完全平方公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·湖南期末） 若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式可得，再将代入计算求出的值即可.
2．（2021八上·云县期末）已知 ，则 （ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：将 两边平方得 ，
∴a2+ ＝16﹣2＝14，
故答案为：B.
【分析】由题意将已知的等式两边分别平方并整理即可求解.
3．（2024八上·叙州期末）已知M是含字母的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则M等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴M=，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合题意即可得到M的值。
4．（2024八上·五华期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①②
③④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故答案为：D
【分析】
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
5．（2024八上·景县期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．34 C．40 D．44
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
解：如图：
∵，
∴，
∴，
阴影部分的面积
．
故答案为：A．
【分析】观察图形可得：阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，据此列出代数式，再利用完全平方公式即可求解．
6．（2024八上·长沙月考）已知和互为倒数，，求 ．
【答案】
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和互为倒数，
∴ab=1，
∵，
∴，
故答案为：12.
【分析】利用完全平方公式将变形为，再将ab=1，代入计算即可.
7．（2024八上·长沙月考） ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：.
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式展开，最后利用完全平方公式展开即可.
8．（2023八上·长沙月考）已知，，则 .
【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(a+b)2=36，a2+b2+2ab=36，a2=36-b2-2ab；
(a-b)2=4，a2+b2-2ab=4，b2=4-a2+2ab；
代入a2+b2=36-b2-2ab+4-a2+2ab，a2+b2+a2+b2=36+4，2a2+2b2=40，a2+b2=20。
故答案为：20.
【分析】利用完全平方公式分别化简出a2与b2，然后代入化简后即可得出答案。
9．（2023八上·榆树期中）已知a+＝3，
求：
（1）a2+；
（2）a-．
【答案】（1）解：把a+＝3两边平方得：（a+）2＝a2++2＝9，即a2+＝7；
（2）解：∵（a-）2＝a2+-2＝7-2＝5，
∴a-＝±．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式变形为，再整体代入计算；
（2）运用完全平方公式的展开式求出的值，再用平方根的定义计算。
10．（2024八上·汉阳期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图①，可得等式：．
（1）由图②，可得等式： ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=112-2×38=45.
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵图②为一个边长为（a+b+c）的正方形，
∴，
根据部分法，可得图②的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）图②可看成一个边长为(a+b+c)的正方形，图②也可看成是由边长为a的一个正方形、边长为b的一个正方形、边长为c的一个正方形、长为a宽为b的2个长方形、长为a宽为c的2个长方形及长为b宽为c的2个长方形组成的，根据长方形与正方形面积计算公式用两种不同的方法表示出该图形的面积即可得出结论；
（2）根据（1）中所得公式，可将待求式子变形为(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，然后整体代入计算可得答案.
11．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
二、能力提升
12．（2024八上·丰城开学考）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的应用.观察题目式子可得：，两边同时平方，利用完全平方公式进行计算可得：
，再结合题意可推出：，进而可得：，再利用平方差公式进行计算可求出答案．
13．（2023八上·前郭尔罗斯月考）若k为任意整数，则（2k+3）2-4k2的值总能（ ）
A．被2整除． B．被3整除． C．被5整除． D．被7整除．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （2k+3）2-4k2＝4k2＋12k+9-4k2＝12k+9=3（4k+3）∵K为任意整数，∴ （2k+3）2-4k2的值总能被3整除。
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式进行计算，在合并同类项分解因式后，再逐个判断即可。
14．（2024八上·重庆市月考）已知多项式，多项式．
①若多项式是完全平方式，则或；
②；
③若，，则；
④代数式的最小值为2022．以上结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①若多项式是完全平方式，则，解得：或；
故①正确，符合题意；
②∵，，
∴
，
∵，
∴，即，
故②正确，符合题意；
③∵，，
∴，
由②可得：，
∴，
∴，
故③错误，不符合题意；
④
，
∵，
∴，
即代数式的最小值为2022，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【分析】根据完全平方的两个公式可求出n的值，即可判断①；再代入计算，并将其结果进行配方，根据平方的非负性，即可判断②；③根据完全平方公式的得出，结合②中的结论，即可判断③；将代数式转化为，利用平方的非负性，即可判断④；综上所述可得到正确结论的个数.
