湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题03整数指数幂压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

专题03 整数指数幂压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 同底数幂的除法】 1
【考点二 同底数幂除法的逆用】 2
【考点三 幂的混合运算】 3
【考点四 零指数幂有意义的条件】 5
【考点五 零指数幂、负整数指数幂】 6
【考点六 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 8
【考点七 整数指数幂的运算】 9
【过关检测】 12
【典型例题】
【考点一 同底数幂的除法】
例题：（2023·天津河东·统考二模）计算的结果是___.
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：___．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
（1）___；
（2）_____；
（3）______．
【考点二 同底数幂除法的逆用】
例题：（2023春·广东韶关·七年级校考期中）已知，，则____．
【变式训练】
1．（2023·江苏扬州·校考二模）若，，则 ＝______．
2．（2023春·全国·七年级阶段练习）已知，，则__．
【考点三 幂的混合运算】
例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）计算：
(1) (2)
2．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中
【考点四 零指数幂有意义的条件】
例题：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）若式子有意义，则实数x的取值范围是________．
【变式训练】
1．（2023春·安徽滁州·七年级统考期中）如果代数式的值等于1，那么的值为______．
【答案】1，和
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）若的值为1，则n的值为__．当x__时，
【考点五 零指数幂、负整数指数幂】
例题：（2023·广东梅州·统考一模）计算：___________．
【变式训练】
1．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算：____________．
2．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知，那么a，b，c之间的大小关系是__________（请用“<”表示）．
【考点六 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）2023年1月8日起，国家对新冠病毒感染实施“乙类乙管”，已经知新冠病毒的直径是，这个数据用科学记数法可表示为____________m．
【变式训练】
1．（2023·江苏泰州·统考三模）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是_________．
2．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）某颗粒物的直径是，把用科学记数法表示为______．
【考点七 整数指数幂的运算】
例题：（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
（1）；
（2）.
2．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）代数是数学发展史上的里程牌，计算（　　）
A． B． C． D．
2．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）若，，则（ ）
A．4 B．9 C．15 D．36
3．（2023·河南驻马店·统考三模）维生素A是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素A的摄入量约为．质量单位是微克的符号，单位转换，，数据“”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·宁夏银川·校考二模）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）化简的结果是___________ ．
7．（2023春·浙江杭州·七年级期中）计算：________，________．
8．（2023·上海·七年级假期作业）已知，则的值为________．
9．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）人体中红细胞的直径约为 米，将数 用科学记数法表示为___________．
10．（2023·陕西西安·校考二模）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示的是一位古人记录的当天捕鱼的条数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，这位古人当天捕鱼的条数是___________．
三、解答题
11．（2023·广东广州·校考一模）计算：
(1)；
(2)．
12．（2023·江苏扬州·校考二模）计算：
(1)；
(2)
13．（2023春·广东佛山·七年级佛山市荣山中学校考期中）（1）计算；
（2）计算
14．（2023春·广东深圳·七年级深圳市海湾中学校考期中）计算
(1)；
(2)
15．（2023春·山东济南·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
16．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
17．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求的值．
18．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，求的值．
专题03 整数指数幂压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
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【典型例题】 1
【考点一 同底数幂的除法】 1
【考点二 同底数幂除法的逆用】 2
【考点三 幂的混合运算】 3
【考点四 零指数幂有意义的条件】 5
【考点五 零指数幂、负整数指数幂】 6
【考点六 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 8
【考点七 整数指数幂的运算】 9
【过关检测】 12
【典型例题】
【考点一 同底数幂的除法】
例题：（2023·天津河东·统考二模）计算的结果是___.
【答案】
【分析】根据同底数幂除法运算后直接得出答案．同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握这一运算法则或公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：___．
【答案】
【分析】根据，，进行运算，即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的有关计算，解题的关键是掌握同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
（1）___；
（2）_____；
（3）______．
【答案】
【分析】（1）根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
（3）根据同底数幂的除法进行计算即可求解．
【详解】（1）
故答案为：．
（2），
故答案为：．
（3）
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
【考点二 同底数幂除法的逆用】
例题：（2023春·广东韶关·七年级校考期中）已知，，则____．
【答案】
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可．
【详解】当，时，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查同底数幂的除法的逆用，解题的关键是熟练掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2023·江苏扬州·校考二模）若，，则 ＝______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：∵， ，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的除法以及幂的乘方是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级阶段练习）已知，，则__．
【答案】
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【考点三 幂的混合运算】
例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法；
（2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法，，，
（，，都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数．
【变式训练】
1．（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行计算；
（2）根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了乘方混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
2．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解；
（2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解．
【详解】（1）解：
当时，原式；
（2）解：
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
【考点四 零指数幂有意义的条件】
例题：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）若式子有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据零指数幂有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，熟练掌握零指数幂的底数不等于0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·安徽滁州·七年级统考期中）如果代数式的值等于1，那么的值为______．
【答案】1，和
【分析】根据有理数的乘方的法则，分三种情况进行讨论，即可得到答案．
【详解】解：①当指数为0，即
，
原式，成立；
②当底数为1，即，
，
原式，成立；
③当底数为，即，
，
原式，成立，
综上所述，的值为1，和．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）若的值为1，则n的值为__．当x__时，
【答案】 0或2或4
【分析】直接利用零指数幂的性质结合有理数的乘方运算法则分析得出答案．
【详解】解：∵的值为1，
∴当时，
原式，
当时，
解得：，
原式，
当时，
解得：，
原式
综上所述：或2或4；
当时，
解得：，
故时，．
故答案为：0或2或4；．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．
