平方差公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·惠城开学考） 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·昆明开学考）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·临洮月考）若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
4．（2022八上·仁寿月考）若三角形的底边长为2a+1，该底边上的高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A．2a2﹣ B．4a2﹣4a+1 C．4a2+4a+1 D．4a2﹣1
5．（2020八上·余干月考）用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八上·宜春期末）分解因式：
7．（2020八上·拜泉期末）若 ， ，那么式子 .
8．（2021八上·平原月考）用乘法公式简算
（1）199×201；
（2）20132﹣2014×2012．
9．（2024八上·凤山期末）
（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
二、能力提升
10．（2020八上·泉州月考） 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
11．（2024八上·汉阳期末）如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（ ）
A．377 B．420 C．465 D．512
12．（2019八上·白云期末）计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（ ）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9
C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
13．（2023八上·朔州月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学间题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积来加以验证．现有下图中甲、乙两种方案，能借助图形面积验证（a＋b）（a－b）＝a2－b2的正确性方案的是（ ）
A．只有甲能 B．只有乙能
C．甲、乙都不能 D．甲、乙都能
14．（2020八上·扎兰屯期末）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝ ．
15．（2019八上·黄梅月考）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .
16．（2024八上·长沙月考）求值： ．
17．（2019八上·南昌期中）计算： 的结果.
18．（2023八上·船营期中）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
图1 图2
（1）上述过程所揭示的因式分解的等式是 ．
（2）若，，求的值．
（3）
三、拓展创新
19．（2023八上·二道月考）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位那么形如为实数的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
；
．
（1）填空： ， ；
（2）计算：；；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：，为实数，求的值；
（4）试一试：请你参照这一知识点，将为实数因式分解成两个复数的积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】先根据题意提出负号，进而根据平方差公式即可求解。
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、不符合平方差公式的形式，故错误；
B、原式，不符合平方差公式的形式，故错误；
C、原式不符合平方差公式的形式，故错误；
D、原式，符合平方差公式的形式，故正确．
故答案为：D
【分析】根据平方差公式定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（a+1）（a﹣1）＝35，
，即
解得a= ±6 ，
故答案为：A.
【分析】先根据平方差公式去掉括号，进行整理得到从而求解.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：三角形的面积为：．
故答案为：．
【分析】利用三角形的面积公式，先列式，再去括号，合并同类项.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：99×101=（100-1）（100+1）=
故答案为：C．
【分析】将式子99×101变形乘（100-1）（100+1），利用平方差公式计算即可。
6．【答案】 .
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为 .
【分析】根据平方差公式分解即可.
7．【答案】-36
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 .
故答案为：-36.
【分析】根据平方差公式解出即可.
8．【答案】（1）解：原式=（200-1）×（200+1）
=2002-12
=40000-1
=39999；
（2）解：20132﹣（2013+1）×（2013-1）
=20132-20132+1
=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
9．【答案】（1）；；；
（2）
（3）
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
图2长方形的宽为：，
故答案为：，，，；
（2）由题意，图1阴影面积和图2的面积相等，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据割补法求面积，结合正方形的面积公式得图1阴影部分的面积为，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）图1阴影面积和图2的面积相等，结合（1）的结论，即可得解；
（3）根据平方差公式进行计算求解即可．
10．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ， ，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
11．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：最大和最小的两个数是m+8和m-8，
∴n=（m-8）（m+8）=m2-64，
即m2=64+n；
A、当n=377时， 64+377=441=212 ，结果是一个平方数，所以n可能是377，A不符合题意；
B、当n=420时，420+64=484=222，结果是一个平方数，所以n可能是420，B不符合题意；
C、当n=465时，465+64=529=232，结果是一个平方数，所以n可能是465，C不符合题意；
D、当n=512时，512+64=576=242，最小的数是24-8=16，最大的数是24+8=32，不符合实际，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】先用含有m的式子表示出最大和最小的两个数，结合题意可得m2=64+n，逐项将n的值代入，判断是否是平方数，注意结合实际，即可判断得出答案.
