整式的混合运算—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+a
2．（2024·宁波模拟）已知，，则( )
A． B． C． D．
3．（2024七下·岳阳期中）若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
4．（2024八上·深圳开学考）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（ ）
A．6 B．﹣5 C．﹣3 D．4
5．（2024八上·益阳开学考）定义三角表示3abc，方框表示xz＋wy，则×的结果为( )
A．72m2n－45mn2 B．72m2n＋45mn2 C．24m2n－15mn2 D．24m2n＋15mn2
6．（2020·宁波模拟）如图，7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b(a>b)，若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（ ）
A．a B．b C．a+b D．a-b
7．（2024七下·海曙期末） 如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 ，图 2 中阴影部分面积为 . 当 时， 的值为 ( )
A． B． C． D．
8．已知 则 的值为 .
9．（2024八上·岳阳开学考）若方程组的解是，则 ．
10．（2024七下·冷水滩期末）已知与互为相反数，则的值是 .
11．先化简，再求值：
（1）其中
（2）其中x=
（3） 其中x-
12．（2024八上·天心开学考）先化简，再求值：已知，，求的值，其中，满足
13．（2024八上·香洲开学考）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
（3）如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系．
二、能力提升
14．（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024八下·垫江县月考）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024七下·杭州期中）计算 ．
17．（2017七下·丰台期中）已知 ， ， ，求 的值．
18．（2024八上·宁江期末）观察下列等式，回答问题．
；
；
；
；
（1）试求的值；
（2）判断的值的个位数字是几？
19．（2024八上·斗门期末）小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：
，，，
（1）利用发现的规律计算 ．
（2）根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为 ；
用含、的等式表示以上两位数相乘的规律 ；
（3）请用所学知识证明②中的规律．
20．（2023八上·平城月考）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
（3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 ．
三、拓展创新
21．（2024七上·西城期中）“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．小明受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3266．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“15”左边的数是12 B．“15”右边的“”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
22．（2024九下·重庆市模拟）有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
23．（2024九下·重庆市模拟）将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”．
下列说法：
①只有“、对调操作”的结果与原式相等；
②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或；
③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．（2022八上·南昌期中）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么α与b就叫做“差商等数对”，记为．例如：；；则称数对，是“差商等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“差商等数对”是 （填序号）；
①②③
（2）如果是“差商等数对”，请求出a的值；
（3）在（2）的条件下，先化简再求值：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算结合题意对选项逐一计算即可求解。
2．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
代入得
∴，
∴b=-2，c=0，
，
，
故答案为：B
【分析】先将 代入得 ，进而根据非负性得到b和c，从而即可得到a，计算a+b即可求解。
3．【答案】D
【知识点】完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
∴M＝4xy，
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ 2a2﹣a﹣3＝0
∴2a2﹣a=3
原式=4a2-9+4a2-4a+1=8a2-4a-8=4(2a2-a)-8=4×3-8=4.
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式、完全平方公式将原式展开，再合并同类项将原式化简，然后再整体代入计算即可.
5．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：×=3×3mn×（4×2m+5n）=9mn×（8m+5n）=72m2n+45mn2，
故答案为：B.
【分析】根据题干中“三角”和“方框”的计算方法列出算式，再计算即可.
6．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：右上角黑色阴影部分的周长为2[b+(a+b-a)]=4b，
左下角黑色阴影部分的周长为2[a+(a+b-3b)]=4a-4b，
所以两块黑色阴影部分的周长和为：4b+(4a-4b)=4a，故选A
【分析】分别用含a，b的代数式表示出右上角黑色阴影部分的周长和左下角黑色阴影部分的周长，再求出两块黑色阴影部分的周长和，据此可作出判断。
7．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形中边AB=m，AD=n，
在图1中，；
在图2中，；
，
∵AB-AD=3，
∴m-n=3，
，
故答案为：D．
【分析】设AB=m，AD=n，再用a、b、m、n的代数式表示S1和S2，再求出S1-S2，化简后整体代入计算即可。
8．【答案】2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
=
=
=，
故答案为：2.
【分析】先将原式变形为，再将代入计算即可.
