2024-2025学年山东省济宁市邹城市高二上学期11月期中教学质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年山东省济宁市邹城市高二上学期11月期中教学质量检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 265.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 18:26:55 | ||
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文档简介
2024-2025学年山东省济宁市邹城市高二上学期11月期中教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间两点，则两点间的距离是( )
A. B. C. D.
2.若直线经过点，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率的是，则乙不输的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆相交于两点，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间三点，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人在一座层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为的概率是( )
A. B. C. D.
7.在正三棱柱中，为棱的中点，与交于点，若，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线的交点为，则( )
A. 恒过定点 B.
C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为
10.某学校数学、物理两兴趣小组各有名男生、名女生，假设物理兴趣小组的名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出名同学参加比赛设事件为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件为“从两兴趣小组中选出的是名男生和名女生”，则( )
A. B.
C. 与相互独立 D. 与互斥
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，则( )
A. 存在唯一点，使得平面
B. 存在唯一点，使得平面
C. 当时，点到平面的距离的最小值为
D. 当时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若实数满足方程，则的最小值为 ．
13.某商场调查名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：
不满意 一般 满意
女性
男性
若，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为 ．
14.已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，长方体中，，设．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
在某电视民间歌手挑战赛活动中，有位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选名歌手其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，另外在其他歌手中随机选名；观众乙、丙对位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在名歌手中随机选名歌手．
求观众甲选号歌手且观众乙未选号歌手的概率；
设号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为，求的概率．
17.本小题分
已知直线经过直线的交点，且两点到直线的距离相等．
求直线的一般式方程；
若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在矩形中，，沿将折起，点到达点的位置，使点在平面的射影落在边上
证明：；
求点到平面的距离；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上．
求圆的标准方程；
设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率．
若，求面积的最大值；
若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
连接，设，连接，如图：
则，且，所以四边形是平行四边形，
所以平面平面
故平面．
以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，
，
．
设平面的法向量，
则，即
令，解得
，
设平面的一个法向量，
则，即令，解得，
．
设平面与平面的夹角为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
16.
设事件表示“观众甲选号歌手且观众乙未选号歌手”，
观众甲选号歌手的概率为，观众乙未选号歌手的概率为，
从而，
故观众甲选号歌手且观众乙未选号歌手的概率为，
设事件，，分别表示“观众甲、乙、丙选号歌手”，
由题意得：，，
所以
故的概率为．
17.
由，解得，所以交点
当所求直线与直线平行时，直线的斜率为，
则所求直线的方程为，即；
当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为，
则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或．
因为点在直线的同侧，所以直线的方程为，
设点关于直线的对称点为，
则
解得，即点，
因为，
当三点共线时等号取到，
故的 最小值为．
18.
由点在平面的射影落在边上可得：平面，
又平面，所以，
又，且平面平面，
所以平面，又平面，故．
作，垂足为，
由已知得：且平面平面，
从而平面，且平面，所以平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，即即为点到平面的距离，
在直角三角形中，，所以，
故点到平面的距离为．
在直角三角形中可得，，以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以，从而，
易知，
设平面的一个法向量为，
所以，解得：，
又直线的方向向量为，
因此可得
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.
设圆的标准方程为，
由已知可得：
解得：，
所以圆的标准方程为
因为，所以，
从而直线经过圆心，是直角三角形，且，
设，则，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以．
由已知得：直线的斜率必存在，
设直线的 方程为，
由，消去得：，
，
又，
即，
代入得：，
即，
解得：，或，
当时，此时直线的方程为，过定点舍去，．
当时，此时直线的方程为，过定点，
故当，动弦过定点．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间两点，则两点间的距离是( )
A. B. C. D.
2.若直线经过点，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率的是，则乙不输的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆相交于两点，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间三点，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人在一座层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为的概率是( )
A. B. C. D.
7.在正三棱柱中，为棱的中点，与交于点，若，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线的交点为，则( )
A. 恒过定点 B.
C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为
10.某学校数学、物理两兴趣小组各有名男生、名女生，假设物理兴趣小组的名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出名同学参加比赛设事件为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件为“从两兴趣小组中选出的是名男生和名女生”，则( )
A. B.
C. 与相互独立 D. 与互斥
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，则( )
A. 存在唯一点，使得平面
B. 存在唯一点，使得平面
C. 当时，点到平面的距离的最小值为
D. 当时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若实数满足方程，则的最小值为 ．
13.某商场调查名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：
不满意 一般 满意
女性
男性
若，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为 ．
14.已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，长方体中，，设．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
在某电视民间歌手挑战赛活动中，有位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选名歌手其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，另外在其他歌手中随机选名；观众乙、丙对位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在名歌手中随机选名歌手．
求观众甲选号歌手且观众乙未选号歌手的概率；
设号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为，求的概率．
17.本小题分
已知直线经过直线的交点，且两点到直线的距离相等．
求直线的一般式方程；
若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在矩形中，，沿将折起，点到达点的位置，使点在平面的射影落在边上
证明：；
求点到平面的距离；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上．
求圆的标准方程；
设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率．
若，求面积的最大值；
若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
连接，设，连接，如图：
则，且，所以四边形是平行四边形，
所以平面平面
故平面．
以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，
，
．
设平面的法向量，
则，即
令，解得
，
设平面的一个法向量，
则，即令，解得，
．
设平面与平面的夹角为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
16.
设事件表示“观众甲选号歌手且观众乙未选号歌手”，
观众甲选号歌手的概率为，观众乙未选号歌手的概率为，
从而，
故观众甲选号歌手且观众乙未选号歌手的概率为，
设事件，，分别表示“观众甲、乙、丙选号歌手”，
由题意得：，，
所以
故的概率为．
17.
由，解得，所以交点
当所求直线与直线平行时，直线的斜率为，
则所求直线的方程为，即；
当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为，
则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或．
因为点在直线的同侧，所以直线的方程为，
设点关于直线的对称点为，
则
解得，即点，
因为，
当三点共线时等号取到，
故的 最小值为．
18.
由点在平面的射影落在边上可得：平面，
又平面，所以，
又，且平面平面，
所以平面，又平面，故．
作，垂足为，
由已知得：且平面平面，
从而平面，且平面，所以平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，即即为点到平面的距离，
在直角三角形中，，所以，
故点到平面的距离为．
在直角三角形中可得，，以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以，从而，
易知，
设平面的一个法向量为，
所以，解得：，
又直线的方向向量为，
因此可得
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.
设圆的标准方程为，
由已知可得：
解得：，
所以圆的标准方程为
因为，所以，
从而直线经过圆心，是直角三角形，且，
设，则，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以．
由已知得：直线的斜率必存在，
设直线的 方程为，
由，消去得：，
，
又，
即，
代入得：，
即，
解得：，或，
当时，此时直线的方程为，过定点舍去，．
当时，此时直线的方程为，过定点，
故当，动弦过定点．
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