2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分。共32分）
1．（4分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各组线段（单位：m）中，成比例线段的是（　　）
A．3，4，5，6 B．1，3，5，7
C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5
3．（4分）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：（　　），使得平行四边形ABCD是矩形．
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AC＝BD
5．（4分）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取2名同学，则抽到的2名同学都是女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
7．（4分）已知（﹣5，y1）（﹣1，y2），（2，y3）都在双曲线y＝（k＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF：FD＝2：3，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）若2a＝3b，则＝ 　 　．
10．（4分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
11．（4分）如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝0.8m，BP＝1.2m，PD＝27m，那么逸夫楼的高度为 　 　m．
12．（4分）如图，在△ADE中，BC∥DE，其中BC＝2，DE＝3，S△ABC＝8，则S四边形BDEC＝ 　 　．
13．（4分）如图，BD是 ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，
大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则 ABCD的边BC上的高为　 　．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x+3＝x；
（3）解方程：x2﹣4＝5（x﹣2）．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1；
（3）判断△O1A1B1和△OA2B2是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
16．（8分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 　 　名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 　 　°，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数；
（3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+n的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，AM＝3，OM＝1，点B的纵坐标为﹣1．
（1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
18．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC且AB＝BC．将AB绕点A顺时针旋转一定角度得线段AE，点E在四边形ABCD内部，连接DE，∠AED＝90°，连接BE并延长交CD于点F．
（1）如图1，若AE＝BE，过点A作CD延长线的垂线，垂足为G，求∠DAG的度数；
（2）如图2，若E为BF的中点，求的值；
（3）如图四：若，连接CE并延长交AD于点G，EG＝3，求AB的长．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为 　 　．
20．（4分）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要　 　个小立方块，最多要　 　个小立方块．
21．（4分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数y＝kx+m，其中常数k满足，常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项，则该一次函数y＝kx+m的解析式为 　 　．
22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，将△ABD沿BD翻折至△EBD，连接CE，若CE：BD＝3：4，则＝ 　 　．
23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上运动，连接BE，AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，则的最小值为 　 　．
二、解答题（共30分）
24．（8分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y＝（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
26．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；
（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG GE；
（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，
①求证：；
②求y与x之间的函数关系式．
2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题4分。共32分）
1．（4分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
选：B．
2．（4分）下列各组线段（单位：m）中，成比例线段的是（　　）
A．3，4，5，6 B．1，3，5，7
C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5
选：C．
3．（4分）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
选：A．
4．（4分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：（　　），使得平行四边形ABCD是矩形．
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AC＝BD
选：D．
5．（4分）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取2名同学，则抽到的2名同学都是女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
选：B．
6．（4分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
选：D．
7．（4分）已知（﹣5，y1）（﹣1，y2），（2，y3）都在双曲线y＝（k＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF：FD＝2：3，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5
选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）若2a＝3b，则＝ 　　．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴b＝a，
∴＝＝＝．
故答案为：．
10．（4分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝　﹣2　．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（4分）如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝0.8m，BP＝1.2m，PD＝27m，那么逸夫楼的高度为 　18　m．