9．【答案】6
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入，可得，解得，
又由
，
把代入得：原式．
故答案为：6．
【分析】根据题意，求得的值，再将化简为，代入求值，即可求解．
10．【答案】49
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解∶与互为相反数，
与互为相反数，
即，
，，
解得，．
当，时，原式．
故答案为：
【分析】先把x2+8x+16整理成完全平方公式，利用相反数的和为0，结合非负数原理，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式计算即可．
11．【答案】（1）解：原式 ，
当 时，
原式
（2）解：原式
当 时，
原式
（3）解：原式 ，
当 时，
原式 .
【知识点】去括号法则及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可；
（3）先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可.
12．【答案】解：，，
，
，，
解得：，，
当，时，
原式．
【知识点】去括号法则及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简求出，再利用非负数之和的性质求出x、y的值，最后将x、y的值代入计算即可.
13．【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
又，，
，
解得：；
（3）解：由图得：，，，
，
，
，
，
S的值与无关，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：根据正方形的面积公式，图3的面积表示为(a+b+c)2；
根据部分法，图3的面积表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）由整体表示大正方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解；
（3）由图得，，，由线段和差求出，，根据矩形面积计算方法分别表示出长方形ABCD与EFGH的面积，根据多项式混合运算顺序计算出S的值，由多项式不含某一项的条件“该项系数为零”即可求解.
14．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
15．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，；故①正确；
②∵，
当为关于x的三次三项式时，且a，b均为非零常数，
∴；
∴；故②正确；
③∵
，
∵ 当多项式M与N的乘积中不含项，
∴，
∴；故③正确；
④
∵，
∴
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的个数为4个；
故答案为：D．
【分析】
本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．
①将代入代数式求出的值；
②先求出，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，依据题意可得，进而求出b的值；
③根据多项式乘多项式的运算法则展开，根据项的系数为，由题意可得；
④由题意可得，从而可得
，分别求出c、d、e的值即可判定。掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
16．【答案】
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：
设，
原式=a(b+)-b(a-)=ab+-ab+=，
∵ a+b=1，
∴ 原式=.
故答案为：.
【分析】设，将原式化简后，再计算a+b，即可求得.
17．【答案】解：
，
∵ ， ， ，
代入原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题比较复杂，主要是对完全平方式的考查，将要求的代数式补充完整，变成完全平方式，求解即可.
18．【答案】（1）原式．
（2）解：原式．
由，，，，，，…，
可知的个位数字是2，
所以的个位数字是1．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
……，
依此类推可知，，
∴当时，，
∴；
（2）
，
∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……，
∴可得当（k为正整数）时，个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，
∵，
∴的个位数是1．
【分析】（1）根据题意即可得到规律，进而代入即可求解；
（2）先运用整式的乘法计算代数式，进而探究个位数的规律即可求解。
19．【答案】（1）5609
（2）；
（3）证明：左边
，
右边
∴左边右边，
∴．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】 （1）解： 70×80+1×9=5609；
故答案为：5609；
（2） 若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为10-n；
∴，
故答案为：10-n；；
【分析】（1）通过题目给的规律发现两个两位数的相乘当个位数相加为十，十位数字相同时，积为十位数字乘以比十位数字大一的积作为前两位数字，个位乘以个位为后两位数字，据此可得答案；
（2）将（1）中的规律用字母表示出来，从而确定个位与规律，注意第二空要写和题目一样写成两数相乘得结果的形式；
（3）利用多项式乘以多项式的运算法则将括号去掉得到左右两边相等，从而证明结论.
20．【答案】（1）；
（2）155
（3）9
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积，
∴；
由图3知，大正方形的面积，
大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积，
∴；
故答案为：，．
（2）解：由（1）知：，
∴，
，
把代入得，
．
故答案为：155．
（3）解：，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：
∴，，，
∴．
故答案为：9
【分析】（1）根据“大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积”结合题意即可求出第一个等式，进而根据“大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积”即可得到第二个等式；
（2）由（1）知：，进而应用整式的混合运算即可求解；
（3）根据题意得到可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，进而即可得到x，y，z的值，从而即可求解。
21．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为：和，如图：
由题意可知：，，，，
∴，即，
∵，，
∴当，时，不是正整数，不符合题意，舍去，
∴当，时，，，，如图：
A中，“15”左边的数是，故A不符合题意；
B中，“15”右边的“”表示，故B不符合题意；
C与D中，上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：
，
当时，，故C不符合题意，D符合题意.
