三元平方公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2020八上·鲤城期末）已知 ，则a+b+c的值是（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．±2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴ =4
∴a+b+c=±2
故答案为：D
【分析】先计算(a+b+c)2，再将 代入即可求解．
2．（2023八下·东港期末）已知是三角形的三边，且满足则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（a+b+c）2=3a2+3b2+3c 2，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3a 2+3b 2+3c 2
a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
故a=b，b=c，c=a，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形.
故答案为：C.
【分析】 先将已知等式根据多项式乘多项式：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，将等式的左边展开，再移项合并同类项整理成一般形式，进而利用拆项的方法及完全平方公式的逆用：a2-2ab+b2=（a-b）2将等式变形，最后根据偶次方非负性：任意整式的偶次方是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个数一定都为0，即可求得a=b=c，根据三条边都相等的三角形是等边三角形即可求解.
二、填空题
3．（2022七上·黄浦期中）计算： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：
【分析】利用完全平方公式计算方法求解即可。
4．（2022七上·普陀期中）计算： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
三、解答题
5．计算：（a+b+c）2
【答案】解：原式=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+c2+2c（a+b）
=a2+b2+2ab+c2+2ac+2cb；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把原式化为[（a+b）+c]2的形式，再根据平方差公式进行计算即可；
6．（2022七下·霍邱期中）已知，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式可得，再将，代入计算即可。
7．设实数a，b，c满足a2+b2+c2=1．若a+b+c=0，求ab+bc+ca的值；
【答案】解：∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2=0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，
而a2+b2+c2=1，
∴ab+bc+ca=；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把a+b+c=0两边平方，然后展开得到a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，再把a2+b2+c2=1代入进行计算即可；
本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了（a﹣b）2的非负性质以及代数式的变形能力．
8．（2024八下·宁波竞赛）已知．
（1）求abc的值；
（2）的值．
【答案】（1）解：
又
即
（2）解：，
即
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题考查完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。（1）由a+b+c=6得，展开后，代入得；根据及可得；（2）由，得；由得.
9．（2020七下·鼓楼期中）要说明(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程.
（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；
（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；
（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立；
【答案】（1）解：小刚：(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：小王：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2
（3）解：小丽：如图
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用乘方的意义求解，即可；（2）将式子变形，利用完全平方公式计算，即可；（3）化成边长为a+b+c的正方形，即可得出答案.
10．阅读下面的解题过程．利用乘法公式计算：
⑴(a-b+1)(a+b-1)；
⑵(a+b+c)2．
解：(1)原式=[a-(b-1)][a+(b-1)]
=a2-(b-1)2
=a2-(b2-2b+1)
=a2-b2+2b-1．
⑵原式=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2．
请根据上述解题思想，利用乘法公式计算下列各题：
（1）(x-2y+1)(x-2y-1)．
（2）(2a-3b-c)2．
【答案】（1）解：原式=[(x-2y)+1)][(x-2y)-1]
=(x-2y)2-1
=x2-4xy+4y2-1；
（2）解： (2a-3b-c) 2
=[(2a-3b)-c]2
=(2a-3b)2-2(2a-3b)·c+c2
=4a2-12ab+9b2-4ac+6bc+c2．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）两个因式中有两项完全相同，剩下的一项只有符号不同，故先在每一个因式内将完全相同的项结合在一起，接着利用平方差公式计算，进而再利用完全平方公式计算即可；
（2）此题是三个数的和的完全平方，可以先将其中的任意两项结合在一起看成一个整体，接着连续两次使用完全平方公式计算即可.
11．（2018七下·余姚期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .(只要写出一个即可)
（2）请利用(1)中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值
【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z=
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。
（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。
12．（2024八上·香洲开学考）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
（3）如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系．
【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
又，，
，
解得：；
（3）解：由图得：，，，
，
，
，
，
S的值与无关，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：根据正方形的面积公式，图3的面积表示为(a+b+c)2；
根据部分法，图3的面积表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）由整体表示大正方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解；
（3）由图得，，，由线段和差求出，，根据矩形面积计算方法分别表示出长方形ABCD与EFGH的面积，根据多项式混合运算顺序计算出S的值，由多项式不含某一项的条件“该项系数为零”即可求解.
13．（2023八上·伊通期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.以图①中的正方形ABCD为例：
探究：如图①，用含a，b的式子完成以下题目中的（2）和（3）：（1）正方形ABCD的边长为，因为正方形的面积等于正方形边长的平方，所以正方形ABCD的面积可以表示为.
（1）仔细观察图①，正方形ABCD被分割成甲、乙、丙、丁四部分，甲部分的面积为ab，乙部分的面积为，丙部分的面积为 ，丁部分的面积为 .将这四部分的面积相加就可以得到正方形ABCD的面积为： .
（2）以上（1）和（2）的探究过程，都表示出了正方形ABCD的面积，从而得到两个数和的平方公式： .
（3）根据探究的过程，用含有a，b，c的式子表示出由图②中的正方形EFGH可以得到的数学等式： ；
（4）若，，求的值；
【答案】（1）；；
（2）发现：
（3）解：运用：利用（4）中得到的结论，解决下面问题：
（4）解：∵，
，
，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）利用图形中的数据可得丙的面积为；丁部分的面积为；正方形ABCD的面积为；
故答案为：；；；
（2）根据题意可得：，
故答案为：；
（3）根据图②中正方形EFGH的面积的表达方法可得，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形和长方形的面积公式求出图形的面积即可；
（2）利用（1）的计算方法可得；
（3）利用不同的表达式表示图②的面积可得；
（4）将，变形可得，再求出即可.
