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6第22章《二次函数》阶段检测卷（二）
(测试范围:第22.2二次函数与一元二次方程～22.3实际问题与二次函数)
解答参考时间:90分钟 满分:120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
2．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
3．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．8 B．16 C．﹣8 D．﹣16
4．（3分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2（1+x）2 C．y＝2（1﹣x）2 D．y＝2+2x
5．（3分）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2＞y1时，x的取值范围（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1
6．（3分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球被踢出7s时，距离地面的高度是14m；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出9s时落地．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的与x轴交点的坐标是 ．
12．（3分）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解是x1＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+k与x轴的交点坐标是 ．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
x … 0 10 30 …
y … 2 ﹣3 2 …
则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是 ．
14．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第 秒时炮弹位置达到最高．
15．（3分）某飞机着陆后滑行的距离y（米）关于着陆后滑行的时间x（秒）的函数关系是y＝﹣2x2+bx（b为常数）．若该飞机着陆后滑行20秒才停下来，则该型飞机着陆后的滑行距离是 米．
16．（3分）平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于A、B，若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．
18．（8分）已知二次函数yx2+kx+k．
（1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（3，0），求B点坐标．
19．（8分）图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．
方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；
方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
20．（8分）如图用长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长14m，设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出函数y的最大值．
（2）当y＝108时，求x的值．
21．（8分）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 ﹣5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．
22．（10分）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1的一部分，当沙包运动到距离嘉嘉水平距离3米，距离地面垂直距离2米时，达到最大高度．淇淇恰在点B（0，c）处接住沙包，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：yx+c+1的一部分．
（1）求C1解析式，并求c的值；
（2）当沙包沿抛物线C1运动时，若身高1.6米的小新正好站在抛物线C1的正下方，到淇淇水平距离1米处，沙包会砸到小新吗？为什么？
（3）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到回传回来的沙包，请直接写出n范围．
23．（10分）今年疫情防控期间，我市一家服装有限公司生产了一款服装，为对比分析以前实体商店和现在网上商店两种途径的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查．其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
时间t（天） 0 6 10 12 18 20 24 30
日销售量y1（百件） 0 72 100 108 108 100 72 0
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售量y达到最大，并求出此时的最大值．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，点D与C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8时，求出点P的坐标；
（3）点M为直线AD下方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，当m为何值时，△ADM的面积最大？并求出这个最大值．中小学教育资源及组卷应用平台
6第22章《二次函数》阶段检测卷（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【思路点拨】方程ax2+bx+c＝0的解是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝2．
故选：A．
2．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
【思路点拨】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），从而可确定方程ax2+bx+c＝0的另一个根．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝5，
即方程的另一个根为﹣1．
故选：A．
3．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．8 B．16 C．﹣8 D．﹣16
【思路点拨】对于二次函数解析式，令y＝0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值．
【解答】解：对于二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m，
令y＝0，得到﹣2x2﹣8x+m＝0，
∵二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点
∴Δ＝64+8m＝0，
解得：m＝﹣8．
故选：C．
4．（3分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2（1+x）2 C．y＝2（1﹣x）2 D．y＝2+2x