故选：D．
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算运算法则，设一个三位数与一个两位数分别为和，得到，，，，，确定，时，，，，得出运算结果，结合题意，即可求解.
22．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环.
∴当时，，故①错误；
∵六个一循环，∴，
当，
即； 故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故答案为：D．
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，根据题意依次进行作差，求出C1到C7的值，发现规律为：6个一循环，然后再逐一判断即可．
23．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：①根据题意，得“、对调操作”的结果为：，
∵，
∴“、对调操作”的结果与原式不相等，故①错误；
②根据题意，得“、对调操作的结果为：，“、对调操作”的结果为：，
∵“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，
∴，
整理得：，即，
∴或，故②正确；
③∵，
∴，
∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误；
故答案为：B.
【分析】①根据题目所给的新定义求出“、对调操作”的结果，从而判断该选项错误；
②先求出“、对调操作的结果、“、对调操作”的结果，再根据两结果相等得，从而解得或，即可判断该选项正确；
③由将原式化简为，从而得出所有的”对调操作“结果只有3种，进而判断该选项错误.
24．【答案】（1）①③
（2）解：由题意得：a 2＝，
解得a＝4；
（3）解：
=
=
=
=
代入a=4，原式=-12．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）①∵ 8.1 （ 9）＝ 8.1＋9＝0.9， 8.1÷（ 9）＝0.9，
∴ 8.1 （ 9）＝ 8.1÷（ 9），
∴（ 8.1， 9）是“差商等数对”；
②∵ ＝0，÷＝1，
∴ ≠÷，
∴不是“差商等数对”；
③∵ （ 1）＝，÷( 1)＝，
∴ （ 1）=÷( 1)，
∴是“差商等数对”；
故答案为：①③；
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据新定义列出方程，解方程即可；
（3）根据新定义列出方程，用含n的代数式表示出m即可。
1 / 1整式的混合运算—人教版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+a
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算结合题意对选项逐一计算即可求解。
2．（2024·宁波模拟）已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
代入得
∴，
∴b=-2，c=0，
，
，
故答案为：B
【分析】先将 代入得 ，进而根据非负性得到b和c，从而即可得到a，计算a+b即可求解。
3．（2024七下·岳阳期中）若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
【答案】D
【知识点】完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
∴M＝4xy，
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
4．（2024八上·深圳开学考）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（ ）
A．6 B．﹣5 C．﹣3 D．4
【答案】D
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ 2a2﹣a﹣3＝0
∴2a2﹣a=3
原式=4a2-9+4a2-4a+1=8a2-4a-8=4(2a2-a)-8=4×3-8=4.
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式、完全平方公式将原式展开，再合并同类项将原式化简，然后再整体代入计算即可.
5．（2024八上·益阳开学考）定义三角表示3abc，方框表示xz＋wy，则×的结果为( )
A．72m2n－45mn2 B．72m2n＋45mn2 C．24m2n－15mn2 D．24m2n＋15mn2
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：×=3×3mn×（4×2m+5n）=9mn×（8m+5n）=72m2n+45mn2，
故答案为：B.
【分析】根据题干中“三角”和“方框”的计算方法列出算式，再计算即可.
6．（2020·宁波模拟）如图，7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b(a>b)，若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（ ）
A．a B．b C．a+b D．a-b
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：右上角黑色阴影部分的周长为2[b+(a+b-a)]=4b，
左下角黑色阴影部分的周长为2[a+(a+b-3b)]=4a-4b，
所以两块黑色阴影部分的周长和为：4b+(4a-4b)=4a，故选A
【分析】分别用含a，b的代数式表示出右上角黑色阴影部分的周长和左下角黑色阴影部分的周长，再求出两块黑色阴影部分的周长和，据此可作出判断。
7．（2024七下·海曙期末） 如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 ，图 2 中阴影部分面积为 . 当 时， 的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形中边AB=m，AD=n，
在图1中，；
在图2中，；
，
∵AB-AD=3，
∴m-n=3，
，
故答案为：D．
【分析】设AB=m，AD=n，再用a、b、m、n的代数式表示S1和S2，再求出S1-S2，化简后整体代入计算即可。
8．已知 则 的值为 .
