2024-2025学年福建省泉州市四校联盟高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市四校联盟高二上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D. 不存在
2.如图．空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
3.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.若点在圆的外部，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 若，则是钝角
B. 直线方向向量，平面的法向量，则
C. 直线经过点，，则到的距离为
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
7.已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
8.已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是( )
A. 上的点到直线的最小距离为
B. 若点在上，则的最小值是
C. 若点在上，则的最小值是
D. 圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是
10.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是( )
A. 的周长为
B. 的最大值为
C. 满足的点有两个
D. 直线与圆相交
11.如图，正方体棱长为，分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点含边界，下列结论正确的是( )
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 当时，点的轨迹长度为
D. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点且，则的大小为 ．
13.函数的最小值为 ．
14.画法几何的创始人法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 用含的式子表示，若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，多面体中，四边形是菱形，平面．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，已知圆，点．

求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程；
若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程．
17.本小题分
已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点
求点的轨迹方程；
设直线与点的轨迹交于，两点，求面积的最大值．
18.本小题分
如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，已知，．
当时，求三棱柱的体积；
设点为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
用测量距离的方式有种．设，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中为坐标原点．
求满足的点的轨迹所围成的图形面积；
若，求的取值范围；
动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.
取的中点，连接，
因为，且，则且，
可知四边形是平行四边形，则，且，
又因为是菱形，则，且，
可得且，可知四边形是平行四边形，
则，
且平面平面，所以平面
连接交于，取中点，
因为平面，则平面，且，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的一个法向量为，则
令，则，可得，
设平面的一个法向量为，则
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角余弦值为．

16.
由，
化为标准方程：．
所以圆的圆心坐标为，

又圆的圆心在直线上，设圆的圆心坐标为，
又经过点，且与圆相外切，所以切点为，
则有，
即，
解得，
所以圆的圆心坐标为，半径，
故圆的方程为．

因为圆弧恰为圆周长的，所以．
所以点到直线的距离为．
当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，
直线即为轴，所以此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．

所以，解得，
所以此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．

17.
由题意，圆的圆心为，点，
线段的垂直平分线交于点，所以，
又由，所以点满足，
由椭圆的定义知，点轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
可得，所以，
所以点的轨迹方程为．
设，
则由，可得，
此时
而
，
到的距离为，
故的面积，
令，设，
则由对勾函数性质知在上为增函数，
故，当时取等号，
即的最大值为．

18.
如图，取的中点为，
因为为菱形，且，所以为正三角形，
又为正三角形且边长为，则，，
且，，所以，
所以，
因为又，
由平面，平面，
所以平面，
所以三棱柱的体积．
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，
由，，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
所以在平面内作，则平面，
以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示
则，，，，
，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，即
取得，
设，
则
，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，
则在单调递增，所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．

19.
设，则，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则．
如图，点的轨迹是一个边长为的正方形，
点的轨迹所围成的图形面积为．
因，
令，则，
即与有交点，
也即半圆与直线有交点，
下面，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况．
由圆心到直线的距离，解得，
由题知此时，即；
又由，代入点，解得，
由题知，要使两者有交点，需使，此时，
因，则有；
设动点，
则，
因，所以，
当时，，
此时，当且仅当时取得；
当时，，
此时；
当时，，
此时，
又，
所以，
综合得，
当时取等号．
即的最小值为．

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