湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题04分式的加法和减法压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)

专题04 分式的加法和减法压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 同分母分式加减法】 1
【考点二 异分母分式加减法】 2
【考点三 整式与分式相加减】 4
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 5
【考点五 分式加减混合运算】 6
【考点六 分式加减的实际应用】 10
【考点七 分式加减乘除混合运算】 11
【考点八 分式化简求值】 13
【过关检测】 15
【典型例题】
【考点一 同分母分式加减法】
例题：（2023·贵州贵阳·统考三模）化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点二 异分母分式加减法】
例题：（2023·内蒙古包头·统考二模）计算：_______．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）计算的结果是______．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）_____________；
（2）___________．
【考点三 整式与分式相加减】
例题：（2023春·江苏·八年级期中）化简的结果为_________．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算的结果是_________．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是___________．
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若，则_________，_________．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则_________________．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若恒成立，则A-B=__________．
【考点五 分式加减混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算
(1)； (2)； (3)．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【考点六 分式加减的实际应用】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比原来少分摊车费______元．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需______小时.
2．（2023春·全国·八年级专题练习）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．
【考点七 分式加减乘除混合运算】
例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简：．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简：．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【考点八 分式化简求值】
例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值：其中满足方程．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值：，其中：
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·天津南开·统考三模）化简的结果为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）若，则代数式的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（2023春·全国·八年级专题练习）若的值为整数，则整数的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．（2023·河北衡水·统考二模）对于，，有以下两个结论：
①当时，；
②当时，．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
二、填空题
6．（2023·上海·统考中考真题）化简：的结果为________．
7．（2023·内蒙古包头·二模）化简：________．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）若恒成立，则______．
9．（2023·北京顺义·统考二模）如果，那么代数式的值为______．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）中国首例商用磁悬浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到地路程为，那么提速后从A地到地节约的时间为________________．
三、解答题
11．（2023·安徽合肥·统考三模）化简：．
12．（2023·湖北黄冈·统考二模）化简：
13．（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）化简：
(1)；
(2)．
14．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）先化简：，若，请选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
15．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
16．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
17．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）先化简，再求值：，其中a满足．
18．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）下面是小华同学学习了分式混合运算后解答的一道题目，请认真阅读并完成下面的问题．
化简：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
(1)以上解题过程中，第_______步是通分，其变形依据是_________；
(2)小明第一步用了乘法的分配律进行了解答，请你根据小明的思路完成化简．
专题04 分式的加法和减法压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 同分母分式加减法】 1
【考点二 异分母分式加减法】 2
【考点三 整式与分式相加减】 4
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 5
【考点五 分式加减混合运算】 6
【考点六 分式加减的实际应用】 10
【考点七 分式加减乘除混合运算】 11
【考点八 分式化简求值】 13
【过关检测】 15
【典型例题】
【考点一 同分母分式加减法】
例题：（2023·贵州贵阳·统考三模）化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式的加减运算法则进行计算，即分母不变，分子相加减，最后再约分即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法运算，熟练掌握相关计算法则是解此题的关键．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同分母的分式加法法则进行计算．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的减法法则，解决本题的关键是要熟练掌握分式的减法法则．
【考点二 异分母分式加减法】
例题：（2023·内蒙古包头·统考二模）计算：_______．
【答案】2
【分析】根据分式的加减法则，即可解答．
【详解】解：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减法，分式的加减法法则是：同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算，熟知上述法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）计算的结果是______．
【答案】/
【分析】根据异分母分式减法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查异分母分式的减法运算．熟练掌握其运算法则是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）_____________；
（2）___________．
【答案】
【分析】（1）（2）根据异分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，正确计算是解题的关键．
【考点三 整式与分式相加减】
例题：（2023春·江苏·八年级期中）化简的结果为_________．
【答案】
【分析】先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了分式和整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算的结果是_________．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是___________．
【答案】
【分析】先通分再化简即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分．
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若，则_________，_________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则_________________．
【答案】7
【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
①+②得：；
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若恒成立，则A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得，
∴
∴A-B＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解．
【考点五 分式加减混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
【详解】（1）解：，
=
=
=1；
（2）解：
.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算；
（2）分式的公分母为，先通分，在进行计算；
（3）直接进行通分，在进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（3）把看成是一项，为，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（4）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键．
【考点六 分式加减的实际应用】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比原来少分摊车费______元．
【答案】
【分析】根据题意列出分式，然后进行运算即可．
【详解】解：实际每个同学比原来少分摊车费：
（元）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需______小时.
