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14第13章《轴对称》单元检测卷
(测试范围:第13章 解答参考时间:120分钟,满分:120分)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝（ ）度
A．80 B．60 C．50 D．50或80
3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠CAD C．BC＝2BD D．BD＝AD
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
5．（3分）已知点A（a+1，1），点B（3，﹣1），且A、B关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
6．（3分）已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．15cm B．20cm
C．25cm D．20cm或25cm
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，那么BE的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
8．（3分）已知BD是等腰△ABC中一腰上的高，∠ABD＝50°，则顶角的度数可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝4，∠ACB＝120°，AE＝CF，当AF+BE的值最小时，△ABF的面积（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 ．
12．（3分）已知点A（5，m﹣1）和点B（n+1，2）关于y轴成轴对称，则m+n＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC＝8，直线DE垂直平分BC，垂足为点E，交AC于点D，则△ABD的周长为 ．
14．（3分）如图AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ABE的度数是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝10cm，DE＝4cm，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝50°，求∠BCD的度数．
18．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．
19．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝40°，求∠EBC的度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数．
21．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
（2）将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2的坐标；
（3）认真观察所作的图形，△AB1C1与△A2B2C2有怎样的位置关系？
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△DCE≌△CBF；
（2）若AB＝AC，求证：DEDB．
23．（10分）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论：
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB＝b，且b+2a＝0．
（1）直接写出∠BAO的度数．
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6，求点M的坐标．
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，连接AF交BC于点P，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
14第13章《轴对称》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
C、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
D、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝（ ）度
A．80 B．60 C．50 D．50或80
【思路点拔】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝80°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣80°）÷2＝50°．
故选：C．
3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠CAD C．BC＝2BD D．BD＝AD
【思路点拔】根据等腰三角形的性质逐项分析即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，故A正确，不符合题意；
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，故B正确，不符合题意；
∴BC＝2BD，故C正确，不符合题意；
当∠BAC＝90°时，，故D不一定正确，符合题意；
故选：D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【思路点拔】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到的B的坐标为（﹣3+5，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，﹣2）．
故选：C．
5．（3分）已知点A（a+1，1），点B（3，﹣1），且A、B关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【思路点拔】根据关于x轴对称点的坐标特点可得a+1＝3，即可求出a的值．
【解答】解：
∵A、B关于x轴对称，
∴a+1＝3，
解得a＝2，
故选：D．
6．（3分）已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．15cm B．20cm
C．25cm D．20cm或25cm
【思路点拔】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5cm时，5+5＝10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为10cm时，10﹣5＜10＜10+5，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为10+10+5＝25cm．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，那么BE的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【思路点拔】解直角三角形得到AB4，根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE＝90°，BDAB＝2，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，
∴AB4，
∵边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴∠BDE＝90°，BDAB＝2，
∴BEBD＝4，
故选：B．
8．（3分）已知BD是等腰△ABC中一腰上的高，∠ABD＝50°，则顶角的度数可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】当∠A是锐角时，根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点以及点A是钝角的顶角顶点3种情况求解．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，BD是腰上的高，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°．
