2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与直线互相垂直，那么的值等于
A. B. C. D.
2.如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
3.已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
4.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
5.已知椭圆方程为，为椭圆上一点，若，为的内切圆，则( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在正四面体中，为棱的中点，则与平面的夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知圆与圆，过动点分别作圆圆的切线分别为切点，若，则到圆距离的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是( )
A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或
C. 若为椭圆，则焦距为定值 D. 若为双曲线，则焦距为定值
10.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
11.在棱长为的正方体中，点满足，，，则( )
A. 当时，的最小值为
B. 当时，有且仅有一点满足
C. 当时，有且仅有一点满足到直线的距离与到平面的距离相等
D. 当时，直线与所成角的大小为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线上一点到左焦点的距离为，那么点到右焦点的距离为 ．
13.点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是 ．
14.已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的方程为：．
求证：不论为何值，直线必过定点；
过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长．
16.本小题分
在四棱锥中，，，平面平面，，且．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知圆经过椭圆：两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若直线与圆相切，与椭圆交于、两点，且，求直线的倾斜角．
18.本小题分
在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点如图将沿折起到位置，使得平面平面如图．
求二面角的余弦值
线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在空间解析几何中，可以定义曲面含平面的方程，若曲面和三元方程之间满足：曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过上一点，且以为方向向量．
指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
证明：直线在曲面上；
若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
证明：由可得：，
令
所以直线过定点．
由知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为，
令，得；令，得，
所以面积 ，
当且仅当，即时，面积最小，
此时，，，
的周长为．
所以当面积最小时，的周长为．

16.
过作于，
因为，所以与相交，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
，
，与相交，，平面，
平面；
取的中点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，，，
，
，
，
平面，平面，
，
即，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．

17.由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，
又点在椭圆上，所以，解得，
即椭圆的方程为．
圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；
当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即．
将直线与椭圆的方程联立，得：
，
判别式，即，
设，则，
所以，
解得，
所以直线的倾斜角为或．

18.解：因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，，所以是正三角形，四边形为菱形，
可得，，而平面平面，平面平面，
平面，，
平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，
，
又二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为；
线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为．
设，因为，，
所以，
设与平面所成角为，
则，
即，，解得，
所以线段 上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为．

19.解：根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为．
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
从而平面截曲面所得交线是：平面上，以原点为圆心，为半径的圆；
证明：直线过曲面上一点，以为方向量，
设是直线上任意一点，
从而存在实数，使得，即，
则，，，所以点的坐标为，
于是，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上；
直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
从而存在实数，使得，即，
则，，，
所以点的坐标为，
在曲面上，
，
整理得，
，且，
，，或，，
不妨取，则，，或，，
，或，
又直线的方向向量为，
则异面直线与所成角的余弦值均为．
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