4.4.2 第2课时 对数函数的性质及应用 作业
【基础训练】
1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
2．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是( )
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
3．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(l，＋∞) B．(0，1) C． D．(3，＋∞)
4．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
5．函数y＝2x＋loga(x＋1)＋3的图象恒过定点________.
6．函数y＝log[(1－x)(3＋x)]的单调递增区间为________．
7．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
(2)若x∈(－1，3]，求f(x)的取值范围．
【能力训练】
8．若函数f(x)的图象与函数g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则f(2x－x2)的单调递减区间为( )
A．(－∞，1) B．[1，＋∞) C．(0，1) D．[1，2]
9．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2
C．x110．(多选)已知函数f(x)＝ax(a>1)，其反函数为y＝f－1(x)，实数t满足f－1(t)<1－tA．－1 B． C． D．
11．函数f(x)＝log2×log4(4x2)的最小值为________.
12．已知函数f(x)＝若直线y＝m与函数f(x)的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．
13．已知函数f(x)＝loga(kx2－2x＋6)(a>0，且a≠1).
(1)若函数f(x)在区间[2，3]上恒有意义，求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间[2，3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【创新训练】
14．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1，1)；
②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；
③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)都有f()＝2f(x)；
④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f()；
⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0.
其中所有正确研究成果的序号是________．
答案解析
1.答案 D
解析 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)，函数y＝x的定义域与值域均为
(－∞，＋∞).函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞).函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞).故选D.
2.答案 B
解析 f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.
3.答案 D
解析 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则f(x)＝logau必为增函数，∴a>1.又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3.
4.答案 AD
解析 由|x－1|>0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝，则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a>1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选AD.
5.答案 (0，4)
解析 ∵20＝1，loga1＝0，∴当x＝0时，y＝20＋loga(0＋1)＋3＝1＋0＋3＝4，∴函数y＝2x＋loga(x＋1)＋3的图象恒过定点(0，4).
6.答案 (－1，1)
解析 由题意可得，(1－x)(3＋x)＞0，解得－3＜x＜1，即函数的定义域为(－3，1).令t(x)＝(1－x)(3＋x)＝－(x＋1)2＋4，x∈(－3，1)，则y＝logt，t(x)在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．y＝logt在定义域上单调递减．根据复合函数的单调性“同增异减”法则可知函数y＝log[(1－x)(3＋x)]的单调递增区间为(－1，1).
7.解 (1)函数f(x)＝log2(x＋1)－2，因为f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0，所以log2(x＋1)>2，所以x＋1>4，所以x>3.
(2)因为x∈(－1，3]，所以x＋1∈(0，4]，所以log2(x＋1)∈(－∞，2]，所以log2(x＋1)－2∈(－∞，0]，故f(x)的取值范围为(－∞，0].
8.答案 C
解析 因为函数f(x)的图象与函数g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，所以函数f(x)是函数g(x)＝的反函数，所以f(x)＝，即f(2x－x2)＝ (2x－x2).令t＝2x－x2>0，解得09.答案 A
解析 分别作出三个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，x210.答案 BC
解析 ∵函数f(x)＝ax(a>1)，其反函数为y＝f－1(x)，∴y＝f－1(x)＝logax.∵实数t满足
f－1(t)<1－t1.当t≤0时，显然不合题意，故A错误；当01，∴logat<1－t1时，logat>0，1－t<0，at>a，不合题意，故D错误．故选BC.
11.答案 －
解析 函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，log2x∈R.
f(x)＝log2×log4(4x2)＝(log2x－2)(1＋log4x2)＝(log2x－2)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝－.所以当log2x＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.
12.答案 {0}∪[2，＋∞)
解析 作出函数f(x)的图象(如下图).