①如图1，点A是顶角顶点时，∠A为锐角时，∠A＝40°；
②如图2，点A是底角顶点时，
顶角∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°；
③如图3，点A是顶角顶点，∠A为钝角时，
顶角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°．
故选：C．
9．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论．
故选：A．
10．（3分）如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝4，∠ACB＝120°，AE＝CF，当AF+BE的值最小时，△ABF的面积（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】过点C作CD∥AB，使CD＝AB，连接DF，证明△DCF≌△BAE，根据全等三角形的性质得DF＝BE，则AF+BE＝AF+DF，连接AD交BC于F′，在△ADF中，由三角形三边关系可得AF+DF＞AD，则A、D、F三点共线时，AF+DF的值最小，即AF+BE的值最小，证明△DCF′≌△ABF′，根据全等三角形的性质得CF′＝BF′＝2，过点F′作F′G⊥BC于G，根据含30°角的直角三角形的性质求出F′G＝1，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：过点C作CD∥AB，使CD＝AB，连接DF，
′′
∵CD∥AB，
∴∠DCB＝∠ABC，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝∠DCB＝30°，
在△DCF和△BAE中，
，
∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴AF+BE＝AF+DF，
连接AD交BC于F′，
在△ADF中，由三角形三边关系可得AF+DF＞AD，则A、D、F三点共线时，AF+DF的值最小，即AF+BE的值最小，
∵CD∥AB，
∴∠CDF′＝∠BAF′，
在△DCF′和△ABF′中，
，
∴△DCF′≌△ABF′（ASA），
∴CF′＝BF′＝2，
过点F′作F′G⊥BC于G，
∵∠ABC＝30°，
∴，
∴△ABF的面积为．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 35° ．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故答案为：35°．
12．（3分）已知点A（5，m﹣1）和点B（n+1，2）关于y轴成轴对称，则m+n＝ ﹣3 ．
【思路点拔】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（5，m﹣1）和点B（n+1，2）关于y轴成轴对称，
∴n+1＝﹣5，m﹣1＝2，
解得m＝3，n＝﹣6，
所以m+n＝（﹣6）+3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC＝8，直线DE垂直平分BC，垂足为点E，交AC于点D，则△ABD的周长为 11 ．
【思路点拔】根据据垂直平分线的性质得DB＝DC，进而可把△ABD周长转化为AB+AC求解．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC
＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝4+7＝11．
故答案为：11．
14．（3分）如图AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ABE的度数是 35° ．
【思路点拔】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠ABC＝∠C（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ABE∠ABC＝35°．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠ABC＝∠C（180°﹣∠CAB）＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE∠ABC＝35°．
故答案为：35°．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝10cm，DE＝4cm，则BC的长为 14cm ．
【思路点拔】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，先证明△BEF为等边三角形得到BF＝BE＝EF＝10cm，∠BFE＝60°，再根据等腰三角形的性质得到AH⊥BC，BH＝CH，接着计算出DF＝6cm，则HFDF＝3cm，然后计算出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴∠EBC＝∠E＝∠EFB＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF＝BE＝EF＝10cm，∠BFE＝60°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∵DE＝4cm，
∴DF＝EF﹣DE＝6cm，
在Rt△DFH中，HFDF＝3cm，
∴BH＝BF﹣HF＝10﹣3＝7（cm），
∴BC＝2BH＝14cm，
故答案为：14cm．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为 140° ．
【思路点拔】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．
故答案为140°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝50°，求∠BCD的度数．
【思路点拔】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据∠A＝50°和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°．
18．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．
【思路点拔】利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
19．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝40°，求∠EBC的度数．
【思路点拔】对于（1），先根据等边对等角，得∠DBE＝∠DEB，再根据角平分线定义得∠DBE＝∠CBE，即可得出∠DEB＝∠CBE，然后根据平行线的判定得出答案；
对于（2），先根据三角形内角和定理求出∠ADE，再根据平行线的性质得出∠ABC，然后根据角平分线的定义得出答案．
【解答】解：（1）∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴DE∥BC；
（2）∵∠A＝60°，∠AED＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝80°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数．
【思路点拔】利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中，
，
∴△DBE≌△CEF（SAS），
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣30°）＝75°，
∴∠1+∠2＝105°，
∴∠3+∠2＝105°，
∴∠DEF＝75°．
21．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
（2）将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2的坐标；
（3）认真观察所作的图形，△AB1C1与△A2B2C2有怎样的位置关系？
【思路点拔】（1）作出点B和点C关于y轴对称的点B1，C1，然后连接AB1，AC1，B1C1即可得到△ABC关于y轴对称的△AB1C1；根据点B1所在象限及距离原点的水平距离和竖直距离可得相应坐标；
