即：根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可.
14．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；整式的除法
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用整式的加减乘除运算求解即可。
15．【答案】
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】根据题意可得：，
∴x3-2x2+ax-1=bx3-（b+1）x2+（2b+1）x-1，
∴b=1，a=2b+1，
∴b=1，a=3，
∴=，
故答案为：.
【分析】根据题意可得，再利用待定系数法可得b=1，a=2b+1，求出a的值，即可得到=，从而得解.
16．【答案】2022
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
．
故填： ．
【分析】根据幂的乘方，单项式的乘除法计算得到单项式，再根据规律即可得出结果 ．
17．【答案】（1）解：多项式有因式x-2，说明此多项式能被x-2整除，另外，当x=2时，此多项式的值为零
（2）解：根据（1）得出的关系，得出M能被（x-k）整除
（3）解：∵x-2能整除x2+mx-14，
∴当x-2=0时，x2+mx-14=0，
当x=2时，x2+mx-14=4+2m-14=0，
解得：m=5
【知识点】整式的除法
【解析】【分析】（1）根据题意和多项式有因式x-2，说明多项式能被x-2整除，当x=2时，多项式的值为0；（2）根据（1）得出的关系，能直接写出当x=k时，M的值为0，M与代数式x-k之间的关系；（3）根据上面得出的结论，当x=2时，x2+mx-14=0，再求出m的值即可.
18．【答案】（1）；-8
（2）解：长方形A的周长为：．
长方形B的周长为：．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴．
∴长方形B的面积为：．
∴长方形C的面积为：．
∴长方形C的另一边长为：．
∴长方形C的另一边长为：．
【知识点】整式的除法
【解析】【解答】解：
故答案为；-8．
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算；
（2）通过面积关系求长方形的边长．
1 / 1整式的除法—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·仙居期末）的运算结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】本题直接根据单项式除以单项式的法则进行计算即可.
2．（2024八上·青县期末）若，则☆代表的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据单项式除以单项式即可求出答案.
3．（2018八上·孝南月考）一个长方形的面积为4a2-6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为( )
A．4a-3b B．8a-6b C．4a-3b+1 D．8a-6b+2
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：另一边长是：（ ﹣6ab+2a）÷2a=2a﹣3b+1，
则周长是：2[（2a﹣3b+1）+2a]=8a﹣6b+2．
故答案为：D．
【分析】首先利用长方形的面积除以一边长即可求得另一边长，然后根据长方形的周长+相邻两边之和的2倍，列式计算即可求解。
4．（2024八上·老河口期末）三角形的面积是， 它的一条高是3a， 这条高对应的底边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ∵三角形的面积是， 它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长为2（）÷ 3a=.
故答案为：A.
【分析】三角形的面积=底×高÷2，据此列式计算即可.
5．（2021八上·高昌月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据多项式与单项式的除法法则可得原式=-4a2÷(-4a2)+12a3b÷(-4a2)，然后结合单项式与单项式的除法法则进行计算.
6．（2023八上·娄底月考）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；整式的除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据幂的运算法则进行计算即可求解.
7．（2023八上·桦甸期中）已知与一个整式的积是，则这个整式是 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵与一个整式的积是，
∴这个整式是：，
故答案为： .
【分析】根据 与一个整式的积是，列式计算求解即可。
8．（华师大版数学八年级上册第十二章第四节12.4.1单项式除以单项式 同步练习）月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时
【答案】4.8×102
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】3.84×105÷（8×102）
=0.48×103=4.8×102
答案为4.8×102
【分析】先根据时间=路程÷速度，算出时间为（3.84×105）÷（8×102），利用单项式除单项式的法则计算，然后再按照科学记数法的方法的形式表示
9．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式==.
（2）解：原式==，
（3）解：原式==，
（4）原式==.
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用积的乘方法则化简，最后根据同底数幂的除法计算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法计算法则计算即可；
（3）利用同底数幂的乘法和除法计算法则计算即可求解；
（4）根据同底数幂的除法计算法则计算即可；
10． 李老师给同学们讲了一道题， 小明认真地把它抄在笔记本上， 放学后回到家里拿出笔记本， 发现这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了， 污染后的习题如下： ． 你能复原被污染的地方吗？ 请你试一试．
【答案】解：被除式的第二项为 ，
商的第一项为 ．
被污染的地方分别为 和 ．
【知识点】单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】根据多项式除以单项式法则"多项式除以单项式就是把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加"和单项式除以单项式的法则"系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式"计算可求解.