【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，即＝，
解得：CD＝18．
答：逸夫楼的高度约为18m．
故答案为：18．
12．（4分）如图，在△ADE中，BC∥DE，其中BC＝2，DE＝3，S△ABC＝8，则S四边形BDEC＝ 　10　．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∵S△ABC＝8，
∴S△ADE＝18，
∴S四边形BDEC＝S△ADE﹣S△ABC＝18﹣8＝10．
故答案为：10．
13．（4分）如图，BD是 ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，
大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则 ABCD的边BC上的高为　　．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形BMDN为菱形，
∴BN＝＝5，
设 ABCD的边BC上的高为h，
∵MN BD＝2BN h，
∴h＝＝，
即 ABCD的边BC上的高为．
故答案为．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x+3＝x；
（3）解方程：x2﹣4＝5（x﹣2）．
【解答】解：（1）
＝4﹣1+2﹣﹣4
＝1﹣；
（2）x2﹣4x+3＝x，
x2﹣5x+3＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）x2﹣4＝5（x﹣2），
（x+2）（x﹣2）﹣5（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+2﹣5）＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1；
（3）判断△O1A1B1和△OA2B2是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
【解答】解：（1）如图1，△O1A1B1即为所求．
（2）如图2，△OA2B2即为所求．
（3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形；理由如下：
如图3，
点M即为位似中心，M（﹣4，2）．
16．（8分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 　80　名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 　162　°，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数；
（3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
【解答】解：（1）该校此次调查共抽取了（10+6）÷20%＝80（名）学生．
扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为360°×＝162°．
故答案为：80；162；
C组中八年级的学生人数为80﹣10﹣6﹣16﹣20﹣6﹣8﹣4＝10（人）．
补全条形统计图如图①所示．
（2）600×＝210（人）．
∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约210人；
（3）将七年级的2名同学分别记为a，b，将八年级的2名同学分别记为c，d，
列表如下：
a b c d
a （a，b） （a，c） （a，d）
b （b，a） （b，c） （b，d）
c （c，a） （c，b） （c，d）
d （d，a） （d，b） （d，c）
共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有：（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（d，a），（d，b），共8种，
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+n的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，AM＝3，OM＝1，点B的纵坐标为﹣1．
（1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）根据题意可知，A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
当y＝﹣1时，x＝3，
∴B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）、B（3，﹣1）在一次函数y1＝mx+n的图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
（2）根据函数图象及交点坐标，不等式y1＞y2自变量x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜3．
（3）由一次函数y＝﹣x+2可知，C（0，2）即OC＝2，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝4．
18．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC且AB＝BC．将AB绕点A顺时针旋转一定角度得线段AE，点E在四边形ABCD内部，连接DE，∠AED＝90°，连接BE并延长交CD于点F．
（1）如图1，若AE＝BE，过点A作CD延长线的垂线，垂足为G，求∠DAG的度数；
（2）如图2，若E为BF的中点，求的值；
（3）如图四：若，连接CE并延长交AD于点G，EG＝3，求AB的长．
【解答】解：（1）∵AB绕点A顺时针旋转一定角度得线段AE，
∴AE＝AB，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝AE，
∴△ABE为等边三角形，∠BAE＝60°，
∵AE＝BC，
∵∠AED＝∠AGD＝90°，
∴AE＝AG，
∵AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AGD（HL），
∴；
（2）由点E向AB作垂线，垂足为M，向CD作垂线，垂足为N，由A点作CD的垂线，交CD的延长线交于G点，如图，
设AB＝AE＝y，BM＝CN＝FN＝x，
∵∠MEA+∠DEN＝90°，∠MEA+∠MAE＝90°，
∴∠DEM＝∠EAM，
同理∠EDN＝∠MEA，
故△AEM∽△DEN，
∴，
∴，
∴，
∴DE＝2DN，
∴AE＝2ME，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，由点E向AB，CD作垂线，垂足为M，N，由A向CD作垂线，垂足为H，由G向下作垂线，垂足为I，连接GB，
设CN＝x，CD＝2y，AB＝3y，
由题意可知∠AED＝∠AHD＝90°，，AE＝AB＝3y，
则，
∵AB＝AE＝BC＝AH，
∴A，D，E，H四点共圆，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴△AME∽△DNE，相似比为，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴10x＝12y，
∴，
∴，，
∴，
∵GI＝3DI，CI＝2GI，
∴，
∴，
∴y＝5，
∴AB＝15．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为 　﹣　．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
20．（4分）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要　9　个小立方块，最多要　14　个小立方块．
【解答】解：根据图形可知，几何体最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，
∴最少有6+2+1＝9个小立方块；