【答案】2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
=
=
=，
故答案为：2.
【分析】先将原式变形为，再将代入计算即可.
9．（2024八上·岳阳开学考）若方程组的解是，则 ．
【答案】6
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入，可得，解得，
又由
，
把代入得：原式．
故答案为：6．
【分析】根据题意，求得的值，再将化简为，代入求值，即可求解．
10．（2024七下·冷水滩期末）已知与互为相反数，则的值是 .
【答案】49
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解∶与互为相反数，
与互为相反数，
即，
，，
解得，．
当，时，原式．
故答案为：
【分析】先把x2+8x+16整理成完全平方公式，利用相反数的和为0，结合非负数原理，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式计算即可．
11．先化简，再求值：
（1）其中
（2）其中x=
（3） 其中x-
【答案】（1）解：原式 ，
当 时，
原式
（2）解：原式
当 时，
原式
（3）解：原式 ，
当 时，
原式 .
【知识点】去括号法则及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可；
（3）先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可.
12．（2024八上·天心开学考）先化简，再求值：已知，，求的值，其中，满足
【答案】解：，，
，
，，
解得：，，
当，时，
原式．
【知识点】去括号法则及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简求出，再利用非负数之和的性质求出x、y的值，最后将x、y的值代入计算即可.
13．（2024八上·香洲开学考）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
（3）如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系．
【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
又，，
，
解得：；
（3）解：由图得：，，，
，
，
，
，
S的值与无关，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：根据正方形的面积公式，图3的面积表示为(a+b+c)2；
根据部分法，图3的面积表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）由整体表示大正方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解；
（3）由图得，，，由线段和差求出，，根据矩形面积计算方法分别表示出长方形ABCD与EFGH的面积，根据多项式混合运算顺序计算出S的值，由多项式不含某一项的条件“该项系数为零”即可求解.
二、能力提升
14．（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
15．（2024八下·垫江县月考）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，；故①正确；
②∵，
当为关于x的三次三项式时，且a，b均为非零常数，
∴；
∴；故②正确；
③∵
，
∵ 当多项式M与N的乘积中不含项，
∴，
∴；故③正确；
④
∵，
∴
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的个数为4个；
故答案为：D．
【分析】
本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．
①将代入代数式求出的值；
②先求出，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，依据题意可得，进而求出b的值；
③根据多项式乘多项式的运算法则展开，根据项的系数为，由题意可得；
④由题意可得，从而可得
，分别求出c、d、e的值即可判定。掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
16．（2024七下·杭州期中）计算 ．
【答案】
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：
设，
原式=a(b+)-b(a-)=ab+-ab+=，
∵ a+b=1，
∴ 原式=.
故答案为：.
【分析】设，将原式化简后，再计算a+b，即可求得.
17．（2017七下·丰台期中）已知 ， ， ，求 的值．
【答案】解：
，
∵ ， ， ，
代入原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题比较复杂，主要是对完全平方式的考查，将要求的代数式补充完整，变成完全平方式，求解即可.
18．（2024八上·宁江期末）观察下列等式，回答问题．
；
；
；
；
（1）试求的值；
（2）判断的值的个位数字是几？
【答案】（1）原式．
（2）解：原式．
由，，，，，，…，
可知的个位数字是2，
所以的个位数字是1．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
……，
依此类推可知，，
∴当时，，
∴；
（2）
，
∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……，
∴可得当（k为正整数）时，个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，
∵，
∴的个位数是1．
【分析】（1）根据题意即可得到规律，进而代入即可求解；
（2）先运用整式的乘法计算代数式，进而探究个位数的规律即可求解。
19．（2024八上·斗门期末）小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：
，，，
（1）利用发现的规律计算 ．
（2）根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为 ；
用含、的等式表示以上两位数相乘的规律 ；
（3）请用所学知识证明②中的规律．
【答案】（1）5609
（2）；
（3）证明：左边
，
右边
∴左边右边，
∴．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】 （1）解： 70×80+1×9=5609；
故答案为：5609；
（2） 若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为10-n；
∴，
故答案为：10-n；；
【分析】（1）通过题目给的规律发现两个两位数的相乘当个位数相加为十，十位数字相同时，积为十位数字乘以比十位数字大一的积作为前两位数字，个位乘以个位为后两位数字，据此可得答案；
（2）将（1）中的规律用字母表示出来，从而确定个位与规律，注意第二空要写和题目一样写成两数相乘得结果的形式；
（3）利用多项式乘以多项式的运算法则将括号去掉得到左右两边相等，从而证明结论.
