湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题05分式方程及分式方程的实际应用压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

专题05 分式方程及分式方程的实际应用压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 分式方程的定义】 1
【考点二 解分式方程】 2
【考点三 已知分式方程的增根求参数】 4
【考点四 已知分式方程的无解求参数】 6
【考点五 根据分式方程解的情况求值】 8
【考点六 列分式方程】 10
【考点七 分式方程的实际应用】 11
【过关检测】 13
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）下列是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点二 解分式方程】
例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程
(1)； (2)．
2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：
(1); (2)．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的分式方程有增根，则的值为___________．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程无解，则a的值为___．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于的方程有增根，则增根是______．
②若关于的方程无解，则的值为______．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为______．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是________．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值是 _____．
【考点六 列分式方程】
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________．
【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾 ，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共 款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）分式方程的解为（ ）
A．2 B． C．3或 D．无解
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·四川南充·统考二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．，且 D．，且
4．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
5．（2023·湖南郴州·统考中考真题）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
7．（2023春·上海徐汇·八年级上海市园南中学校考阶段练习）某校组织学生步行去相距5千米的科技馆春游，返回时由于步行速度比去时每小时少2千米，结果时间比去时多用了半小时，如果设学生去时的步行速度是千米/时，则可根据题目列出方程______．
8．（2023春·上海宝山·八年级校考期中）已知解关于的方程产生增根，那么的值是______．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的分式方程无解，则的值为 __．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______．
三、解答题
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）解分式方程：
(1)
(2)
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程
(1)；
(2)．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列分式方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3，4月份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润(销售收入减去进价总计)多少元？
15．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）据山西省住房和城乡建设厅消息，年，山西省将开工改造城镇老旧小区个，优先将养老托幼、日间照料、社区食堂等公共服务设施配套建设作为提升改造内容．某社区改造社区食堂需要租用垃圾专用车清理建筑垃圾，调研发现：若租用甲、乙两车运送，两车各运趟可完成，已知甲、乙两车单独运完这些垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，求甲、乙两车单独运完这些垃圾各需运多少趟？

