2024-2025学年广东省广州市增城区高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市增城区高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题，，则命题的否定形式是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是( )
A. B. 或
C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.下列命题是真命题的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
11.函数，若，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.已知条件，条件若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
14.若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求，
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
化简：．
已知，求．
17.本小题分
某种商品原来每件售价为元，年销售万件，
据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
18.本小题分
已知关于的不等式．
若该不等式的解集为，求的值；
当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
当时，求此不等式的解集．
19.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性；
判断函数的单调性，并用定义证明；
若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
或，
则，
所以，；
由得，，
当，即时，，满足，
当时，，由，得或，
解，无解，
解，得，所以，
综上，实数的取值范围是，即．
16.解：．
，，即，
，，故，
．

17.解：设每件商品的定价为元，
依题意，有，
整理得，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为元；
设明年的销售量为万件．
依题意，当时，不等式有解，
等价于当时，有解，
因为当且仅当时等号成立，
所以．
所以当该商品明年的销售量至少为万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为元．

18.解：依题的根为和，
由韦达定理得
解得．
当时，不等式可化为，
结合函数的图象，可知只要在和时，即可，
则有
解得．
当时，不等式可化为，
的根为，
当即时，不等式为，解集为；
当即时，结合函数的图象，
不等式的解集为；
当即时，结合函数的图象，
不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．

19.解：因为，定义域为，关于原点对称，
又，
因此函数为奇函数；
因为，
任取、且，
则
，
因为，
则，，，
故，即，
因此函数在上为减函数；
因为函数为上的奇函数，
由，
可得，
又由于函数为上的减函数，
所以，
则，
由题意知，存在，使得成立，则，
因为函数在上为减函数，
则，
所以，
因此实数的取值范围是．
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