20．（2023八上·平城月考）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
（3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 ．
【答案】（1）；
（2）155
（3）9
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积，
∴；
由图3知，大正方形的面积，
大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积，
∴；
故答案为：，．
（2）解：由（1）知：，
∴，
，
把代入得，
．
故答案为：155．
（3）解：，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：
∴，，，
∴．
故答案为：9
【分析】（1）根据“大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积”结合题意即可求出第一个等式，进而根据“大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积”即可得到第二个等式；
（2）由（1）知：，进而应用整式的混合运算即可求解；
（3）根据题意得到可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，进而即可得到x，y，z的值，从而即可求解。
三、拓展创新
21．（2024七上·西城期中）“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．小明受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3266．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“15”左边的数是12 B．“15”右边的“”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为：和，如图：
由题意可知：，，，，
∴，即，
∵，，
∴当，时，不是正整数，不符合题意，舍去，
∴当，时，，，，如图：
A中，“15”左边的数是，故A不符合题意；
B中，“15”右边的“”表示，故B不符合题意；
C与D中，上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：
，
当时，，故C不符合题意，D符合题意.
故选：D．
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算运算法则，设一个三位数与一个两位数分别为和，得到，，，，，确定，时，，，，得出运算结果，结合题意，即可求解.
22．（2024九下·重庆市模拟）有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环.
∴当时，，故①错误；
∵六个一循环，∴，
当，
即； 故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故答案为：D．
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，根据题意依次进行作差，求出C1到C7的值，发现规律为：6个一循环，然后再逐一判断即可．
23．（2024九下·重庆市模拟）将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”．
下列说法：
①只有“、对调操作”的结果与原式相等；
②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或；
③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：①根据题意，得“、对调操作”的结果为：，
∵，
∴“、对调操作”的结果与原式不相等，故①错误；
②根据题意，得“、对调操作的结果为：，“、对调操作”的结果为：，
∵“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，
∴，
整理得：，即，
∴或，故②正确；
③∵，
∴，
∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误；
故答案为：B.
【分析】①根据题目所给的新定义求出“、对调操作”的结果，从而判断该选项错误；
②先求出“、对调操作的结果、“、对调操作”的结果，再根据两结果相等得，从而解得或，即可判断该选项正确；
③由将原式化简为，从而得出所有的”对调操作“结果只有3种，进而判断该选项错误.
24．（2022八上·南昌期中）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么α与b就叫做“差商等数对”，记为．例如：；；则称数对，是“差商等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“差商等数对”是 （填序号）；
①②③
（2）如果是“差商等数对”，请求出a的值；
（3）在（2）的条件下，先化简再求值：．
【答案】（1）①③
（2）解：由题意得：a 2＝，
解得a＝4；
（3）解：
=
=
=
=
代入a=4，原式=-12．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）①∵ 8.1 （ 9）＝ 8.1＋9＝0.9， 8.1÷（ 9）＝0.9，
∴ 8.1 （ 9）＝ 8.1÷（ 9），
∴（ 8.1， 9）是“差商等数对”；
②∵ ＝0，÷＝1，
∴ ≠÷，
∴不是“差商等数对”；
③∵ （ 1）＝，÷( 1)＝，
∴ （ 1）=÷( 1)，
∴是“差商等数对”；
故答案为：①③；
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据新定义列出方程，解方程即可；
（3）根据新定义列出方程，用含n的代数式表示出m即可。
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