【考点五 零指数幂、负整数指数幂】
例题：（2023·广东梅州·统考一模）计算：___________．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂的运算法则及零指数幂的运算法则分别计算后，根据有理数加法运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及负整数指数幂的运算及零指数幂，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算：____________．
【答案】
【分析】根据负整指数幂和零指数幂求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂，正确的计算是解决本题的关键．
2．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知，那么a，b，c之间的大小关系是__________（请用“<”表示）．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，零次幂分别计算求得的值，进而比较大小即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，正确的计算是解题的关键．
【考点六 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）2023年1月8日起，国家对新冠病毒感染实施“乙类乙管”，已经知新冠病毒的直径是，这个数据用科学记数法可表示为____________m．
【答案】
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【变式训练】
1．（2023·江苏泰州·统考三模）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是_________．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键．
2．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）某颗粒物的直径是，把用科学记数法表示为______．
【答案】
【分析】根据科学记数法的记数方法，写成其中，故得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法知识，其中注意整数位数不要数错是本题的解题关键．
【考点七 整数指数幂的运算】
例题：（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，整式混合运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）-1；（2）2x6
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：（1）原式=2+1-3-1=-1；
（2）原式=x6+4x6-3x6=2x6．
【点睛】此题考查了整式的除法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算，然后合并同类项即可求解；
（2）根据幂的乘方，积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘方，积的乘方进行计算即可求解；
（4）根据负整数指数幂，零次幂进行计算即可求解；
（5）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（6）根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法进行计算即可求解；
（7）根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方进行计算即可求解；
（8）根据零次幂，负整数指数幂，逆用积的乘方进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，负整数指数幂，零次幂，掌握幂的运算法则是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）代数是数学发展史上的里程牌，计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得．
【详解】解：原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）若，，则（ ）
A．4 B．9 C．15 D．36
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法运算的逆运算计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴；
故选A
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的除法运算的逆用．
3．（2023·河南驻马店·统考三模）维生素A是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素A的摄入量约为．质量单位是微克的符号，单位转换，，数据“”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，，可得，据此把数据“”化成以为单位的量，并用科学记数法表示即可．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式计算即可．
【详解】解：，故选项A计算错误，不符合题意；
，故选项B计算错误，不符合题意；
，故选项C计算正确，符合题意；
，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式，熟记运算性质是解题的关键．
5．（2023·宁夏银川·校考二模）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算a、b、c的值，再比较大小．
【详解】，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．
二、填空题
6．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）化简的结果是___________ ．
【答案】
【分析】根据单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式的计算，法则的准确掌握是解题关键．
7．（2023春·浙江杭州·七年级期中）计算：________，________．
【答案】
【分析】根据零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
8．（2023·上海·七年级假期作业）已知，则的值为________．
【答案】9
【分析】先变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后整体代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为9．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键．
9．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）人体中红细胞的直径约为 米，将数 用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2023·陕西西安·校考二模）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示的是一位古人记录的当天捕鱼的条数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，这位古人当天捕鱼的条数是___________．
【答案】
【分析】由题可知，捕鱼的条数的五进制数为，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：
捕鱼的条数的五进制数为，
化为十进制数为：（条），
∴捕鱼的条数是条．
故答案为：．
【点睛】本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力．解题的关键是会将五进制转化成十进制．
三、解答题
11．（2023·广东广州·校考一模）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂和零整数指数幂解答即可；
（2）根据整式的混合运算解答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】此题考查整式的除法，以及负整数指数幂和零指数幂，关键是根据相关运算法则解答．
12．（2023·江苏扬州·校考二模）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算加减法即可；
（2）先计算积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．（2023春·广东佛山·七年级佛山市荣山中学校考期中）（1）计算；
（2）计算
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂的运算法则计算即可求解；
（2）去小括号，合并同类项，再计算除法即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了乘方、负整数指数幂，整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（2023春·广东深圳·七年级深圳市海湾中学校考期中）计算
(1)；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算，含乘方的有理数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2023春·山东济南·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂的除法，合并同类项，整式的混合运算进行化简，再将代入求解即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂的除法，合并同类项，整式的混合运算等，解题的关键是根据以上运算法则对原式进行化简求值．
17．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)24
(2)
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则的逆运算和负整数指数幂可得，再将，代入即可求得结果；
（2）将变形为，再利用完全平方公式可得，根据非负数的性质可得，再将其代入中求得结果．
【详解】（1）解：，，
．
（2）解：变形为，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、负整数指数幂，非负数的性质，熟练应用所学知识解决问题是解题的关键．
18．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则将代数式转换为含的式子，再将代入计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，再将代入计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，根据等式的性质建立两个等式，将两个等式相加即可得到答案．
【详解】（1）解：
∵，
∴
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
将①+②得．
【点睛】本题考查的代数式求值，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算、同底数幂的乘法和除法运算，以及掌握等式的性质．
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