12．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]＝x2﹣（2y﹣3）2
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，其符合平方差公式的运算形式，根据公式化简计算即可。
13．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意知，甲中，，即，故符合要求；
乙中，，即，故符合要求；
故答案为：D
【分析】根据平方差公式以及结合图形进行分析，甲中根据两个长方形的面积与大小正方形的面积差相等即可验证；乙中根据四个梯形的面积之和与大小正方形的面积差相等即可验证。
14．【答案】264
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝
＝264﹣1+1
＝264；
故答案为：264．
【分析】在原式前面乘以（2-1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可。
15．【答案】210
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202-192，因此，图中阴影部分的面积为：
（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）
=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）
=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20
=210.
故答案为：210.
【分析】根据正方形面积公式分别列出每个阴影部分的面积，然后根据平方差公式把每个阴影部分面积关系式分解因式将原式化简，最后求和即可.
16．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可.
17．【答案】解：
=
=
=
=
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先把所求的式子变形成 ，再利用平方差公式计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：，，
（3）解：原式
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积相等即可求出答案.
（2）根据（1）中结论将等式因式分解即可求出答案.
（3）根据（1）中结论逐项因式分解即可求出答案.
19．【答案】（1）解：i；2
（2）解：；
．
（3）解：根据题意，得，解得．
（4）解：
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据题目的定义可知，i5=i4i=（i2）2i=i；
2i4=2（i2）2=2×1=2；
（2）①（2+i）（2-i）=22-i2=4+1=5；
②（2+i）2=22+i2+4i=3+4i；
（3）因为两个复数相等，所以它们的实部和虚部相等，
所以，解二元一次方程组得，
所以x+y2=5+（-3）2=14；
（4）m2+25=25-（-m2）=25-（mi）2=（5+mi）（5-mi）
【分析】（1）根据复数的定义，由i2=-1，幂的乘方的运算得到答案即可；
（2）①根据平方差公式计算答案即可；
②根据完全平方公式计算答案即可；
（3）根据复数相等的条件，将实部和虚部相等为条件列出二元一次方程组，求出x和y的值，得到答案即可；
（4）根据平方差公式进行因式分解得到答案即可。
1 / 1平方差公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·惠城开学考） 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】先根据题意提出负号，进而根据平方差公式即可求解。
2．（2024八上·昆明开学考）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、不符合平方差公式的形式，故错误；
B、原式，不符合平方差公式的形式，故错误；
C、原式不符合平方差公式的形式，故错误；
D、原式，符合平方差公式的形式，故正确．
故答案为：D
【分析】根据平方差公式定义即可求出答案.
3．（2024八上·临洮月考）若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（a+1）（a﹣1）＝35，
，即
解得a= ±6 ，
故答案为：A.
【分析】先根据平方差公式去掉括号，进行整理得到从而求解.
4．（2022八上·仁寿月考）若三角形的底边长为2a+1，该底边上的高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A．2a2﹣ B．4a2﹣4a+1 C．4a2+4a+1 D．4a2﹣1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：三角形的面积为：．
故答案为：．
【分析】利用三角形的面积公式，先列式，再去括号，合并同类项.
5．（2020八上·余干月考）用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：99×101=（100-1）（100+1）=
故答案为：C．
【分析】将式子99×101变形乘（100-1）（100+1），利用平方差公式计算即可。
6．（2020八上·宜春期末）分解因式：
【答案】 .
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为 .
【分析】根据平方差公式分解即可.
7．（2020八上·拜泉期末）若 ， ，那么式子 .
【答案】-36
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 .
故答案为：-36.
【分析】根据平方差公式解出即可.
