1.1课时1 集合的概念
（分值：100分；单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共24分）
【基础巩固】
1.(多选)下面给出的四类对象中,能构成集合的是 ( )
A.2024年参加“两会”的代表
B.长寿的人
C.π的近似值
D.倒数等于它本身的数
2.设不等式3-2x<0的解集为M,则下列关系中正确的是 ( )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
3.下列各组中,集合P与集合Q表示同一个集合的是 ( )
A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的根构成的集合
4.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是 ( )
A.1∈M B.0∈M
C.-1∈M D.-2∈M
5.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为 ( )
A.2 B.-2
C.4 D.6
6.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.N*中最小的数是1
B.若-a N*,则a∈N*
C.若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2
D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有两个元素
7.(5分)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有 个元素.
8.(5分)设集合A中含有1,a,b三个元素,集合B中含有a,a2,ab三个元素,若A=B,则实数a= ,b= .
9.(10分)判断下列元素的全体是否能组成集合,并说明理由:
(1)平面上到∠AOB两边等距离的点;(5分)
(2)高中学生中的灌篮高手.(5分)
10.(10分)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;(5分)
(2)若-2∈A,求实数x的值.(5分)
【综合运用】
11.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 ( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
12.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是 ( )
A.1 B.-2
C.-1 D.2
13.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( )
A.-8 B.-16
C.8 D.16
14.(5分)已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,则a= ,b= .
【拓广探究】
15.(5分)已知x,y,z为非零实数,代数式+++的值所组成的集合是M,则M中的元素个数为 .
16.(11分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).求证:
(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(6分)
(2)集合A不可能是单元素集.(5分)
答案精析
1.AD 2.B 3.A 4.C 5.AC
6.AC ［因为N*表示正整数集，容易判断A，C正确；
对于B，若a=，则满足-a N*，但a N*，B错误；
对于D，x2+4=4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误.］
7.3 8.-1 0
9.解 (1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合.
(2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合.
10.解 (1)根据集合中元素的互异性，
可知
即x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1，且-2∈A，所以x=-2.
11.C ［集合A中的元素为y，是数集，
又y=x2+1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y=x2+1，经验证，(3，10)∈B.］
12.ABD ［由题意知a2≠4，2-a≠4，a2≠2-a，
解得a≠±2，且a≠1，即a的取值不可能是1，±2.］
13.C ［集合A☉B中有2，-4，-1三个元素，故所有元素之积为8.］
14.-3 2
解析 因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，
所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.
所以即
15.3
解析 针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个.
16.证明 (1)由题意知，若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以=-1∈A.
因为-1∈A，所以=∈A.
因为∈A，所以=2∈A.
所以A中另外两个元素为-1，.
(2)若A为单元素集，
则a=，
即a2-a+1=0，方程无实数解.
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集.1.1课时2 集合的表示
（分值：100分；单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分）
【基础巩固】
1.已知集合M={x|x>1且x∈N},则 ( )
A.0∈M B.π∈M
C.∈M D.1 M
2.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 ( )
A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5}
3.若1∈{x+2,x2},则实数x的值为 ( )
A.-1 B.1
C.1或-1 D.1或3
4.将集合用列举法表示,正确的是 ( )
A.{2,3} B.{(2,3)}
C.{x=2,y=3} D.(2,3)
5.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(多选)下列集合中表示同一个集合的是 ( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={x|x>2},N={t|t>2}
7.(5分)集合{x|x=2m-3,m∈N*,m<5}用列举法表示为 .
8.(5分)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素,则实数k的取值范围为 .
9.(10分)用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;(2分)
(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;(2分)
(3)不等式x-2>6的解集构成的集合;(2分)
(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合;(2分)
(5)方程组的解集.(2分)
10.(11分)下列三个集合:
①A={x|y=x2+1};
②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合 (4分)
(2)它们各自的含义分别是什么 (7分)
【综合运用】
11.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z}且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是 ( )
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
12.(多选)下列说法错误的是 ( )
A.在平面直角坐标系内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0}
B.方程+|y+2|=0的解集为{-2,2}
C.{x|x<-8,且x>-5}中的元素个数为0
D.若A={x∈Z|-1≤x≤1},则-1.1∈A
13.已知A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则由a的值构成的集合是 ( )
A.- B.
C.{-1} D.
14.(5分)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2} (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集 .
【拓广探究】
15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是 ( )
A.18 B.17
C.16 D.15
16.(12分)已知集合A=,B=,试问集合A与B有几个相同的元素 并写出由这些相同元素组成的集合.
答案精析
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C
6.BD ［选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M与N是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合.］
7.{-1，1，3，5} 8.{k|k<1且k≠0}
9.解 (1){-1，0}.
(2){x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
(5)解集用描述法表示为，
解集用列举法表示为{(2，-1)}.
10.解 (1)它们是互不相同的集合.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x，且x∈R；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y，满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1.
集合C={(x，y)|y=x2+1}的代表元素是(x，y)，是y=x2+1图象上的点.
11.D ［由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误.］
12.BD ［A项，第一象限内的点(x，y)满足x>0，y>0，第三象限内的点(x，y)满足x<0，y<0，故A正确；B项，方程的解为故解集为{(2，-2)}，故B错误，C项正确；D项，A={-1，0，1}，-1.1 A，故D错误.］
13.D ［∵-3∈A，A={a-2，2a2+5a，12}，
∴或
解得a=-.
故由a的值构成的集合是.］
14.不是 (答案不唯一)
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a=，即a=±1，故可取的集合有，等.
15.B ［因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，9+7=16，10+6=16，11+5=16，12+4=16，13+3=16，14+2=16，15+1=16，1×16=16，16×1=16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个.］
16.解 对于集合A，B，因为x∈N，∈N，
所以当x=1时，=1；
当x=7时，=3；
当x=9时，=9.
所以A={1，7，9}，B={1，3，9}.
所以集合A与B有2个相同的元素，故集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}.
