2024-2025学年四川省内江市高二上学期第一次联考数学试题（含答案）

2024-2025学年四川省内江市高二上学期第一次联考数学试题
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，圆心为，半径为的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
2.直线与的交点坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知圆：，则下列点在圆内的是( )
A. B. C. D.
4.已知空间中点和点，且，则实数的值是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.过点，且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为( )
A. B. C. D.
7.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知为直线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知直线：，当原点到的距离最大时，的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 直线的斜率越大，倾斜角越大
12.正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，下列结论正确的有( )
A. 面
B. 面
C. 过三点所得正方体的截面的面积为
D. 面与面所成角的正切值为
13.已知正方体的棱长为，则下列说法正确的是( )
A. 直线与所成的角为
B. 点与平面的距离为
C. 直线与平面所成的角为
D. 平面与平面所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.若与的夹角为，则的值为 ．
15.若直线始终平分圆的周长，则的值为 ．
16.如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则 ．
17.如图，在三棱柱中，，分别是线段，的中点，设，，，用，，表示 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知直线，直线．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
19.本小题分
在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为．
求点的坐标．
求直线的方程．
20.本小题分
已知两直线．
求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
已知两点，动点在直线运动，求的最小值．
21.本小题分
已知圆，圆心坐标为．
求圆的一般方程；
若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状．
22.本小题分
如图，平面，，点分别为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
参考答案
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13.
14.或
15.
16.
17.
18.解：因为，
所以，
整理得，
解得或，
当时，，
，重合，
当时，，
，符合题意，
故 ；
因为，
所以
解得或．

19.解：
由解得，则．
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为．

20.解：
联立，解得，
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为；
故所求直线方程为，即
设点关于直线对称的点为，
，解得
则，
故的最小值为．

21.解：
因为圆的圆心为，
所以，即，
则圆的一般方程为．
设的坐标为，，
易得．
由得，解得
因为点为圆上的动点，
所以满足，
所以，
化简得点的轨迹方程为．
因为，
所以点的轨迹为圆．

22.解：
连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形．
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系．
依题意可得，．
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
，于是．
所以，二面角的正弦值为．
设，即，则．
从而．
由知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以．
则到平面的距离为．


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