2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

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名称 2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)
格式 docx
文件大小 198.8KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-11-26 17:51:31

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文档简介

2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与直线互相垂直,那么的值等于
A. B. C. D.
2.如图,平行六面体的底面是矩形,其中,,且,则线段的长为( )
A. B. C. D.
3.已知圆:截直线所得线段的长度是,则圆与圆:的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
4.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为,平面的法向量为,则
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线与平面所成的角为
D. 已知为空间任意一点,,,,四点共面,且任意三点不共线,若,则
5.已知椭圆方程为,为椭圆上一点,若,为的内切圆,则( )
A. B. C. D.
6.如图所示,在正四面体中,为棱的中点,则与平面的夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点,,为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点,设椭圆与双曲线的离心率分别为,,且,若,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知圆与圆,过动点分别作圆圆的切线分别为切点,若,则到圆距离的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若方程所表示的曲线为,则下列说法错误的是( )
A. 若为椭圆,则 B. 若为双曲线,则或
C. 若为椭圆,则焦距为定值 D. 若为双曲线,则焦距为定值
10.已知直线,圆为圆上任意一点,则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时, D. 圆心到直线的距离最大为
11.在棱长为的正方体中,点满足,,,则( )
A. 当时,的最小值为
B. 当时,有且仅有一点满足
C. 当时,有且仅有一点满足到直线的距离与到平面的距离相等
D. 当时,直线与所成角的大小为定值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知双曲线上一点到左焦点的距离为,那么点到右焦点的距离为 .
13.点在正方形所在的平面外,平面,,则异面直线与所成的角是 .
14.已知,是椭圆的左右顶点,是双曲线在第一象限上的一点,直线,分别交椭圆于另外的点,若直线过椭圆的右焦点,且,则椭圆的离心率为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的方程为:.
求证:不论为何值,直线必过定点;
过点引直线交坐标轴正半轴于两点,当面积最小时,求的周长.
16.本小题分
在四棱锥中,,,平面平面,,且.
求证:平面;
求二面角的余弦值.
17.本小题分
已知圆经过椭圆:两个焦点以及两个顶点,且点在椭圆上.
求椭圆的方程;
若直线与圆相切,与椭圆交于、两点,且,求直线的倾斜角.
18.本小题分
在梯形中,,,,为的中点,线段与交于点如图将沿折起到位置,使得平面平面如图.
求二面角的余弦值
线段上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为若存在,求出的值若不存在,请说明理由.
19.本小题分
在空间解析几何中,可以定义曲面含平面的方程,若曲面和三元方程之间满足:曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解;以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上,则称曲面的方程为,方程的曲面为已知空间中某单叶双曲面的方程为,双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面,已知直线过上一点,且以为方向向量.
指出平面截曲面所得交线是什么曲线,并说明理由;
证明:直线在曲面上;
若过曲面上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面上.设直线在曲面上,且过点,求异面直线与所成角的余弦值.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
证明:由可得:,

所以直线过定点.
由知,直线恒过定点,
由题意可设直线的方程为,设直线与轴,轴正半轴交点分别为,
令,得;令,得,
所以面积 ,
当且仅当,即时,面积最小,
此时,,,
的周长为.
所以当面积最小时,的周长为.

16.
过作于,
因为,所以与相交,
因为平面平面,平面平面,平面,
平面,
平面,

,与相交,,平面,
平面;
取的中点,连接,,
,,


为等边三角形,,,



平面,平面,

即,,两两垂直,
所以以为原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,
因为,
则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,令,则,
设平面的法向量为,
则,令,则,
所以,
因为二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.

17.由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得,
又点在椭圆上,所以,解得,
即椭圆的方程为.
圆的方程为,当直线不存在斜率时,解得,不符合题意;
当直线存在斜率时,设其方程为,因为直线与圆相切,所以,即.
将直线与椭圆的方程联立,得:

判别式,即,
设,则,
所以,
解得,
所以直线的倾斜角为或.

18.解:因为在梯形中,,,,为的中点,所以,,,所以是正三角形,四边形为菱形,
可得,,而平面平面,平面平面,
平面,,
平面,所以,,两两互相垂直,
如图,以点为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,,
设平面的一个法向量为,则
,即,令,则,

设平面的一个法向量为,则
,即,令,则,,


又二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为;
线段上存在点,使得与平面所成角的正弦值为.
设,因为,,
所以,
设与平面所成角为,
则,
即,,解得,
所以线段 上存在点,且,使得与平面所成角的正弦值为.

19.解:根据坐标平面内点的坐标的特征可知,坐标平面的方程为.
已知曲面的方程为,
当时,平面截曲面所得交线上的点满足,
从而平面截曲面所得交线是:平面上,以原点为圆心,为半径的圆;
证明:直线过曲面上一点,以为方向量,
设是直线上任意一点,
从而存在实数,使得,即,
则,,,所以点的坐标为,
于是,
因此点的坐标总是满足曲面的方程,从而直线在曲面上;
直线在曲面上,且过点,
设是直线上任意一点,直线的方向向量为,
从而存在实数,使得,即,
则,,,
所以点的坐标为,
在曲面上,

整理得,
,且,
,,或,,
不妨取,则,,或,,
,或,
又直线的方向向量为,
则异面直线与所成角的余弦值均为.
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