1.1.1 课时2 共线向量与共面向量
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.下列命题中正确的是( )
若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A，B，D A，B，C
B，C，D A，C，D
3.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
＝3－2－
＋＋＋＝0
＋＋＝0
＝－＋
4.(多选)在以下命题中，不正确的命题是( )
已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
若与共线，则AB与CD所在直线平行
对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为( )
－
－
6.设e1，e2是不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________.
7.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________(填“平行”“相等”或“相反”).
8.有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，
b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________.(把所有真命题的序号都填上)
9.(10分)已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面.
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
10.(10分)如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
在平面BAD1内 在平面BA1D内
在平面BA1D1内 在平面AB1C1内
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
13.(15分)如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.
三、创新拓展
14.(15分)对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)分别对应着向量a＝，b＝，c＝，d＝.求证：A，B，C，D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α，β，γ，δ，使αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.
答案精析
1.C [A中，若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B错误；
C中，∵＋＝0，∴＝－，
∴与共线，故∥，故C正确；
D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，故D错误.]
2.A [∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线.]
3.C [∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴点M与点A，B，C必共面.]
4.BCD [＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A正确；
若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；
由向量平行知C不正确；
D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.故选BCD.]
5.A [＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.]
6.－8 [因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，
由向量共线的充要条件得＝，
所以k＝－8.]
7.平行 [设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，则＝＋＝＋
＝(＋)，
所以2＝＋，
从而∥(＋).]
8.②③④ [根据共线向量的定义，若∥，
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4b，所以a∥b.
故③正确；易知④也正确.]
9.解 (1)∵＋＝3－，
∴＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
∴，，为共面向量，
又，，过同一点P，
∴P与A，B，M共面.
(2)∵＝4－－，
∴＝2＋(－)＋(－)
＝2＋＋，根据空间向量共面的充要条件可知，点P位于平面ABM内的充要条件是＝＋x＋y，
∴P与A，B，M不共面.
10.解 连接AC，如图.
∵N是BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，
INCLUDEPICTURE "../../../课时精练（作业）——原稿/第一章 空间向量与立体几何/B275.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课时精练（作业）——原稿/第一章 空间向量与立体几何/B275.TIF" \* MERGEFORMAT
∴N为AC的中点.
又M是AD1的中点，
∴＝－＝－
＝(－)＝，
∴与共线.
11.C [＝＋7＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋6(－)－4(－)
＝11－6－4，
因为11＋(－6)＋(－4)＝1，
于是M，B，A1，D1四点共面.]
12. [∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)
＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.
因为i，j，k是不共面向量，
∴∴λ＝.]
13.证明 因为＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，＝k.
由于四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.
因此＝－＝k－k＝k
＝k(＋)＝k(－＋－)
＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要条件知，，共面，
又，，过同一点E，
从而E，F，G，H四点共面.
14.证明 (充分性)∵α＋β＋γ＋δ＝0，
∴δ＝－(α＋β＋γ)，
∴αa＋βb＋γc＋δd＝αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0.
∵a－d＝，b－d＝，c－d＝，
∴α＋β＋γ＝0.
又α，β，γ是不全为零的实数，不妨设γ≠0，
则＝－－.∴与，共面，即A，B，C，D四点共面.
(必要性)∵A，B，C，D四点共面，且A，B，C三点不共线，
∴与不共线，
因而存在实数x，y，使＝x＋y，
即d－a＝x(b－a)＋y(c－a)，
∴(x＋y－1)a－xb－yc＋d＝0.
令α＝x＋y－1，β＝－x，γ＝－y，δ＝1，
则αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.下列命题中为真命题的是( )
向量与的长度相等
将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
空间非零向量就是空间中的一条有向线段
不相等的两个空间向量的模必不相等
2.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的是( )
(＋)＋ (＋)＋
(－)－ (＋)＋
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
与 与
与 与
4.某市119指挥中心接群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为( )
5.(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是( )
＝b－c ＝b＋c－a
＝b－c－a ＝a＋b＋c
6.设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________.
7.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于________(用a，b，c表示).
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.
9.(10分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；(3)－－.
10.(10分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝＋x＋y，求x，y的值.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式中成立的是( )
＋＋＋＝0
＋＋＋＝0
＋＋＋＝2
－＋＋＝
12.在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则＝________(用a，b，c表示).
13.(15分)如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上靠近C′的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值.
三、创新拓展
14.(15分)如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心.
(1)求证：＋＋＝0；
(2)化简：＋－－.
答案精析
1.A [对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；
对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.]
2.ABD [根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，(－)－＝－＝，故选ABD.]
3.D [∵＝，∴||＝||，AB∥DC，
即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝.故应选D.]
4.C [由消防员的运动过程知＋＋＝.]
5.BD [由已知分析各选项：对于A，由向量的平行四边形法则，得＝＋＝b＋c，故A错误；对于B，由向量的平行四边形法则和三角形法则，
得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，故B正确；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，
所以＝＝b＋c－a，
所以＝＝b＋c－a，故C错误；
对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，故D正确.故选BD.]
6. [－＋＝＋＋＝.]
7.b－a－c [∵＝－＝(－)－，＝＝c，∴＝b－a－c.]
8.1 [因为＝＋＝＋＝＋(＋)，且＝x＋y(＋)，所以x＝1，y＝.]
9.解 (1)＋＝.
INCLUDEPICTURE"XB8.TIF" INCLUDEPICTURE "XB8.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示.
10.解 ∵F是正方形CDD1C1的中心，
∴＝＝(＋)
＝(＋)，
∴＝＋＝＋＋.
又∵＝＋x＋y，
∴x＝，y＝.
11.BCD [易知四边形EFGH为平行四边形，
所以＋＋＋＝＋＋＝＋＝，故A不成立；
＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故B成立；
＋＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C成立；
－＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故D成立.]
12.b＋c－a [如图，
INCLUDEPICTURE"B270.TIF" INCLUDEPICTURE "B270.TIF" \* MERGEFORMAT
在正方体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，
O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，∴＝＋＝(＋)＋
(＋)＝(b＋c)＋[(＋)＋(＋)]＝(b＋c)＋
＝(b＋c)＋(－b＋c)－a＋(b＋c)－a＝b＋c－a.]
13.解 (1)如图，
INCLUDEPICTURE"A9.TIF" INCLUDEPICTURE "A9.TIF" \* MERGEFORMAT
取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
则＝＋＋＝＋＋.
(2)因为＝＋＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
且＝α＋β＋γ，
所以α＝，β＝，γ＝.
14.(1)证明 ＝－(＋)，①
＝－(＋)，②
＝－(＋)，③
由①＋②＋③得＋＋＝0.
(2)解 因为＝×(＋)
＝(＋)，
所以＋－－
＝(－)＋(－)－×(＋)＝＋(－)－(＋)＝0.