15．（2024八上·璧山期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
16．（2024八上·江汉期末）计算： ； ．
【答案】-8；
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：(-0.125)99×8100=(0.125)99×899×8=(-0.125×8)99×8=-1×8=-8；
.
故答案为：-8；.
【分析】先根据同底数幂的乘法法则的逆用将原式变形为(0.125)99×899×8，再由积的乘方法则的逆用将原式变形为(-0.125×8)99×8，然后根据含括号及乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得第一空的答案；由于2022与2024都接近2023，故可以将2022变形为(2023-1)，2024变形为(2023+1)，然后根据完全平方公式计算、合并后再约分即可得出第二空的答案.
17．（2024八上·廉江月考）若，，，求 .
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】根据目标代数式的结构，直接代入计算量过于庞大，联想完全平方公式，为配凑中间项的系数2，可先将原代数式提取，后逐项完成配平方差并代入计算即可.
18．（2024八上·岳阳开学考）（1）若关于，的多项式中不含有项，则的值为 ．
（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
．
①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形设，两正方形的面积和为，则的面积为 ▲ ；
②若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：；
设，，则，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵2（a2 2ab＋b2） （3a2＋mab＋2b2）
＝2a2 4ab＋2b2 3a2 mab 2b2
＝ a2 （4＋m）ab，
∵结果不含有ab项，
∴4＋m＝0，
解得：m＝ 4，
故答案为： 4；
（2）①设AC＝x，BC＝y，则x＋y＝AC＋BC＝AB＝8，
∵两正方形的面积和为34，
∴x2＋y2＝34，
∵（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy，即64＝34＋2xy，
∴xy＝15，
∴△AFC的面积为ab＝，
故答案为：；
②设m＝8 x，n＝x 3，则m＋n＝5，mn＝（8 x）（x 3）＝7，
∴（8 x）2＋（x 3）2
＝m2＋n2
＝（m＋n）2 2mn
＝25 14
＝11．
【分析】（1）先利用整式的混合运算的计算方法将原式变形为 a2 （4＋m）ab，再结合“结果不含有ab项”可得4＋m＝0，再求解即可；
（2）①设AC＝x，BC＝y，根据题意得到x＋y＝8，x2＋y2＝34，再利用（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy求出xy，再求出面积为xy的值即可；
②设m＝8 x，n＝x 3，根据题意得m＋n＝5，mn＝7，再利用（8 x）2＋（x 3）2＝m2＋n2＝（m＋n）2 2mn进行计算即可．
三、拓展创新
19．若一个整数能表示成 为整数 的形式， 则称这个数是 “完美数”． 例如： 因为 ， 所以 5 是一个完美数． 已知 是整数， 是常数）， 要使 为“完美数”， 则 的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，要使M为“完美数”，则根据条件，应有
则k=13.
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据完美数的定义得到k的值.
20．（2024九下·石家庄开学考）如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积＝ （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： 或 ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令m＝1，n＝3，p＝2，通过计算验证该等式．
【答案】（1）4m2
（2）（m+n）2；m2+n2+2mn；（m+n）2＝m2+n2+2mn
（3）解：根据题意得，大正方形的面积＝（m+n+p）2；
大正方形的面积＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∵m＝1，n＝3，p＝2，
∴（m+n+p）2＝（1+3+2）2＝36，m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝12+32+22+2×1×3+2×1×2+2×3×2＝36，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)这个大正方形的面积＝（2m）2＝4m2，故答案为：4m2；
(2)这个大正方形的面积＝（m+n）2或=m2+n2+mn+mn=m2+n2+2mn；
可以得到的乘法公式为（m+n）2＝m2+n2+2mn.
故答案为：（m+n）2；m2+n2+2mn ；（m+n）2＝m2+n2+2mn.
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到答案；
（2）将图3的面积看作大正方形或四个小矩形的面积和即可得到答案；
（3）根据（2）中乘法公式的生成过程，得出等式（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，再把m＝1，n＝3，p＝2，代入验证即可.