由图象可知当m＝0或m≥2时，直线y＝m与函数f(x)的图象只有一个交点．
13.解 (1)由题意可知kx2－2x＋6>0在[2，3]上恒成立，即k＞－＋在[2，3]上恒成立．
令＝u，则k＞－6u2＋2u在上恒成立．
因为y＝－6u2＋2u＝－6＋，
所以函数y＝－6u2＋2u在上单调递减，故当u＝时，y取得最大值0，则k＞0，即k的取值范围为(0，＋∞).
(2)要使函数f(x)在区间[2，3]上为增函数，首先f(x)在区间[2，3]上要恒有意义，于是由(1)可得k>0.
①当a>1时，要使函数f(x)在区间[2，3]上为增函数，则函数y＝g(x)＝kx2－2x＋6在[2，3]上恒正且为增函数，故k>0且≤2，即k≥，此时f(x)的最大值为loga(9k)＝2，即k＝，满足题意；②当0综上所述，存在k＝满足题意．
14.答案 ①③④
解 在①中，因为f(x)＝lg ，所以>0，
解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；
在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，
所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；
在③中，对于任意x∈(－1，1)，
有f()＝lg ＝lg ＝lg ，
又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；
在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，
有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg ＝lg (·)＝lg ，
又f()＝lg ＝lg ，
所以④是正确的；
在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，
总满足＞0，
即说明f(x)是单调递增函数，
但f(x)＝lg ＝lg (－1＋)是减函数，
所以⑤是错误的．
综上可知，正确研究成果的序号为①③④.4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质 作业
【基础训练】
1．下面不等式成立的是( )
A．log32C．log232．当a>0，且a≠1时，f(x)＝loga(x＋2)＋3的图象过定点P，则点P的坐标为( )
A.(－2，4) B．(－1，4) C．(－2，3) D．(－1，3)
3．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为( )
A．2 B． C．2或 D．3
4．若点(a，b)(b≠0)在函数f(x)＝ln x的图象上，则下列点不在函数f(x)的图象上的是( )
A． B．(ae，1＋b) C． D．(a2，2b)
5已知函数y＝f(x)与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则不等式f(x)≥2的解集为________.
6．若－10，且a≠1)，则a的取值范围为________.
7．已知f(x)＝|log3x|.
(1)画出这个函数的图象；
(2)当0f(2)，利用函数图象求出a的取值范围．
【能力训练】
8．(多选）函数f（x）=loga|x-1|在（0，1）上是减函数，那么（ ）
A: f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值
B: f（x）在（1，+∞）上递减且无最小值
C: f（x）在定义域内是偶函数
D: f（x）的图象关于直线x=1对称
E: a=2020，满足f（x）在（0，1）上是减函数
9． （多选）以下四个命题，其中是真命题的有（ ）
A: 命题“ x∈R，sinx≥-1”的否定是“ x∈R，sinx＜-1”
B: 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则
C: 函数f（x）=loga（x-1）+1（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，1）
D: 若某扇形的周长为6cm,面积为2cm2，圆心角为α（0＜α＜π），则α=1
10．（多选）设函数f（x）=x,下列四个命题正确的是（ ）
A: 函数f（|x|）为偶函数
B: 若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b,则ab=1
C: 函数f（-x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数
D: 若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|
11．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a12．如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A，B)，其中A(－4，0)，B(4，0)，C(0，4)，则不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是________．
13．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，且函数的图象过点(2，1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2－m)<1成立，求实数m的取值范围．
【创新训练】
14．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？
(2)如图，在直角坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)；
(3)设函数y＝()x与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M的符号．
答案解析
1.答案 A
解析 易知对数函数y＝log3x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故1＝log222.答案 D
解析 当a>0，且a≠1时，对于函数f(x)＝loga(x＋2)＋3，令x＋2＝1，得x＝－1，y＝3，可得函数的图象经过定点(－1，3)，则点P的坐标为(－1，3)，故选D.
3.答案 B
解析 法一 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝.
法二 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，所以函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，)，所以aa＝＝a，即a＝.
4.答案 A
解析 因为点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以b＝ln a，所以－b＝ln ，1－b＝ln ，2b＝2ln a＝ln a2，
ln (ae)＝ln a＋1＝1＋b，所以点不在该函数图象上．故选A.