根据图形可知，几何体最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，
∴最多有6+5+3＝14个小立方块．
故答案为：9；14．
21．（4分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数y＝kx+m，其中常数k满足，常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项，则该一次函数y＝kx+m的解析式为 　y＝x+3或y＝﹣x+3　．
【解答】解：∵常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项，
∴m＝3，
∵，
∴c＝k（a+b），a＝k（b+c），b＝k（a+c），
∴a+b+c＝2k（a+b+c），
∴a+b+c＝0或k＝，
当a+b+c＝0时，a+c＝﹣b，则k＝＝﹣1，
∴该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3，
故答案为：y＝x+3或y＝﹣x+3．
22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，将△ABD沿BD翻折至△EBD，连接CE，若CE：BD＝3：4，则＝ 　　．
【解答】解：如图所示，连接AE，延长BD，交AE于F，
由折叠可得，AD＝ED，AB＝EB，
∴BD垂直平分AE，即∠AFD＝90°，
∵D为AC边上的中点，
∴AD＝CD＝ED，
∴∠AFD＝∠AEC，
∴∠AEC＝180°×＝90°，
∴BD∥CE，
∴∠DBC＝∠ECG，
过E作EG⊥BC，交BC的延长线于G，
则∠G＝∠BCD＝90°，
∴△BCD∽△CGE，
∴CE：BD＝CG：BC＝EG：DC＝3：4，
设CG＝3a，EG＝3b，则BC＝4a，CD＝4b＝AD，
Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2＝（4a）2+（8b）2，
Rt△BCE中，EB2＝BG2+EG2＝（7a）2+（3b）2，
∴（4a）2+（8b）2＝（7a）2+（3b）2，
整理得a：b＝：，
∴Rt△ABC中，tanA＝＝＝．
故答案为：．
23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上运动，连接BE，AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，则的最小值为 　　．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上运动，连接BE，AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，
∴AB＝BC＝3，∠ABC＝∠BCE＝90°，
将BE绕点E旋转90°得到EG，连接AG、BG，则∠BEG＝90°，BE＝EG，
∴，∠EBG＝45°，
∴∠AEF＝90°＝∠BEG，AE＝EF，
∴∠BEG+∠BEA＝∠AEF+∠BEA，
即∠AEG＝∠BEF，
∵BE＝EG，AE＝EF，
∴△BEF≌△GEA（SAS），
∴BF＝AG，
∴，
将BC绕点C旋转90°，得到CH，连接BH、GH，
则BC＝CH，，∠CBH＝45°＝∠EBG，
∴∠EAC＝∠GBH＝45°﹣∠CBG，
∵，，
∴，
∴△BHG∽△BCE，
∴∠BHG＝∠BCE＝90°，
∴点G在直线HG上运动，
作点B关于HG的对称点M，连接AM、GM，则，，
过点M作MN⊥AB，交AB的延长线于点N，则∠ANM＝90°，∠CBN＝90°，
∵∠CBH＝45°，
∴∠MBN＝45°，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴，
∴AN＝AB+BN＝6+3＝9，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24．（8分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：m（1600﹣×40）＝240000，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y＝（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m，
∴m＝6；
∴直线y＝﹣x+m为y＝﹣x+6，
把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6，
∴b＝6，
∴a的值为4，m的值为6，b的值为6；
（2）设C（t，），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（4，﹣4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（﹣4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴，
解得，
∵k＝32＞0，
∴这种情况不符合题意；
综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16；
（3）如图：
设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q，
∴q＝4﹣2p，
∴直线AC解析式为y＝px+4﹣2p，
在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x＝，
∴D（，0），
∵E与点D关于y轴对称，
∴E（，0），
∵B（6，0），
∴BE＝6﹣＝，BD＝6﹣＝，
∵△ABD与△ABE相似，
∴E只能在B左侧，
∴∠ABE＝∠DBA，
故△ABD与△ABE相似，只需＝即可，即BE BD＝AB2，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2＝32，
∴×＝32，
解得p＝1，
经检验，p＝1满足题意，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数y＝（k＜0）图象只有一个交点，
∴x+2＝只有一个解，
即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即22+4k＝0，
解得k＝﹣1，
∴k的值为﹣1．
26．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；
（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG GE；
（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，
①求证：；
②求y与x之间的函数关系式．
【解答】（1）解：根据题意可得∠AEB＝90°，∠BAE＝18°，
∴∠ABE＝90°﹣18°＝72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAG＝18°+36°＝54°．
（2）证明：∵AG＝BG，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠GBE＝∠ABG，
∴∠GBE＝∠BAG，
又∵∠AEB＝∠GEB，
∴△AEB∽△BEG，
∴，
∴BE2＝AE GE，
∴BE2＝（AG+GE）GE，
∴BE2﹣GE2＝AG GE．
（3）①证明：∵GM∥BC，BC∥AD，
∴MG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，
∴，，
两式相加得，
即，
∴．
②解：∵BC＝xBE，AD∥BC，
∴，△ADG∽△EBG，
∴，
∴S△AGD＝xS△ABG，
∴S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABD≌△BCD（SSS），
∴S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∵MG∥BE，∠MBG＝∠GBE，
∴△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，
∴MG＝MB，
∴，
∴，
∴，
∴S1＝，，
∵S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∴，
∴，
∴．