1 / 1完全平方公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024八上·湖南期末） 若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·云县期末）已知 ，则 （ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（2024八上·叙州期末）已知M是含字母的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则M等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·五华期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①②
③④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八上·景县期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．34 C．40 D．44
6．（2024八上·长沙月考）已知和互为倒数，，求 ．
7．（2024八上·长沙月考） ．
8．（2023八上·长沙月考）已知，，则 .
9．（2023八上·榆树期中）已知a+＝3，
求：
（1）a2+；
（2）a-．
10．（2024八上·汉阳期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图①，可得等式：．
（1）由图②，可得等式： ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值．
11．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
二、能力提升
12．（2024八上·丰城开学考）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023八上·前郭尔罗斯月考）若k为任意整数，则（2k+3）2-4k2的值总能（ ）
A．被2整除． B．被3整除． C．被5整除． D．被7整除．
14．（2024八上·重庆市月考）已知多项式，多项式．
①若多项式是完全平方式，则或；
②；
③若，，则；
④代数式的最小值为2022．以上结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024八上·璧山期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
16．（2024八上·江汉期末）计算： ； ．
17．（2024八上·廉江月考）若，，，求 .
18．（2024八上·岳阳开学考）（1）若关于，的多项式中不含有项，则的值为 ．
（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
．
①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形设，两正方形的面积和为，则的面积为 ▲ ；
②若，求的值．
三、拓展创新
19．若一个整数能表示成 为整数 的形式， 则称这个数是 “完美数”． 例如： 因为 ， 所以 5 是一个完美数． 已知 是整数， 是常数）， 要使 为“完美数”， 则 的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
20．（2024九下·石家庄开学考）如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积＝ （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： 或 ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令m＝1，n＝3，p＝2，通过计算验证该等式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式可得，再将代入计算求出的值即可.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：将 两边平方得 ，
∴a2+ ＝16﹣2＝14，
故答案为：B.
【分析】由题意将已知的等式两边分别平方并整理即可求解.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴M=，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合题意即可得到M的值。
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故答案为：D
【分析】
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
解：如图：
∵，
∴，
∴，
阴影部分的面积
．
故答案为：A．
【分析】观察图形可得：阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，据此列出代数式，再利用完全平方公式即可求解．
6．【答案】
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和互为倒数，
∴ab=1，
∵，
∴，
故答案为：12.
【分析】利用完全平方公式将变形为，再将ab=1，代入计算即可.
7．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：.
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式展开，最后利用完全平方公式展开即可.
8．【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(a+b)2=36，a2+b2+2ab=36，a2=36-b2-2ab；
(a-b)2=4，a2+b2-2ab=4，b2=4-a2+2ab；
代入a2+b2=36-b2-2ab+4-a2+2ab，a2+b2+a2+b2=36+4，2a2+2b2=40，a2+b2=20。
故答案为：20.
【分析】利用完全平方公式分别化简出a2与b2，然后代入化简后即可得出答案。
9．【答案】（1）解：把a+＝3两边平方得：（a+）2＝a2++2＝9，即a2+＝7；
（2）解：∵（a-）2＝a2+-2＝7-2＝5，
∴a-＝±．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式变形为，再整体代入计算；
（2）运用完全平方公式的展开式求出的值，再用平方根的定义计算。
10．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=112-2×38=45.
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵图②为一个边长为（a+b+c）的正方形，
∴，
根据部分法，可得图②的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）图②可看成一个边长为(a+b+c)的正方形，图②也可看成是由边长为a的一个正方形、边长为b的一个正方形、边长为c的一个正方形、长为a宽为b的2个长方形、长为a宽为c的2个长方形及长为b宽为c的2个长方形组成的，根据长方形与正方形面积计算公式用两种不同的方法表示出该图形的面积即可得出结论；
（2）根据（1）中所得公式，可将待求式子变形为(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，然后整体代入计算可得答案.