5.答案 [4，＋∞)
解析 ∵函数y＝2x与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，∴f(x)＝log2x.∵f(x)≥2，∴log2x≥2＝log24.又f(x)＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴x≥4，∴不等式的解集为[4，
＋∞).
6.答案 ∪
解析 ∵－1当a>1时，＜＜a，则a＞；
当0综上所述，实数a的取值范围是∪.
7.解 (1)图象如图：
(2)令f(a)＝f(2)，即|log3a|＝|log32|，
解得a＝或a＝2.
从图象可知，当0f(2)，
所以a的取值范围是(0，).
8.答案 ADE
解析 先根据函数f（x）=loga|x-1|在（0，1）上是减函数，求出a的范围，然后根据复合函数的单调性可知f（x）在（1，+∞）上的单调性和最值，从而判断选项A，B；求出函数f（x）的定义域不关于原点对称，即可判断选项C；计算f（2-x）=f（x）即可判断选项D；由a的取值范围即可判断选项E．
解：∵函数f（x）=loga|x-1|在（0，1）上是减函数，
∴f（x）=loga（1-x）在（0，1）上是减函数，而y=1-x是减函数，则a＞1，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）=loga|x-1|=loga（x-1），y=x-1是增函数，而a＞1，
则f（x）在（1，+∞）上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，
f（x）=loga|x-1|的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，
∴f（x）为非奇非偶函数，故C错误；
f（2-x）=loga|2-x-1|=loga|x-1|=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，故D正确；
由a＞1可知，E正确．
故选：ADE．
9.答案ACD
解析 对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由平面向量的数量积运算计算即可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断．
解：对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；
对于B，因为向量，的夹角的余弦值为，且，，
所以===，故B不正确；
对于C，当x=2时，f（2）=loga（2-1）+1=1，故其过定点（2，1），故C正确；
对于D，设扇形的半径为r,弧长为l,则有，解得，
又，故D正确．
故选：ACD．
10.答案 ABD
解析 A由f（|-x|）=f（|x|），即可得出f（|x|）为偶函数；B若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b,可得f（a）=|f（b）|=-f（b），利用对数的运算性质可得：（ab）=0，可得ab=1．C函数f（-x2+2x）=，由-x2+2x＞0，解出可得函数的定义域为（0，2），即可判断出正误；D由0＜a＜1，可得1+a＞1-a,f（1+a）＜0＜f（1-a），作差|f（1-a）|-|f（1-a）|=-f（1+a）-f（1-a），化简即可得出正误．
解：f（x）=x,x＞0．
函数f（|x|）=|x|，∵f（|-x|）=f（|x|），∴f（|x|）为偶函数，A正确；
若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b,∴f（a）=|f（b）|=-f（b），
∴a+b=（ab）=0，∴ab=1．因此B正确．
函数f（-x2+2x）==，由-x2+2x＞0，解得0＜x＜2，
∴函数的定义域为（0，2），因此在（1，3）上不具有单调性，C不正确；
若0＜a＜1，∴1+a＞1-a,∴f（1+a）＜0＜f（1-a），故|f（1-a）|-|f（1-a）|=-f（1+a）-f（1-a）=-＜0，即|f（1-a）|＜|f（1-a）|，因此D正确．
故选：ABD．
11.答案 ②④⑤
解析 实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知④成立，③不成立．综上可知，可能成立的关系式为②④⑤.
12.答案 [－4，2)
解析 在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的图象，易知当x＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＝2，所以不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是[－4，2).
13.解 (1)∵f(2)＝1，∴loga2＝1，解得a＝2.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝log2x.
(2)f(m2－m)<1，即log2(m2－m)<1＝log22，
则0∴实数m的取值范围是(－1，0)∪(1，2).
14.解 (1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位得到的．
(2)在直角坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象．如图所示．
(3)不妨设x1