11．（2023八上·江源月考）已知A、B均为整式，A= （xy+1）（xy-2）-2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把
“÷”抄成了“-”，这样他计算的结果为-x2y2．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求A÷B的正确结果．
【答案】（1）解：
（2）解：由题意，得A-B=-x2y2，∴B=-xy，∴A÷ B= （-x2y2-xy） ÷（-xy）= xy+1．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：A的最简形式为
【分析】（1）根据多项式乘多项式性质将括号展开，再合并同类项即可求出答案；
（2）先根据“-”求出B，再根据多项式除以单项式即可求出答案.
12．点点与圆圆做游戏，两人各报一个整式，圆圆报的整式作为除式，点点报的整式作为被除式，要求商式必须是 .
（1）若点点报的是 ，那么圆圆报的整式是什么
（2）若点点报的是 ，圆圆能报出一个整式吗 请说明理由.
【答案】（1）解：∵点点与圆圆在做游戏时，两人各报一个整式，圆圆报的整式作为除式，点点报的整式作为被除式，要求商式必须是 ，
圆圆报的整式为 .
（2）解：圆圆能报出一个整式.
理由：
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)根据题意得出一个多项式除以单项式的整式，再进行整式的除法运算即可；
(2)根据题意得出一个多项式除以单项式的整式，再进行整式的除法运算即可。
13．（2023七下·武功期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式除法也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 的商为 ，余式为 ，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以3x的商为 ，余式为 ，请你根据以上法则求出该多项式．
【答案】（1）解：由题意得， ；
（2）解：由题意可得该多项式为：
．
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）由题意已知除式，商和余式，根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可；
（2）题二解答方法与题一相同即：根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可.
二、能力提升
14．（2021八上·香洲期末）已知A=，B是多项式，在计算B-A时，小海同学把B-A错看成了B÷A，结果得，那么B-A的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；整式的除法
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用整式的加减乘除运算求解即可。
15．（2024七下·武侯月考）已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】根据题意可得：，
∴x3-2x2+ax-1=bx3-（b+1）x2+（2b+1）x-1，
∴b=1，a=2b+1，
∴b=1，a=3，
∴=，
故答案为：.
【分析】根据题意可得，再利用待定系数法可得b=1，a=2b+1，求出a的值，即可得到=，从而得解.
16．（2022八上·武汉期中）湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
【答案】2022
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
．
故填： ．
【分析】根据幂的乘方，单项式的乘除法计算得到单项式，再根据规律即可得出结果 ．
17．（2019八上·武汉月考）阅读下列材料：
∵(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6
∴(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，这说明x2＋x－6能被x－2整除，同时也说明多项式x2＋x－6有一个因式为x－2，另外，当x＝2时，多项式x2＋x－6的值为0
回答下列问题：
（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式x－2、多项式能被x－2整除，这之间存在着一种什么样的联系？
（2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，那么M与代数式x－k之间有何种关系？
（3）应用：利用上面的结果求解，已知x2＋mx－14能被x－2整除，求m的值.
【答案】（1）解：多项式有因式x-2，说明此多项式能被x-2整除，另外，当x=2时，此多项式的值为零
（2）解：根据（1）得出的关系，得出M能被（x-k）整除
（3）解：∵x-2能整除x2+mx-14，
∴当x-2=0时，x2+mx-14=0，
当x=2时，x2+mx-14=4+2m-14=0，
解得：m=5
【知识点】整式的除法
【解析】【分析】（1）根据题意和多项式有因式x-2，说明多项式能被x-2整除，当x=2时，多项式的值为0；（2）根据（1）得出的关系，能直接写出当x=k时，M的值为0，M与代数式x-k之间的关系；（3）根据上面得出的结论，当x=2时，x2+mx-14=0，再求出m的值即可.
三、拓展创新
18．（2023七下·达州期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．
（1）的商是 ，余式是 ．
（2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）．另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长．
【答案】（1）；-8
（2）解：长方形A的周长为：．
长方形B的周长为：．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴．
∴长方形B的面积为：．
∴长方形C的面积为：．
∴长方形C的另一边长为：．
∴长方形C的另一边长为：．
【知识点】整式的除法
【解析】【解答】解：
故答案为；-8．
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算；
（2）通过面积关系求长方形的边长．
1 / 1