1 / 1三元平方公式—人教版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2020八上·鲤城期末）已知 ，则a+b+c的值是（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．±2
2．（2023八下·东港期末）已知是三角形的三边，且满足则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
3．（2022七上·黄浦期中）计算： ．
4．（2022七上·普陀期中）计算： ．
三、解答题
5．计算：（a+b+c）2
6．（2022七下·霍邱期中）已知，，求的值．
7．设实数a，b，c满足a2+b2+c2=1．若a+b+c=0，求ab+bc+ca的值；
8．（2024八下·宁波竞赛）已知．
（1）求abc的值；
（2）的值．
9．（2020七下·鼓楼期中）要说明(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程.
（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；
（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；
（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立；
10．阅读下面的解题过程．利用乘法公式计算：
⑴(a-b+1)(a+b-1)；
⑵(a+b+c)2．
解：(1)原式=[a-(b-1)][a+(b-1)]
=a2-(b-1)2
=a2-(b2-2b+1)
=a2-b2+2b-1．
⑵原式=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2．
请根据上述解题思想，利用乘法公式计算下列各题：
（1）(x-2y+1)(x-2y-1)．
（2）(2a-3b-c)2．
11．（2018七下·余姚期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .(只要写出一个即可)
（2）请利用(1)中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值
12．（2024八上·香洲开学考）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
（3）如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系．
13．（2023八上·伊通期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.以图①中的正方形ABCD为例：
探究：如图①，用含a，b的式子完成以下题目中的（2）和（3）：（1）正方形ABCD的边长为，因为正方形的面积等于正方形边长的平方，所以正方形ABCD的面积可以表示为.
（1）仔细观察图①，正方形ABCD被分割成甲、乙、丙、丁四部分，甲部分的面积为ab，乙部分的面积为，丙部分的面积为 ，丁部分的面积为 .将这四部分的面积相加就可以得到正方形ABCD的面积为： .
（2）以上（1）和（2）的探究过程，都表示出了正方形ABCD的面积，从而得到两个数和的平方公式： .
（3）根据探究的过程，用含有a，b，c的式子表示出由图②中的正方形EFGH可以得到的数学等式： ；
（4）若，，求的值；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴ =4
∴a+b+c=±2
故答案为：D
【分析】先计算(a+b+c)2，再将 代入即可求解．
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（a+b+c）2=3a2+3b2+3c 2，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3a 2+3b 2+3c 2
a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
故a=b，b=c，c=a，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形.
故答案为：C.
【分析】 先将已知等式根据多项式乘多项式：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，将等式的左边展开，再移项合并同类项整理成一般形式，进而利用拆项的方法及完全平方公式的逆用：a2-2ab+b2=（a-b）2将等式变形，最后根据偶次方非负性：任意整式的偶次方是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个数一定都为0，即可求得a=b=c，根据三条边都相等的三角形是等边三角形即可求解.
3．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：
【分析】利用完全平方公式计算方法求解即可。
4．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
5．【答案】解：原式=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+c2+2c（a+b）
=a2+b2+2ab+c2+2ac+2cb；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把原式化为[（a+b）+c]2的形式，再根据平方差公式进行计算即可；
6．【答案】解：∵，，
∴
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式可得，再将，代入计算即可。
7．【答案】解：∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2=0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，
而a2+b2+c2=1，
∴ab+bc+ca=；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把a+b+c=0两边平方，然后展开得到a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，再把a2+b2+c2=1代入进行计算即可；
本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了（a﹣b）2的非负性质以及代数式的变形能力．
8．【答案】（1）解：
又
即
（2）解：，
即
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题考查完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。（1）由a+b+c=6得，展开后，代入得；根据及可得；（2）由，得；由得.
9．【答案】（1）解：小刚：(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：小王：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2
（3）解：小丽：如图
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用乘方的意义求解，即可；（2）将式子变形，利用完全平方公式计算，即可；（3）化成边长为a+b+c的正方形，即可得出答案.
10．【答案】（1）解：原式=[(x-2y)+1)][(x-2y)-1]
=(x-2y)2-1
=x2-4xy+4y2-1；
（2）解： (2a-3b-c) 2
=[(2a-3b)-c]2
=(2a-3b)2-2(2a-3b)·c+c2
=4a2-12ab+9b2-4ac+6bc+c2．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）两个因式中有两项完全相同，剩下的一项只有符号不同，故先在每一个因式内将完全相同的项结合在一起，接着利用平方差公式计算，进而再利用完全平方公式计算即可；
（2）此题是三个数的和的完全平方，可以先将其中的任意两项结合在一起看成一个整体，接着连续两次使用完全平方公式计算即可.
11．【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z=
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。
（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。
12．【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
又，，
，
解得：；
（3）解：由图得：，，，
，
，
，
，
S的值与无关，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：根据正方形的面积公式，图3的面积表示为(a+b+c)2；
根据部分法，图3的面积表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）由整体表示大正方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解；
（3）由图得，，，由线段和差求出，，根据矩形面积计算方法分别表示出长方形ABCD与EFGH的面积，根据多项式混合运算顺序计算出S的值，由多项式不含某一项的条件“该项系数为零”即可求解.
13．【答案】（1）；；
（2）发现：
（3）解：运用：利用（4）中得到的结论，解决下面问题：
（4）解：∵，
，
，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）利用图形中的数据可得丙的面积为；丁部分的面积为；正方形ABCD的面积为；
故答案为：；；；
（2）根据题意可得：，
故答案为：；
（3）根据图②中正方形EFGH的面积的表达方法可得，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形和长方形的面积公式求出图形的面积即可；
（2）利用（1）的计算方法可得；
（3）利用不同的表达式表示图②的面积可得；
（4）将，变形可得，再求出即可.
1 / 1