11．【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
12．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的应用.观察题目式子可得：，两边同时平方，利用完全平方公式进行计算可得：
，再结合题意可推出：，进而可得：，再利用平方差公式进行计算可求出答案．
13．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （2k+3）2-4k2＝4k2＋12k+9-4k2＝12k+9=3（4k+3）∵K为任意整数，∴ （2k+3）2-4k2的值总能被3整除。
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式进行计算，在合并同类项分解因式后，再逐个判断即可。
14．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①若多项式是完全平方式，则，解得：或；
故①正确，符合题意；
②∵，，
∴
，
∵，
∴，即，
故②正确，符合题意；
③∵，，
∴，
由②可得：，
∴，
∴，
故③错误，不符合题意；
④
，
∵，
∴，
即代数式的最小值为2022，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【分析】根据完全平方的两个公式可求出n的值，即可判断①；再代入计算，并将其结果进行配方，根据平方的非负性，即可判断②；③根据完全平方公式的得出，结合②中的结论，即可判断③；将代数式转化为，利用平方的非负性，即可判断④；综上所述可得到正确结论的个数.
15．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
16．【答案】-8；
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：(-0.125)99×8100=(0.125)99×899×8=(-0.125×8)99×8=-1×8=-8；
.
故答案为：-8；.
【分析】先根据同底数幂的乘法法则的逆用将原式变形为(0.125)99×899×8，再由积的乘方法则的逆用将原式变形为(-0.125×8)99×8，然后根据含括号及乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得第一空的答案；由于2022与2024都接近2023，故可以将2022变形为(2023-1)，2024变形为(2023+1)，然后根据完全平方公式计算、合并后再约分即可得出第二空的答案.
17．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】根据目标代数式的结构，直接代入计算量过于庞大，联想完全平方公式，为配凑中间项的系数2，可先将原代数式提取，后逐项完成配平方差并代入计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：；
设，，则，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵2（a2 2ab＋b2） （3a2＋mab＋2b2）
＝2a2 4ab＋2b2 3a2 mab 2b2
＝ a2 （4＋m）ab，
∵结果不含有ab项，
∴4＋m＝0，
解得：m＝ 4，
故答案为： 4；
（2）①设AC＝x，BC＝y，则x＋y＝AC＋BC＝AB＝8，
∵两正方形的面积和为34，
∴x2＋y2＝34，
∵（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy，即64＝34＋2xy，
∴xy＝15，
∴△AFC的面积为ab＝，
故答案为：；
②设m＝8 x，n＝x 3，则m＋n＝5，mn＝（8 x）（x 3）＝7，
∴（8 x）2＋（x 3）2
＝m2＋n2
＝（m＋n）2 2mn
＝25 14
＝11．
【分析】（1）先利用整式的混合运算的计算方法将原式变形为 a2 （4＋m）ab，再结合“结果不含有ab项”可得4＋m＝0，再求解即可；
（2）①设AC＝x，BC＝y，根据题意得到x＋y＝8，x2＋y2＝34，再利用（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy求出xy，再求出面积为xy的值即可；
②设m＝8 x，n＝x 3，根据题意得m＋n＝5，mn＝7，再利用（8 x）2＋（x 3）2＝m2＋n2＝（m＋n）2 2mn进行计算即可．
19．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，要使M为“完美数”，则根据条件，应有
则k=13.
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据完美数的定义得到k的值.
20．【答案】（1）4m2
（2）（m+n）2；m2+n2+2mn；（m+n）2＝m2+n2+2mn
（3）解：根据题意得，大正方形的面积＝（m+n+p）2；
大正方形的面积＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∵m＝1，n＝3，p＝2，
∴（m+n+p）2＝（1+3+2）2＝36，m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝12+32+22+2×1×3+2×1×2+2×3×2＝36，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)这个大正方形的面积＝（2m）2＝4m2，故答案为：4m2；
(2)这个大正方形的面积＝（m+n）2或=m2+n2+mn+mn=m2+n2+2mn；
可以得到的乘法公式为（m+n）2＝m2+n2+2mn.
故答案为：（m+n）2；m2+n2+2mn ；（m+n）2＝m2+n2+2mn.
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到答案；
（2）将图3的面积看作大正方形或四个小矩形的面积和即可得到答案；
（3）根据（2）中乘法公式的生成过程，得出等式（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，再把m＝1，n＝3，p＝2，代入验证即可.
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