多组完全平方公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2023八上·潮南月考）已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
3．（2023七下·茶陵期末）设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
4．（2024八上·洪山期末）△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
5．（2022七下·会同期末）已知，则的值等于 ．
6．（2022·成都模拟）已知 a2+10b2+ c2﹣4ab＝ a﹣2bc﹣ ，则a﹣2b+c＝ .
7．（2023八上·巴州期中）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 ．
8．（2024八上·望城期末）已知，，，则代数式的值是 ．
三、综合题
9．（2023八上·平城月考）已知a、b、c是三边长，且，试判断的形状．
10．（2023七下·通川期末）已知a，b，c是的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足，且，求的周长；
（2）若a，b，c满足，且的周长是偶数，求c的值
11．（2022七下·义乌期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性.
（2）若，你能很快求出的值吗？
（3）若，求的值.
12．（2024九上·北京市开学考）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如：．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式变形为的形式；
（2）当分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
（3）若，则与的大小关系是
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=，
而a-b=-1，a-c=-2， c-b=1，
则原式==3.
故答案为：D.
【分析】把代数式变形为完全平方式，代入即可求得.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
3．【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a=c+1，b=c-1，
∵，
∴，
∴c2+2c+1+c2-2c+1=34，
∴2c2+2=34，
解得：，
故答案为：A.
【分析】利用c表示出a=c+1，b=c-1，再结合，可得，再求出的值即可.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：a2+b2+c2＝ab+bc+ac 两边同时乘2得，
2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，
即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，
（a－b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
解得：a=b=c，
则△ABC是等边三角形.
故答案为：A.
【分析】将 a2+b2+c2＝ab+bc+ac 两边同时乘2，再化简得（a－b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，得出a=b=c，据此判定即可.
5．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由联想到完全平方公式，即对等式两边同时平方可得(a-b)2、(b-c)2、(c-a)2的值，结合完全平方公式可得2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)的值，结合已知条件就可求出ab+bc+ca的值.
6．【答案】-14
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
a2+10b2+
c2﹣4ab＝
a﹣2bc﹣
，
整理得：153a2+360b2+4c2﹣144ab＝12a﹣72bc﹣4，
即（9a2﹣12a+4）+（324b2+72b+4c2）+（144a2﹣144ab+36b2）＝0，
∴（3a﹣2）2+（18b+2c）2+（12a﹣6b）2＝0，
∴3a﹣2＝0，18b+2c＝0，12a﹣6b＝0，
∴a＝
，b＝
，c＝﹣12，
∴a﹣2b+c＝
﹣2×
﹣12＝﹣14.
故答案为：-14.
【分析】对原式进行变形可得(3a-2)2+(18b+2c)2+(12a-6b)2＝0，根据偶次幂的非负性可得a、b、c的值，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
7．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 根据题意
故填：3
【分析】观察已知条件中的a、b、c三个式子，式子表面复杂但是它们的差是很简单的数，由此指引我们尽量在所求式子中找它们的差的影子；另一方面，所求代数式有规律，而且都是二次项，很容易联想到完全平方公式，但缺少系数2，故各项都乘以2，再在括号外面乘以，原式进行恒等变形后代入求值即可。
8．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，，，再将代数式根据完全平方公式进行化简，再代入相应值计算即可求出答案.
9．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据整式的混合运算结合完全平方公式即可得到，进而根据等腰三角形的判定即可求解。
10．【答案】（1）解：∵，
∴a+b＝17，ab＝60，
∵a，b，c是正整数，
∴a＝12，b＝5，或a＝5，b＝12，
∵＝169，
∴c＝13或c＝-13（不合题意，舍去），
∴c＝13，
∴△ABC的周长为5+12+13＝30；
（2）解：∵，
∴，
解得b＝3，a＝2b＝6，
∴6－3＜c＜6＋3，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b＝9是奇数，
∴c是奇数，
∴c＝5或7．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先求出 a+b＝17，ab＝60， 再利用勾股定理求出 c＝13， 最后求解即可；
（2）利用完全平方公式求出 ， 再求出 b＝3，a＝2b＝6， 最后利用三角形的三边关系计算求解即可。
11．【答案】（1）解：等式右边
左边，得证；
（2）解：当时，
=3；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）将等式右边利用完全平方公式先去小括号，再利用乘法分配律去中括号后与左边比较即可得出结论；
（2）利用题干给的等式将a、b、c的值代入按含乘方和括号的有理数的混合运算的运算顺序计算即可得出答案；
（3）将已知给出的前两个等式相加可得 ，进而借助题干给的等式恒等变形后整体代入计算即可.
12．【答案】（1）解：由.
（2）解：由
，
∵，，∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15.
（3）解：∵，，
∴
，
∴．故答案为：．
【知识点】完全平方公式及运用；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意，利用完全平方公式，即可求解；
（2）利用完全平方公式变形得到，结合，，即可求解；
（3）利用作差法和完全平方公式，得到，进而得到m与n的大小关系.