【思路点拨】根据每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y，列出函数关系式即可求解．
【解答】解：每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y，则y＝2（1﹣x）2，
故选：C．
5．（3分）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2＞y1时，x的取值范围（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1
【思路点拨】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），
∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1．
故选：C．
6．（3分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【思路点拨】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【思路点拨】求出抛物线y＝x2﹣x﹣n的对称轴x，可知顶点在y轴的右侧，根据x2﹣x﹣n＝0在实数范围内没有实数根，可知开口向上的y＝x2﹣x﹣n与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣n的对称轴x，
∴可知抛物线的顶点在y轴的右侧，
又∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，
∴开口向上的y＝x2﹣x﹣n与x轴没有交点，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点在第一象限．
故选：A．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确意；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
9．（3分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球被踢出7s时，距离地面的高度是14m；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出9s时落地．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∵t＝7时，h＝14，故②正确．
∴抛物线的对称轴为直线t＝4.5，故③正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴足球被踢出9s时落地，故④正确，
∴正确的有②③④，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【思路点拨】先根据题意列出函数关系式，再求其最值．
【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y，
则AP＝x，CQ＝2x，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴CA6cm，
∴CP＝6﹣x，
∴y6×82t（6﹣t）＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，y有最小值15，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的与x轴交点的坐标是 （﹣1，0），（3，0） ．
【思路点拨】通过解方程（x+1）（x﹣3）＝0即可得到抛物线 y＝（x+1）（x﹣3）的与x轴交点的坐标．
【解答】解：当y＝0时，（x+1）（x﹣3）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以抛物线 y＝（x+1）（x﹣3）的与x轴交点的坐标是（﹣1，0），（3，0）．
故答案为（﹣1，0），（3，0）．
12．（3分）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解是x1＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+k与x轴的交点坐标是 （3，0），（﹣1，0） ．
【思路点拨】先由根与系数的关系可得另一个根为﹣1，从而得结论．
【解答】解：设关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的另一个解是x2，
∴x2+3＝2，
∴x2＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+k与x轴的交点坐标是：（3，0），（﹣1，0）．
故答案为：（3，0），（﹣1，0）
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
x … 0 10 30 …
y … 2 ﹣3 2 …
则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是 x1＝10，x2＝20 ．
【思路点拨】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝10和x＝20时对应的函数值都是﹣3，再将x＝10，y＝﹣13代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+5＝0，从而可以得到该方程的解．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x15，
则x＝10和x＝20对应的函数值都是﹣3，
当x＝0时，y＝2，即c＝2，
当x＝10时，y＝﹣3，即﹣3＝ax2+bx+2，
整理，得ax2+bx+5＝0，
则方程ax2+bx+5＝0的解是x1＝10，x2＝20，
故答案为：x1＝10，x2＝20．
14．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第 9 秒时炮弹位置达到最高．
【思路点拨】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值．
【解答】解：∵此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x9，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第9秒．
故答案为：9．
15．（3分）某飞机着陆后滑行的距离y（米）关于着陆后滑行的时间x（秒）的函数关系是y＝﹣2x2+bx（b为常数）．若该飞机着陆后滑行20秒才停下来，则该型飞机着陆后的滑行距离是 800 米．
【思路点拨】根据对称轴求出b，即可得二次函数解析式，将其配方成顶点式，根据函数取得最大值时即飞机滑行停止滑行，据此解答即可．
【解答】解：∵某飞机着陆后滑行的距离y（米）关于着陆后滑行的时间x（秒）的函数关系是y＝﹣2x2+bx（b为常数），
该飞机着陆后滑行20秒才停下来，
∴x20，
解得：b＝80，
故函数解析式为：y＝﹣2x2+80x，
则该型飞机着陆后的滑行距离是：800m．
故答案为：800．
16．（3分）平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于A、B，若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是 ．
【思路点拨】先求出抛物线的顶点坐标，从而得m＞0，再根据线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，可得当x＝3时，y＝4m﹣3≤0，当x＝4时，y＝9m﹣3＞0，进而即可求解．
