3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念 作业
【基础训练】
1．函数f(x)＝2x－的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．直线y＝x对称 D．坐标原点对称
2．(广东江门广雅中学高一期中)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝
3．(多选)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是偶函数 B．|f(x)f(－x)|是偶函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
4．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1 C．1 D．0
5．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则常数m，n的值分别为________．
6．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________．
7．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)补全f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)＞0.
【能力训练】
8．函数f(x)＝的图象大致是( )
9．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
10．鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力也很顽强，因此也是坚强的代表．如图(1)是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图(2)的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是( )
A．y＝|x|＋及y＝|x|－
B．y＝x＋及y＝x－
C．y＝|x|＋及y＝|x|－
D．y＝x＋及y＝x－
11．请写出一个满足以下条件的函数f(x)：①为偶函数；②f(x)的值域为[1，＋∞)，则f(x)＝________.
12．已知f(x)＝是奇函数，则f(－3)＝________；f(g(－3))＝________．
13．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).
【创新训练】
14．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
答案解析
1.答案 D
解析 易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)＝2x－，所以f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则函数f(x)＝2x－的图象关于坐标原点对称．故选D.
2.答案 B
解析 对于A，y＝f(x)＝x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以y＝x2为偶函数，故A不符合题意；对于B，y＝g(x)＝x3的定义域为R，且g(－x)＝(－x)3＝－x3＝
－g(x)，所以y＝x3为奇函数，故B符合题意；对于C，y＝h(x)＝|x|的定义域为R，且
h(－x)＝|－x|＝|x|＝h(x)，所以y＝|x|为偶函数，故C不符合题意；对于D，y＝的定义域为[0，＋∞)，定义域不关于原点对称，所以y＝为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选B.
3.答案 ABD
解析 因为F(x)＝f(x)·f(－x)满足F(－x)＝f(－x)·f(x)＝F(x)，所以F(x)＝f(x)·f(－x)是偶函数，故A正确；因为M(x)＝|f(x)·f(－x)|满足M(－x)＝M(x)，所以M(x)是偶函数，故B正确；因为H(x)＝f(x)－f(－x)满足H(－x)＝f(－x)－f(x)＝－H(x)，所以H(x)是奇函数，故C错误；因为G(x)＝f(x)＋f(－x)满足G(－x)＝f(－x)＋f(x)＝G(x)，所以G(x)是偶函数，故D正确．故选ABD.
4.答案 C
解析 因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，所以1－a2＝0，所以a＝±1.当a＝1时，f(x)＝x2－1，在区间(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在区间(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．
5.答案 0，0
解析 由题意知f(0)＝0，故得m＝0.
由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
6.答案 {x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}
解析 因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解集．
∵当x∈[0，5]时，f(x)＜0的解集为{x|2＜x≤5}，
∴当x∈[－5，0]时，f(x)＜0的解集为{x|－5≤x＜－2}．
∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}．
7.解 (1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图象如图所示．
(2)结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)＞0的解集是(－2，0)∪(0，2).
8.答案 D
解析 对任意的x∈R，x6＋1＞0，则函数f(x)＝的定义域为R，又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除AB；当x>0时，0＜f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，排除C选项．故选D.
9.答案 C
解析 因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
10.答案 A
解析 由题图可知其函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，排除B，D；由题图可知函数的定义域有限，对于C，y＝|x|＋及y＝|x|－的定义域均为R，不符合题意．故选A.
11.答案 x2＋1(答案不唯一)
解析 由题意知f(x)是偶函数，且f(x)的值域为[1，＋∞)，故f(x)＝x2＋1(答案不唯一).
12.答案 －6 －33
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.
13.解 (1)证明 由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝a.
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
14.解 (1)我同意他的观点．
理由如下：
假设f(x)是奇函数，
f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，
可得f(a)＋f(－a)＝0，
即a2－2|a|＋3＝0无解，
∴f(x)不可能是奇函数．
(2)若f(x)是偶函数，则有f(a)＝f(－a)，
即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.