（2）把△ABC的顶点向右平移8个单位，顺次连接得到的各点即为平移后的各点即可得到平移后的图形；根据点B2所在象限及距离原点的水平距离和竖直距离可得相应坐标；
（3）易得两个图形属于轴对称图形，对称轴是一对对应点的连线的垂直平分线．
【解答】解：（1）如图（2分），B1（3，2）（1分）；
（2）图如上（2分），B2（5，2）；（1分）
（3）由图可以看出两个图形关于直线x＝4对称．（2分）
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△DCE≌△CBF；
（2）若AB＝AC，求证：DEDB．
【思路点拔】（1）先证明∠FBC＝∠DCE，再根据AAS可证△DCE≌△CBF；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，再证明∠ACD＝∠DCH，根据角平分线的性质可知DE＝DH，进一步即可得证．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∠BFA＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∵∠DBC＝∠ABF+∠FBC，∠BDC＝∠A+∠DCE，
∴∠FBC＝∠DCE，
在△DCE和△CBF中，
，
∴△DCE≌△CBF（AAS）；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，如图所示：
∵BC＝CD，
∴∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ABF＝45°，
∴∠DCH＝22.5°，∠BDC＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠ACD＝∠DCH，
∵DE⊥AC，CH⊥BD，
∴DE＝DH，
∴DEDB．
23．（10分）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论：
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．
【思路点拔】（1）①证明△BDE≌△MDF，得到BE＝MF，证明∠FMC＝∠ACB，得到MF＝CF，即可证明结论；
②证明△DEM≌△DFC，得到ME＝CF，证明∠EMD＝∠MBE，得到ME＝BE，即可证明结论；
（2）延长AD，使得AD＝DM，连接CM，证明△ABD≌△MCD，得到∠EAD＝∠CMN，AB＝MC，证明∠CNM＝∠CMN，得到CN＝MC，即可证明结论；
（3）延长ED，使得DM＝ED，连接CM，证明△CDM≌△BDE，得到CM＝BE，∠M＝∠BED，证明∠CNM＝∠M，得到CN＝CM，根据直角三角形的性质得到ABBC，根据BE﹣AE＝ABBC，即可证明结论．
【解答】（1）证明：①∵ED＝DF，DM＝BD，∠BDE＝∠MDF，
∴△BDE≌△MDF（SAS），
∴BE＝MF，∠DBE＝∠DMF，
∴180°﹣∠DBE＝180°﹣∠DMF，
即∠ABC＝∠FMC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠FMC＝∠ACB，
∴MF＝CF，
∵BE＝MF，
∴BE＝CF；
②∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACB，
∵∠MDE＝∠CDF，ED＝DF，
∴△DEM≌△DFC（AAS），
∴ME＝CF，
∵AB＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠EMD＝∠ACB，∠MBE＝∠ABC，
∴∠EMD＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∴BE＝CF；
（2）证明：延长AD，使得AD＝DM，连接CM，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∵AD＝DM，∠ADB＝∠MDC，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴∠EAD＝∠CMN，AB＝MC，
∵∠EAD+∠ANC＝180°，∠ANE+∠ANC＝180°，
∴∠EAD＝∠ANE，
∵∠ANE＝∠CNM，∠EAD＝∠CMN，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝MC，
∵AB＝MC，
∴AB＝CN；
（3）解：CN﹣AEBC，理由如下：
延长ED，使得DM＝ED，连接CM，
∵BD＝CD，∠CDM＝∠BDE，DM＝ED，
∴△CDM≌△BDE（SAS），
∴CM＝BE，∠M＝∠BED，
∴CM∥BE，
∴∠ACM＝180°﹣∠BAC＝90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF∠BAC＝45°，
∵ED∥AF，
∴∠CNM＝∠CAF＝45°，
∴∠M＝180°﹣∠CNM﹣∠ACM＝45°，
∴∠CNM＝∠M，
∴CN＝CM，
∴CN＝BE，
∵∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，
∴ABBC，
∵BE﹣AE＝ABBC，
∴CN﹣AEBC．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB＝b，且b+2a＝0．
（1）直接写出∠BAO的度数．
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6，求点M的坐标．
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，连接AF交BC于点P，求的值．
【思路点拔】（1）由题意得出AB＝2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，证明△ABC是等边三角形，则可得出结论；
（2）连接BM，证明△AQD≌△APO（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADQ＝∠AOP＝90°，证明△ABM为等边三角形，由等边三角形的性质得出OMAB＝3，则可得出答案；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，则∠BCA＝∠FMB，证明△BEC≌△FBM（AAS），由全等三角形的性质得出EC＝BM，BC＝MF，证明△PAC≌△PFM（AAS），得出PM＝PC，计算线段的比值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（a，0）在x轴负半轴上，
∴AO＝﹣a，
∵AB＝b，且b+2a＝0，
∴AB＝2OA，
在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，
∵OB⊥AC，
∴AB＝BC，
又∵AC＝2OA，
∴AC＝AB，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAO＝60°；
（2）连接BM，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，
∵∠BAO＝60°，
∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，
∵D为AB的中点，
∴ADAB，
∵∠ABO＝30°，
∴AOAB，
∴AD＝AO，
在△AQD和△APO中，
，
∴△AQD≌△APO（SAS），
∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，
即DQ⊥AB，
∴AM＝BM，
∴△ABM为等边三角形，
∴OMAB＝3，
∴M（3，0）；
（3）如图3，过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，则∠BCA＝∠FMB，
∵∠CBF＝∠AEB，
∴∠BEC＝∠MBF，
在△BEC和△FBM中，
，
∴△BEC≌△FBM（AAS），
∴EC＝BM，BC＝MF，
∵AC＝BC，
∴AC＝MF，
又∵E是OC的中点，设OC＝2a，
∴等边三角形ABC的边长是4a，OE＝EC＝a＝BM，
∵MF∥AC，
∴∠ACP＝∠PMF，
在△PAC和△PFM中，
，
∴△PAC≌△PFM（AAS），
∴PM＝PC，
又∵MC＝5a，
∴BPBMa，PCMCa，
∴．