【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3），
∴m＞0．
∵线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣1，0，1，2，3．
∵m＞0，
∴当x＝3时，y＝4m﹣3≤0，当x＝4时，y＝9m﹣3＞0，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．
【思路点拨】（1）先求出点A，B 的坐标，再将A，B的坐标代入y＝x2+bx+c即可求解；
（2）先求出点C的坐标，再根据抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点分情况即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B．
∴当x＝0时，y＝﹣3，即B（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3，即A（3，0），
又∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，
∴将点A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵B（0，﹣3）向右平移4个单位长度得到C（4，﹣3），
由（1）知抛物线y＝x2+bx+c+m的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3+m＝（x﹣1）2+m﹣4．
∵抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，
∴①当抛物线顶点在线段BC上时，即顶点为（1，﹣3），
∴m﹣4＝﹣3，
解得m＝1，
②当抛物线y＝x2+bx+c+m与y轴的交点在点B的下方时，即﹣3+m＜﹣3时，
∴m＜0，
③当抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC的交点是点C时，
∴将C（4，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+m﹣4得，
﹣3＝（4﹣1）2+m﹣4，
解得：m＝﹣8，
则抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时m≥﹣8，
∴抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点时，m的取值范围为：﹣8≤m＜0或m＝1．
18．（8分）已知二次函数yx2+kx+k．
（1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（3，0），求B点坐标．
【思路点拨】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程，再用k表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；
（2）把A点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令y＝0，可求得方程的解，可得出B点坐标．
【解答】（1）证明：令y＝0可得x2+kx+k0，
∵△＝k2﹣4（k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴不论k为任何实数，方程x2+kx+k0总有实数根，
∴二次函数yx2+kx+k的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵A（3，0）在抛物线yx2+kx+k上，
∴32+3k+k0，解得k＝﹣1，
∴二次函数的解析式为yx2﹣x，
令y＝0，即x2﹣x0，解得x＝3或x＝﹣1，
∴B点坐标为（﹣1，0）．
19．（8分）图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．
方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；
方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
【思路点拨】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【解答】解：方法一、根据题意知，抛物线与x轴的交点为（0，0）、（8，0），其顶点坐标为（4，4），
设解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，0）代入，得：16a+4＝0，
解得：a，
则抛物线解析式为y（x﹣4）2+4x2+2x，
当y＝3时，x2+2x＝3，
解得：x＝2或x＝6，
则水面的宽减少了8﹣（6﹣2）＝4（m）．
方法二：由题意知，抛物线过点（4，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将点（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，
解得：a，
所以抛物线解析式为yx2，
当y＝﹣1时，x2＝﹣1，
解得：x＝2或x＝﹣2，
则水面的宽减少了8﹣4＝4（m）．
20．（8分）如图用长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长14m，设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出函数y的最大值．
（2）当y＝108时，求x的值．
【思路点拨】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y与x的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；
（2）利用y＝108，解方程得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：AD（30﹣x）m，
yx（30﹣x）
x2+15x
（x﹣15）2+112.5，
∵墙长为14m，
∴0＜x≤14，
则x≤15时，y随 x 的增大而增大，
∴当x＝14m，即AB＝14m，BC＝8m时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m2）；
∴y的最大值为112m2；
（2）当y＝108时，108x（30﹣x），
整理得：x2﹣30x+216＝0，
解得：x1＝12，x2＝18（不合题意舍去），
答：x的值为12．
21．（8分）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 ﹣5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．
【思路点拨】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于n的不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（﹣1，4），
设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），
将（1，0）代入得4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令﹣x2﹣2x+3＝n，
整理得x2+2x﹣3+n＝0，
设点A、B的横坐标为x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+2x﹣3+n＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝n﹣3，