8．（2021八上·平原月考）用乘法公式简算
（1）199×201；
（2）20132﹣2014×2012．
【答案】（1）解：原式=（200-1）×（200+1）
=2002-12
=40000-1
=39999；
（2）解：20132﹣（2013+1）×（2013-1）
=20132-20132+1
=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
9．（2024八上·凤山期末）
（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
图2长方形的宽为：，
故答案为：，，，；
（2）由题意，图1阴影面积和图2的面积相等，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据割补法求面积，结合正方形的面积公式得图1阴影部分的面积为，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）图1阴影面积和图2的面积相等，结合（1）的结论，即可得解；
（3）根据平方差公式进行计算求解即可．
二、能力提升
10．（2020八上·泉州月考） 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ， ，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
11．（2024八上·汉阳期末）如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（ ）
A．377 B．420 C．465 D．512
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：最大和最小的两个数是m+8和m-8，
∴n=（m-8）（m+8）=m2-64，
即m2=64+n；
A、当n=377时， 64+377=441=212 ，结果是一个平方数，所以n可能是377，A不符合题意；
B、当n=420时，420+64=484=222，结果是一个平方数，所以n可能是420，B不符合题意；
C、当n=465时，465+64=529=232，结果是一个平方数，所以n可能是465，C不符合题意；
D、当n=512时，512+64=576=242，最小的数是24-8=16，最大的数是24+8=32，不符合实际，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】先用含有m的式子表示出最大和最小的两个数，结合题意可得m2=64+n，逐项将n的值代入，判断是否是平方数，注意结合实际，即可判断得出答案.
12．（2019八上·白云期末）计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（ ）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9
C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]＝x2﹣（2y﹣3）2
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，其符合平方差公式的运算形式，根据公式化简计算即可。
13．（2023八上·朔州月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学间题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积来加以验证．现有下图中甲、乙两种方案，能借助图形面积验证（a＋b）（a－b）＝a2－b2的正确性方案的是（ ）
A．只有甲能 B．只有乙能
C．甲、乙都不能 D．甲、乙都能
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意知，甲中，，即，故符合要求；
乙中，，即，故符合要求；
故答案为：D
【分析】根据平方差公式以及结合图形进行分析，甲中根据两个长方形的面积与大小正方形的面积差相等即可验证；乙中根据四个梯形的面积之和与大小正方形的面积差相等即可验证。
14．（2020八上·扎兰屯期末）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝ ．
【答案】264
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝
＝264﹣1+1
＝264；
故答案为：264．
【分析】在原式前面乘以（2-1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可。
15．（2019八上·黄梅月考）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .
【答案】210
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202-192，因此，图中阴影部分的面积为：
（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）
=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）
=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20
=210.
故答案为：210.
【分析】根据正方形面积公式分别列出每个阴影部分的面积，然后根据平方差公式把每个阴影部分面积关系式分解因式将原式化简，最后求和即可.
16．（2024八上·长沙月考）求值： ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可.
17．（2019八上·南昌期中）计算： 的结果.
【答案】解：
=
=
=
=
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先把所求的式子变形成 ，再利用平方差公式计算即可.
18．（2023八上·船营期中）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
图1 图2
（1）上述过程所揭示的因式分解的等式是 ．
（2）若，，求的值．
（3）
【答案】（1）
（2）解：，，
（3）解：原式
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积相等即可求出答案.
（2）根据（1）中结论将等式因式分解即可求出答案.
（3）根据（1）中结论逐项因式分解即可求出答案.
三、拓展创新
19．（2023八上·二道月考）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位那么形如为实数的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
；
．
（1）填空： ， ；
（2）计算：；；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：，为实数，求的值；
（4）试一试：请你参照这一知识点，将为实数因式分解成两个复数的积．
【答案】（1）解：i；2
（2）解：；
．
（3）解：根据题意，得，解得．
（4）解：
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据题目的定义可知，i5=i4i=（i2）2i=i；
2i4=2（i2）2=2×1=2；
（2）①（2+i）（2-i）=22-i2=4+1=5；
②（2+i）2=22+i2+4i=3+4i；
（3）因为两个复数相等，所以它们的实部和虚部相等，
所以，解二元一次方程组得，
所以x+y2=5+（-3）2=14；
（4）m2+25=25-（-m2）=25-（mi）2=（5+mi）（5-mi）
【分析】（1）根据复数的定义，由i2=-1，幂的乘方的运算得到答案即可；
（2）①根据平方差公式计算答案即可；
②根据完全平方公式计算答案即可；
（3）根据复数相等的条件，将实部和虚部相等为条件列出二元一次方程组，求出x和y的值，得到答案即可；
（4）根据平方差公式进行因式分解得到答案即可。
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