（1）解：
；
（2）解：
．
∵，，
∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15；
（3）解：∵，，
∴
，
∴．
故答案为：．
1 / 1多组完全平方公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2023八上·潮南月考）已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=，
而a-b=-1，a-c=-2， c-b=1，
则原式==3.
故答案为：D.
【分析】把代数式变形为完全平方式，代入即可求得.
2．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
3．（2023七下·茶陵期末）设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a=c+1，b=c-1，
∵，
∴，
∴c2+2c+1+c2-2c+1=34，
∴2c2+2=34，
解得：，
故答案为：A.
【分析】利用c表示出a=c+1，b=c-1，再结合，可得，再求出的值即可.
4．（2024八上·洪山期末）△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：a2+b2+c2＝ab+bc+ac 两边同时乘2得，
2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，
即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，
（a－b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
解得：a=b=c，
则△ABC是等边三角形.
故答案为：A.
【分析】将 a2+b2+c2＝ab+bc+ac 两边同时乘2，再化简得（a－b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，得出a=b=c，据此判定即可.
二、填空题
5．（2022七下·会同期末）已知，则的值等于 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由联想到完全平方公式，即对等式两边同时平方可得(a-b)2、(b-c)2、(c-a)2的值，结合完全平方公式可得2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)的值，结合已知条件就可求出ab+bc+ca的值.
6．（2022·成都模拟）已知 a2+10b2+ c2﹣4ab＝ a﹣2bc﹣ ，则a﹣2b+c＝ .
【答案】-14
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
a2+10b2+
c2﹣4ab＝
a﹣2bc﹣
，
整理得：153a2+360b2+4c2﹣144ab＝12a﹣72bc﹣4，
即（9a2﹣12a+4）+（324b2+72b+4c2）+（144a2﹣144ab+36b2）＝0，
∴（3a﹣2）2+（18b+2c）2+（12a﹣6b）2＝0，
∴3a﹣2＝0，18b+2c＝0，12a﹣6b＝0，
∴a＝
，b＝
，c＝﹣12，
∴a﹣2b+c＝
﹣2×
﹣12＝﹣14.
故答案为：-14.
【分析】对原式进行变形可得(3a-2)2+(18b+2c)2+(12a-6b)2＝0，根据偶次幂的非负性可得a、b、c的值，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
7．（2023八上·巴州期中）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 根据题意
故填：3
【分析】观察已知条件中的a、b、c三个式子，式子表面复杂但是它们的差是很简单的数，由此指引我们尽量在所求式子中找它们的差的影子；另一方面，所求代数式有规律，而且都是二次项，很容易联想到完全平方公式，但缺少系数2，故各项都乘以2，再在括号外面乘以，原式进行恒等变形后代入求值即可。
8．（2024八上·望城期末）已知，，，则代数式的值是 ．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，，，再将代数式根据完全平方公式进行化简，再代入相应值计算即可求出答案.
三、综合题
9．（2023八上·平城月考）已知a、b、c是三边长，且，试判断的形状．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据整式的混合运算结合完全平方公式即可得到，进而根据等腰三角形的判定即可求解。
10．（2023七下·通川期末）已知a，b，c是的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足，且，求的周长；
（2）若a，b，c满足，且的周长是偶数，求c的值
【答案】（1）解：∵，
∴a+b＝17，ab＝60，
∵a，b，c是正整数，
∴a＝12，b＝5，或a＝5，b＝12，
∵＝169，
∴c＝13或c＝-13（不合题意，舍去），
∴c＝13，
∴△ABC的周长为5+12+13＝30；
（2）解：∵，
∴，
解得b＝3，a＝2b＝6，
∴6－3＜c＜6＋3，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b＝9是奇数，
∴c是奇数，
∴c＝5或7．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先求出 a+b＝17，ab＝60， 再利用勾股定理求出 c＝13， 最后求解即可；
（2）利用完全平方公式求出 ， 再求出 b＝3，a＝2b＝6， 最后利用三角形的三边关系计算求解即可。
11．（2022七下·义乌期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性.
（2）若，你能很快求出的值吗？
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：等式右边
左边，得证；
（2）解：当时，
=3；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）将等式右边利用完全平方公式先去小括号，再利用乘法分配律去中括号后与左边比较即可得出结论；
（2）利用题干给的等式将a、b、c的值代入按含乘方和括号的有理数的混合运算的运算顺序计算即可得出答案；
（3）将已知给出的前两个等式相加可得 ，进而借助题干给的等式恒等变形后整体代入计算即可.
12．（2024九上·北京市开学考）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如：．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式变形为的形式；
（2）当分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
（3）若，则与的大小关系是
【答案】（1）解：由.
（2）解：由
，
∵，，∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15.
（3）解：∵，，
∴
，
∴．故答案为：．
【知识点】完全平方公式及运用；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意，利用完全平方公式，即可求解；
（2）利用完全平方公式变形得到，结合，，即可求解；
（3）利用作差法和完全平方公式，得到，进而得到m与n的大小关系.
（1）解：
；
（2）解：
．
∵，，
∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15；
（3）解：∵，，
∴
，
∴．
故答案为：．
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