∵AB＞6，
∴|x1﹣x2|＞6，
∴（x1﹣x2）2＞36，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＞36，即4﹣4（n﹣3）＞36，
∴n＜﹣5，
∴n的取值范围是n＜﹣5．
22．（10分）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1的一部分，当沙包运动到距离嘉嘉水平距离3米，距离地面垂直距离2米时，达到最大高度．淇淇恰在点B（0，c）处接住沙包，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：yx+c+1的一部分．
（1）求C1解析式，并求c的值；
（2）当沙包沿抛物线C1运动时，若身高1.6米的小新正好站在抛物线C1的正下方，到淇淇水平距离1米处，沙包会砸到小新吗？为什么？
（3）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到回传回来的沙包，请直接写出n范围．
【思路点拨】（1）抛物线C1的顶点为（3，2），用顶点式表示出二次函数解析式，把A（6，1）代入即可求得二次函数中二次项的系数，也就求得了二次函数解析式；当x＝0时，y的值即为c的值；
（2）小新到淇淇水平距离1米处，那么求得x＝1时，y的值，也就求得了沙包在小新处的高度，与1.6比较．若小于或等于1.6m，则会砸到小新；
（3）嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到回传回来的沙包，那么抛物线C2需要经过连接点（5，1）和（7，1）的线段，把（5，1）和（7，1）代入C2，可得n的值，进而可得n的取值范围．
【解答】解：（1）∵沙包运动到距离嘉嘉水平距离3米，距离地面垂直距离2米时，达到最大高度，
∴抛物线C1的顶点为（3，2）．
设C1解析式为y＝a（x﹣3）2+2．
∵过点A（6，1），
∴1＝a（6﹣3）2+2．
解得：a．
∴C1解析式为y（x﹣3）2+2．
当x＝0时，y＝1．
∴c＝1；
（2）当x＝1时，y4+21.6，
∴沙包会砸到小新；
（3）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到回传回来的沙包，
∴抛物线C2需要经过连接点（5，1）和（7，1）的线段．
①抛物线C2经过点（5，1）．
1525+1+1，
解得：n．
②抛物线C2经过点（7，1）．
1727+1+1，
解得：n．
∴n的取值范围是n．
23．（10分）今年疫情防控期间，我市一家服装有限公司生产了一款服装，为对比分析以前实体商店和现在网上商店两种途径的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查．其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
时间t（天） 0 6 10 12 18 20 24 30
日销售量y1（百件） 0 72 100 108 108 100 72 0
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售量y达到最大，并求出此时的最大值．
【思路点拨】（1）根据观察可设y1＝at2+bt+c，将（0，0），（6，72），（10，100）代入即可得到结论；
（2）当0≤t≤10时，设y2＝kt，求得y2与t的函数关系式为：y2＝4t，当10≤t≤30时，设y2＝mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式；
（3）依题意得y＝y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大＝140；当10＜t≤30时，得到y最大＝158，于是得到结论．
【解答】解（1）根据观察可设y1＝at2+bt+c，将（0，0），（6，72），（10，100）代入得：，
解得，
∴y1与t的函数关系式为：y1t2+15t（0≤t≤30，且t为整数）；
（2）当0≤t≤10时，设y2＝kt，
∵（10，40）在其图象上，
∴10k＝40，
∴k＝4，
∴y2与t的函数关系式为：y2＝4t，
当10≤t≤30时，设y2＝mt+n，
将（10，40），（30，60）代入得，
解得，
∴y2与t的函数关系式为：y2＝t+30，
综上所述，y2；
（3）依题意得y＝y1+y2，当0≤t≤10时，yt2+15t+4tt2+19t（t﹣19）2，
∴t＝10时，y最大＝150；
当10＜t≤30时，yt2+15t+t+30t2+16t+30（t﹣16）2+158，
∵t为整数，
∴t＝16时，y最大＝158，
∵158＞150，
∴当t＝16时，y最大＝158（百件）．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，点D与C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8时，求出点P的坐标；
（3）点M为直线AD下方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，当m为何值时，△ADM的面积最大？并求出这个最大值．
【思路点拨】（1）由抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，求出b的值，再由点C的坐标求出c的值即可；
（2）先求出点A，点B的坐标，设点P的坐标为（s，t），因为△ABP的面积是S，根据三角形的面积公式可求出t的值，再将t的值代入抛物线解析式即可；
（3）求出直线AD的解析式，过点M作MN∥y轴，交AD于点N，所以点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的坐标为（m，﹣m﹣1），用含m的代数式表示出△AMN的面积，由二次函数的图象及性质可确定当m时，△AMD的最大值为．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b﹣＝2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为（2，﹣3）；
（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
设点P的坐标为（s，t），
∵△ABP的面积是8，
∴AB |yP|＝8，
即4|t|＝8，
∴t＝±4，
当t＝4时，s2﹣2s﹣3＝4，
解得，s1＝1﹣2，s2＝1+2，
∴点P的坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）；
当t＝﹣4时，s2﹣2s﹣3＝﹣4，
解得，s1＝s2＝1，
∴点P的坐标为（1，﹣4）；
∴当△ABP的面积是8时，点P的坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）或（1，﹣4）；
（3）设直线AD的解析式为y＝kx+b1，
将A（﹣1，0），D（2，﹣3）代入y＝kx+b1，
得，，
解得，，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
过点M作MN∥y轴，交AD于点N，
∵点M的横坐标是m，（﹣1＜m＜2），
∴点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的坐标为（m，﹣m﹣1），
∴MN＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
∴S△AMD＝S△AMN+S△DMN
MN （m+1）MN （2﹣m）
MN
（﹣m2+m+2）
（m）2，
∵0，﹣12，
∴当m时，S△AMD，
∴当m时，△AMD的最大值为．