16．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程
(1)已知，求方程的解；
(2)若该方程无解，试求m的值；
17．（2023·重庆·三模）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
18．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点：
若，则方程的解为2或；
若，则方程的解为3或；
若，则方程的解为4或；
请你用观察出的特点解决以下问题：
(1)若，则方程的解为______．
(2)苦，求此方程的解．
(3)若，求此方程的解（用含有的代数式表示）．
专题05 分式方程及分式方程的实际应用压轴题七种模型全攻略
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【典型例题】 1
【考点一 分式方程的定义】 1
【考点二 解分式方程】 2
【考点三 已知分式方程的增根求参数】 4
【考点四 已知分式方程的无解求参数】 6
【考点五 根据分式方程解的情况求值】 8
【考点六 列分式方程】 10
【考点七 分式方程的实际应用】 11
【过关检测】 13
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）下列是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数的方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数，所以D是分式方程；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义判断选择即可．
【详解】解：A. ，是一元一次方程，不符合题意；
B. ，是一元一次方程，不符合题意；
C. ，是分式方程，符合题意；
D. ，是一元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的定义．掌握分式方程是指分母里含有未知数的有理方程是解答本题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是整式方程；
③，是分式方程；
④，是整式方程，
则分式方程的个数是2．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
【考点二 解分式方程】
例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同乘以化为整式方程求解；
（2）方程两边同乘以化为整式方程求解．
【详解】（1）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，并且注意要检验方程的解．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程
(1)； (2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，是增根，
分式方程无解；
（2），
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：
(1); (2)．
【答案】(1)是原分式方程的解
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验；
（2）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验．
【详解】（1）解：方式方程两边同时乘以，
得，
解得，
当时，，
所以原分式方程的解是；
（2）解：原分式方程可化为，
，
两边同时乘以，
得，
解得 ，
当时，，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，
解得，
由分式方程有增根，得到，即，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的分式方程有增根，则的值为___________．
【答案】或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：
，
当，即或时，分式方程有增根，
当时，，解得；
当时，，解得；
故m的值是或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程无解，则a的值为___．
【答案】1或2
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：将方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵该分式方程无解，
∴或，
∴或，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于的方程有增根，则增根是______．
②若关于的方程无解，则的值为______．
【答案】 4 2或3
【分析】根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可．
【详解】解：①∵分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：4；
②
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
当，即时，无解，分式方程无解；
当时，系数化为1得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是的解，
∴，
综上可知，或，
故答案为：2或3；
【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为______．
【答案】或或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【详解】解：
去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时；
当，时，分式方程无解，
解得：或；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论不要漏解是解题关键．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是________．
【答案】且
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程解为正数，
∴，且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
【答案】且
【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值是 _____．
【答案】6或9
【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵，即，
∴，
∴，
∵分式方程有正整数解，
∴正数m的值是6或9．
故答案为：6或9．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为是解题的关键．
【考点六 列分式方程】
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________．
【答案】
【分析】设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同列出方程即可．
【详解】解：设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关系式．
【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，
根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
【答案】
【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾 ，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共 款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资
【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人，
由题意得
，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）解：设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得
，整理得．
又因为，且、为正整数，
所以，．
答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）分式方程的解为（ ）
A．2 B． C．3或 D．无解
【答案】A
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
3．（2023·四川南充·统考二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．，且 D．，且
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵方程的解是负数，
∴，且，
∴，且．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
4．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理得，
∵原方程无解，
∴当时，；
当时，此时，，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或2；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2023·湖南郴州·统考中考真题）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设原计划平均速度为km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．
【详解】解：设原计划平均速度为km/h，由题意，得：
，即：；
故选B
【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】①是整式方程，故①不符合题意；
②是整式方程，故②不符合题意；
③是整式方程，故③不符合题意；
④是分式方程，故④符合题意；
⑤是分式方程，故⑤符合题意；
⑥是分式方程，故⑥符合题意；
⑦是分式方程，故⑦符合题意；
⑧是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
7．（2023春·上海徐汇·八年级上海市园南中学校考阶段练习）某校组织学生步行去相距5千米的科技馆春游，返回时由于步行速度比去时每小时少2千米，结果时间比去时多用了半小时，如果设学生去时的步行速度是千米/时，则可根据题目列出方程______．
【答案】
【分析】设学生去时的步行速度是千米/时，则返回时步行的速度为千米小时，根据时间路程速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于的分式方程．
【详解】解：设学生去时的步行速度是千米/时，则返回时步行的速度为千米小时，
依题意，得：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（2023春·上海宝山·八年级校考期中）已知解关于的方程产生增根，那么的值是______．
【答案】
【分析】根据增根的概念，可知，由此即可求解．
【详解】解：
∴，
∵关于的方程产生增根，
∴，把代入得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的增根的概念，理解并掌握分式中增根的含义是解题的关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的分式方程无解，则的值为 __．
【答案】10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______．
【答案】
【分析】解出关于的分式方程的解为，解为正数解，进而确定的取值范围，注意增根时的值除外，再根据为负整数，确定的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
关于的分式方程有正数解，
，
，
又是增根，当时，，即，
，
∴且，
∴符合条件的负整数m有，，，其和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数的意义是正确解答的关键．
三、解答题
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)方程无解
【分析】（1）先变形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解；
（2）先变形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）原方程变形为，
方程两边同乘以，得，
解得，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解是；
（2）原方程变形为，
方程两边同乘以最简公分母，
得，
解得．
经检验：是原方程的增根，
∴不是原方程的解，应舍去，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，并注意要检验是解题的关键．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)方程无解
【分析】（1）方程两边同乘去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可；
（2）方程两边同乘，去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘，
得：，
解得．
检验：把代入，
故原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得：，
解得．
检验：把代入，所以是原方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列分式方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)无解
(2)
(3)
(4)
【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）
方程两边同乘，得，
解得，
经检验，是原方程的增根，原方程无解；
（2）
方程两边同乘，得，
解得，
经检验，当时，，
所以原方程的解为；
（3）
原方程可化为，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的解；
（4）
原方程可化为，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3，4月份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润(销售收入减去进价总计)多少元？
【答案】3，4月份一共购进2500件T恤衫，商店售完后可获利润138900元．
【分析】首先求得：商店3，4月份购进T恤衫的数量和3，4月份购进T恤衫的价格，然后利用毛利润=销售总收入-总进价计算利润．
【详解】解：设3月份购进T恤衫x件，
由题意得，，
解得；，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
即：3月份购进T恤衫1000件；4月份购进T恤衫1500件；
设3月份购进T恤衫的价格为y元/件，
由题意得，；
解得，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
即：3月份购进T恤衫的价格为120元/件，
所以4月份购进T恤衫的价格为125元，购买1500件，
由题意得，
(元)，
答：3，4月份一共购进2500件T恤衫，商店售完后可获利润138900元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
15．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）据山西省住房和城乡建设厅消息，年，山西省将开工改造城镇老旧小区个，优先将养老托幼、日间照料、社区食堂等公共服务设施配套建设作为提升改造内容．某社区改造社区食堂需要租用垃圾专用车清理建筑垃圾，调研发现：若租用甲、乙两车运送，两车各运趟可完成，已知甲、乙两车单独运完这些垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，求甲、乙两车单独运完这些垃圾各需运多少趟？

【答案】甲车单独运完这些垃圾需趟，乙车单独运完需趟
【分析】假设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据工作总量工作时间工作效率建立方程求出其解即可．
【详解】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，
根据题意得出：，
解得：，
经检验得出：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：，
答：甲车单独运完需趟，乙车单独运完需趟．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程
(1)已知，求方程的解；
(2)若该方程无解，试求m的值；
【答案】(1)
(2)1或或6
【分析】（1）把代入分式方程，再对其进行求解即可得到答案；
（2）化原方程为整式方程，然后据原方程无解，列出关于m的方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入原方程得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：
经检验，是原方程的解；
（2）解：
方程两边同时乘以，去分母并整理得，
原分式方程有无解，
或，
当时，解得；
当时，解得：或，
当时，得；当时，得，
的值可能为1或或6．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．（2023·重庆·三模）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
【答案】(1)甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
(2)完成该条河道清淤施工的总费用是万元．
【分析】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是米，利用工作时间=工作总量：工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；
（2）设乙队施工y天，则甲队施工天，利用工作总量=工作效率工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度分别是米，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
（2）解：设乙队施工y天，则甲队施工天，
根据题意得，
解得：，
∴，
答：完成该条河道清淤施工的总费用是万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
18．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点：
若，则方程的解为2或；
若，则方程的解为3或；
若，则方程的解为4或；
请你用观察出的特点解决以下问题：
(1)若，则方程的解为______．
(2)苦，求此方程的解．
(3)若，求此方程的解（用含有的代数式表示）．
【答案】(1)6或
(2)或
(3)或
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）方程两边同时加1，得到，再把当成一个整体仿照题意求解即可；
（3）先把原方程变形为，再把当成一个整体仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，则方程的解为
经检验，或是原方程的解，
故答案为：6或；
（2）解：∵，
∴，即，
令，则，
∴方程的解为10或，
∴或，
解得或，
经检验，或是原方程的解；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
令，
∴，
∴方程的解为或，
∴或，
解得或．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，正确理解题意是解题的关键．
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