2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高一上学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高一上学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，且的图象关于点成中心对称当时，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若函数的定义域是，其中，，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：是奇函数；是偶函数；函数的值域为；函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
8.已知集合，若，是的两个非空子集，记满足“中元素的最小值大于中元素的最大值”为集合对，则所有集合对的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式成立的有( )
A. B. C. D.
10.已知均为正实数，则下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则的最大值为 D. 若，则最大值为
11.若函数在定义域内内的某区间是增函数，且在上是减函数，则称在上是“弱增函数”，则下列说法正确的是( )
A. 若则不存在区间使为“弱增函数”
B. 若则存在区间使为“弱增函数”
C. 若则为上的“弱增函数”
D. 若在区间上是“弱增函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数且，则实数 ．
13.若，，则与的大小关系为 ．
14.若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
解关于的不等式或求值．
；
已知，解不等式；
，求．
17.本小题分
已知定义域为，对任意都有当时，，且．
求的值；
判断函数的单调性，并证明；
若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
关于的方程
若方程无实根，求的取值范围；
若方程有个不等实根，求的取值范围；
若，且满足，试判断方程根的个数．
19.本小题分
已知函数的定义域为，值域为，其中．
若关于原点对称，求实数的取值范围；
试判断是否在集合内，并说明理由；
是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：记命题：，命题：，
当时，，，
与均为真命题，，的取值范围是．
，，
是的必要不充分条件，，
或
解得， 故的取值范围是．
16.
原不等式化为，即，可得，
解得或，
所以原不等式解集为或．
原不等式化为，
当时，原不等式为，解得；
当时，原不等式化为，即，
当时，原不等式等价于，显然，解得；
当时，原不等式等价于，而，解得或．
所以当时原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
由，解得，所以．

17.
取，
则，于是，
令，
则，
又，则；
是上的单调递减函数．
证明：
任取，
则，
由于当时，，易知，则，
故，
可得是上的单调递减函数．
不等式可化为，
也即，
令
于是，都有恒成立，
由于为上的单减函数，则，
都有恒成立，
即成立，即恒成立；
令，它是关于的一次函数，
故只需，解得．
即，
解得

18.
令，则，原方程转化为，
原方程无实根，则需式无实根或实根均小于零，
令，
若式无实根，则，解得，
两根均为负，则，解得，
综合，可知的取值范围是．
作函数的图象，
可知或时，每一个值对应个值，时一个值对应个不同的值，
要使原方程有个不等实根，
式一根为零，另一根在之间，所以，则式为，解得或，不合题意；
有两不等根且一根大于，另一根在之间，则，解得；
式有一根在之间，另一根为，则，则式为；
解得或，不合题意．
综上所述，取值范围为．
因为，
所以
因为为正实数，所以，所以，即，
当且仅当，即时等号成立，故，
由知时，，，
故式有两不等实根，且一根在之间，另一根大于，
故原方程有个实根．

19.由题意函数的定义域满足，
，即时，，符合，
，设方程的两实根为，要满足题意，必有，
综上，；
若，则，从而，解得或，
当时，要满足，还需注意此时分式的分母，，
当时，要满足，还需注意此时分式的分母，，
综上，当时，，当，由分式分母不为零，得且；
先考虑对任意的恒成立．
记，对应的判别式分别为，则，
且恒成立，则，即，得，
，必须有，且方程与方程两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即，解得，满足判别式的条件．
，即，解得或
当时，，，
值域为，不符；
当时，，，当时，，不满足条件．
要满足对任意的恒成立，必有或；
再在或的情况下，考虑对任意的恒成立．
时，，由，可得，
要满足题意，，得，；
时，，符合；
综上，或．

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