【答案】
【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．
【详解】解：轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，
顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，
轮船往返两个港口一次共需时间为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．
【答案】
【分析】平均每天比原计划要多读的页数=新工作效率-原工作效率．
【详解】解：按原计划每天读页，实际每天读页，
故每天比原计划多读的页数是：，
故答案为：．
【点睛】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．
【考点七 分式加减乘除混合运算】
例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简：．
【答案】
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后约分即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
【答案】
【分析】根据分式混合运算法则及运算顺序直接求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式混合运算，涉及到因式分解、通分、约分及运算顺序，熟记相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简：．
【答案】
【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算；
（2）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【考点八 分式化简求值】
例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值：其中满足方程．
【答案】，
【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形得，，代入计算即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值：，其中：
【答案】；
【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．
【详解】解：
；
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·天津南开·统考三模）化简的结果为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先将改写为，再进行合并，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键掌握分式通分计算的方法和约分的法则．
2．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
3．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）若，则代数式的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】原式，
，
当时，
原式．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）若的值为整数，则整数的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算法则得到，再根据分式的值为整数列方程即可解答．
【详解】解：∵的值为整数，
∴，
即是整数，
∴，
∴，
∵在，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加法运算法则，分式有意义的条件，掌握分式加法运算法则是解题的关键．
5．（2023·河北衡水·统考二模）对于，，有以下两个结论：
①当时，；
②当时，．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
【答案】B
【分析】先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．
【详解】解：∵
∴当时，，则，即①不正确；
当，即时，，则，即②正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2023·上海·统考中考真题）化简：的结果为________．
【答案】2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．（2023·内蒙古包头·二模）化简：________．
【答案】/
【分析】根据分式的混合运算法则，先将括号里的通分后，化简，再算除法，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知计算法则是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）若恒成立，则______．
【答案】2
【分析】根据异分母分式加减法法则将进行变形，继而由原等式恒成立得到关于A、B的方程组，解方程组即可得．
【详解】解：，
又∵
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减法，恒等式的性质，解二元一次方程组，得到关于A、B的方程组是解题的关键．
9．（2023·北京顺义·统考二模）如果，那么代数式的值为______．
【答案】
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘法运算法则进行化简，再代入计算得出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）中国首例商用磁悬浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到地路程为，那么提速后从A地到地节约的时间为________________．
【答案】
【分析】直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
【详解】解∶由题意可得，
故答案为∶．
【点睛】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算，正确表示出行驶时间是解题关键．
三、解答题
11．（2023·安徽合肥·统考三模）化简：．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质和法则运算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握相关性质、法则和方法是解题的关键．
12．（2023·湖北黄冈·统考二模）化简：
【答案】
【分析】首先把括号里的分式进行通分，然后进行约分化简．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键．
13．（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）先化简：，若，请选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】，取，则原式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将合适的的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
，，
，0，2，
若取，则原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
15．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】，选择，式子的值为（或选择，式子的值为1）
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
，，
，，
，且为整数，
选择代入得：原式，
选择代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
16．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】，当时，原式为；当时，原式为．
【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
【详解】解：
，
当a取，1，2时分式没有意义，
所以或0，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
17．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）先化简，再求值：，其中a满足．
【答案】，0
【分析】根据分式的四则混合运算法则化简可得，然后将整体代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
；
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整体的方法是解答本题的关键．
18．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）下面是小华同学学习了分式混合运算后解答的一道题目，请认真阅读并完成下面的问题．
化简：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
(1)以上解题过程中，第_______步是通分，其变形依据是_________；
(2)小明第一步用了乘法的分配律进行了解答，请你根据小明的思路完成化简．
【答案】(1)一，分式的基本性质；
(2)见解析
【分析】（1）根据分式的基本性质判断即可；
（2）根据乘法分配律、分式的约分法则计算．
【详解】（1）解：第一步是通分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：一，分式的基本性质；
（2）原式
．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质，掌握分式的运算法则是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)