2024-2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，为线段的中点，若到坐标原点的距离为，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
3.设方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若圆与圆交于，两点，则弦长为( )
A. B. C. D.
6.如图，空间四边形中，，，，点在上，且为上靠近点的三等分点，点为中点，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知动点满足，则动点轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
8.已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.设为实数，直线，，则( )
A. 恒过点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，不经过第二象限
11.过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为，若的最小值为，则( )
A. 的坐标为
B. 若，则
C. 若，则的最小值为
D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在上的投影向量为 ．
13.点，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 ．
14.已知圆，是圆上的任意一点，为直线上任意一点，点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，设，．
求和；
若与互相垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知圆经过点，，且与轴相切，直线恒过．
求圆的方程；
直线与圆相交于，两点，且时，求的方程．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
直线与双曲线的左支交于不同两点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
求抛物线的方程；
过点的直线与抛物线交于，两点均与点不重合，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，
求动点的轨迹的方程；
若直线过点，且与交于，两点，当最大时，求直线的方程．
参考答案
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15.
，，，，，
，，
于是，，
，
．
，
，
且与互相垂直，
，
即，
，解得：．

16.
设圆的方程为，
由题意知
解得，，，
故圆的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，则，
则，解得，
则直线的方程为；
综上：直线的方程为或．

17.
因为双曲线的离心率，可得，即．
又因为焦点到渐近线的距离为，
根据点到直线距离公式，而，所以，则．
由且，，可得，解得．
所以双曲线的标准方程为．
将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得．
因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以．
由，解得．
对于，即，解得．
由，结合，所以，解得．
由，解得，即或．
综合以上条件，取交集得．
则实数的取值范围为．

18.
由抛物线定义可知，
所以，则，
所以抛物线的方程为；
由在抛物线上，得，即，
显然，过点的直线斜率不为，
故设直线方程为，，，
由，得，
，解得或，
则，，
故，
，
又，，
所以
，
故为定值．


19.
设，得，
整理得的轨迹的方程为．
当直线的斜率不存在时，方程为，此时；
当直线的斜率存在时，设方程为，，，
联立方程，消得，
恒成立，故，
则，，
所以，
法一：令，，则，
可得，
当，即，时，取得最大值；
综上所述，当最大时，所求直线的方程为；
法二：
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当最大时，所求直线的方程为．

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