经验证成立．
(3)由(2)可知f(x)＝x2－2|x|＋3，图象如图：
单调递增区间为(－1，0)，(1＋∞).3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用 作业
【基础训练】
1．若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－2，则f(－1)＝( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
2．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．f(3)B．f(－π)C．f(3)D．f(－4)3．设f(x)为R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式f(x＋1)<0的解集是( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(－∞，－2)∪(－1，0)
4．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)与f(a2＋2a＋)的大小关系是( )
A．f(－)＞f(a2＋2a＋)
B．f(－)＜f(a2＋2a＋)
C．f(－)≥f(a2＋2a＋)
D．f(－)≤f(a2＋2a＋)
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋4)＝f(x)，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.
6．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________.
7．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x＞2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
【能力训练】
8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
9．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A．f(－1)＝0
B．f(x)的最大值为
C．f(x)在(－1，0)上是单调递增的
D．f(x)>0的解集为(－1，1)
10．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数．若对任意给定的实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)12．设y＝f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f(x)＋
f(－x)＝x2成立，函数g(x)满足g(x)＝f(x)－，则g(x)是________(填“奇函数”“偶函数”“非奇非偶函数”“既奇又偶函数”中的一个)；若y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(2－a)－f(a)≥2－2a，则实数a的取值范围是________.
13．已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．
【创新训练】
14．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立．
(1)求f(0)；
(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；
(3)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数．
答案解析
1.答案 B
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又当x>0时，f(x)＝x3－2，所以f(－1)＝－f(1)＝－(13－2)＝1.故选B.
2.答案 C
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4).
而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4).
3.答案 D
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，
∴f(x＋1)<0，即04.答案 C
解析 因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以f(a2＋2a＋)≤f()＝f(－).
5.答案 －0.5
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4.
∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(6.5)＝f(2.5)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝－0.5.
6.答案
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝3.因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，所以f(－2)＝(－2)2－2m＝3，所以m＝.
7.解 (1)当x＞2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
因为f(x)的图象过点A(2，2)，
所以a(2－3)2＋4＝2，所以a＝－2，
所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x＞2，
所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2).
(2)函数图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}，单调递增区间为(－∞，－3]和[0，3]，单调递减区间为(－3，0)和(3，＋∞).
8.答案 A
解析 法一 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
法二 由已知条件，得
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.
又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
9.答案 AB
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝1－1＝0，故A正确；当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，易知函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，根据偶函数的性质知函数f(x)的最大值为，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误；∵f(0)＝0，
∴f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，D错误．故选AB.
10.答案 D
解析 通解：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.
优解：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.
11.答案
解析 因为函数f(x)对任意给定的实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)＜x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，即(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，所以函数f(x)在R上为减函数．又函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，则由不等式(x＋1)f(1－2x)＜0，得或即或解得－1＜x＜.所以原不等式的解集为.
12.答案 奇函数 (－∞，1]
解析 因为g(x)＝f(x)－，所以g(－x)＝f(－x)－，所以g(x)＋g(－x)＝f(x)＋f(－x)－x2＝0.因为g(x)的定义域为R，所以g(x)为奇函数．因为y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，y＝x2在(－∞，0]上单调递减，所以y＝g(x)在(－∞，0]上单调递增．结合其为奇函数，可知y＝g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f(2－a)－f(a)≥2－2a等价于f(2－a)－≥f(a)－，即g(2－a)≥g(a)，所以2－a≥a，解得a≤1.
13.解 (1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即＝，解得m＝0.
(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．证明如下：
由(1)，知f(x)＝.
设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为x1＜x2≤0，
所以x2＋x1＜0，x2－x1＞0，(1＋x)(1＋x)＞0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
(3)由(2)，知函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
又f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在[－3，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减．
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝.
14.解 (1)因为对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，所以令a＝b＝0，得f(0)＝0.
(2)证明 由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，因此f(－x)＝－f(x)，即函数y＝f(x)是奇函数．
(3)证明 设x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)<0，而f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)
