3.1椭圆 课时过关练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆 课时过关练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1002.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 23:07:50 | ||
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文档简介
3.1椭圆课时过关练习-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
2．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
6．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°），则（ ）
A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为
二、多选题
9．已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆C：， 是椭圆的左焦点，直线与C交于A、B两点（点A在第一象限），直线与椭圆C的另一个交点为E，则（ ）
A． B．当时，的面积为
C． D．的周长最大值为
11．已知曲线为椭圆，则（ ）
A．
B．若的焦点在轴上，则的焦距为
C．若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为
D．若的焦点在轴上，则的离心率为
三、填空题
12．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为 .
13．过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .
14．已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．
16．已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆，以的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设为原点，直线与交于不同的两点，且与轴交于点，点满足，过点的直线与的另一个交点为．
(1)求的方程及离心率；
(2)若轴，证明：是等腰直角三角形．
18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．
19．如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A C B D B ACD ACD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可．
【详解】方程表示椭圆，
，得，得且．
故选：D．
2．D
【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．
【详解】设，，，
则，，，
所以，所以，
将，两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
所以，则，
故选：D
3．D
【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距.
【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
所以该椭圆的焦距为或.
故选：D
4．A
【分析】设，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出的关系，化简可得的关系，最后根据离心率的定义求出结果.
【详解】设，因为，为的中点，
所以，，
由椭圆定义可得，
所以，
又因为，为的中点，
所以，，
设椭圆的半焦距为，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以椭圆C的离心率，
故选：A.
5．C
【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆定义可得，
故，
又，
则由余弦定理得，
故，
故.
故选：C
6．B
【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案.
【详解】，所以，所以轴，
因为，所以在椭圆内部，且，
所以，
即求的最大值，
由于，当三点共线时最大，
此时，，
所以.
故选：B.
7．D
【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案.
【详解】由，得，
因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，
直线过定点，
因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内部，
所以，解得，
综上所述，.
故选：D.
8．B
【分析】先求出，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率和焦距.
【详解】如图，伞沿的圆心位于点，伞柄底端位于点，为圆的直径，为椭圆形的左右顶点，
由题意可得，，则，
，即，
阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，
则，
，
在中，，即，
即，解得，而，故,
，故错误,B正确.；
，故D错误.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据椭圆的对称性，结合直线之间的对称性，可得答案.
【详解】由椭圆是关于轴、轴、原点对称，
对于A，由直线与直线关于轴对称，则A正确；
对于B，直线是由直线向上平移个单位，则B错误；
对于C，由直线与直线关于轴对称，则C正确；
对于D，由直线与直线关于原点对称，则D正确.
故选 ：ACD
10．ACD
【分析】由椭圆方程结合可判断A项；由可得，结合三角形面积公式可判断B项；设直线方程，联立直线和椭圆方程，结合两点间距离公式和韦达定理，运算求解即可判断C项；根据椭圆定义可判断D项.
【详解】由椭圆方程，可得，，，所以，所以A正确；
当时，点，点到距离为2，所以的面积为，所以B错误；
因为点A在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，
联立，化简可得，
设，，则，，
因为在椭圆上，则，即，
所以，
同理，
所以
，所以C正确；
设椭圆的右焦点，
当直线经过时，的周长为，
当直线不经过时，，所以的周长小于，
所以的周长最大值为，所以D正确.
故选：ACD
11．BD
【分析】根据已知列出关系式，求出的范围，以及得出的值，进而得出答案.
【详解】对于A项，由题意可知，解得或，故A项错误；
对于B项，当的焦点在轴上时，，所以的焦距为，故B项正确；
对于C项，当的焦点在轴上时，，
所以，则，所以，
则的短轴长的取值范围是，故C项错误；
对于D项，当的焦点在轴上时，，
所以的离心率为，故D项正确.
故选：BD.
12．(5，6)∪(6，7)
【分析】根据椭圆标准方程列式运算.
【详解】根据题意得，解得且.
故答案为：.
13．
【分析】根据点差法的知识，设点的坐标，代入曲线方程，作差，化简整理即可.
【详解】设则两式作差得
整理得
又是线段的中点，且直线的斜率为，
即
故答案为：.
14．
【分析】根据椭圆的定义，得到，得到P在线段上时，取得最小值，结合点到直线的距离，即可求解.
【详解】由椭圆，可得左焦点为，则，
于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值，
又由的最小值为点到直线的距离，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程；
（2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意可设，
则，即，且，可得，
所以椭圆方程为.
（2）设，
将直线与椭圆联立，得，解得或
所以弦长.
16．(1)；
(2)存在定点
【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解的值，进而得到椭圆方程；
（2）假设在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，设，，再设直线：，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合列式，求解的值，得到结论．
【详解】（1）由题意得，解得，
椭圆的标准方程为；
（2）
在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，
设，，直线：，，
联立，得，则，，
因为，恰好关于轴对称，所以，即，
即，即
整理可得，
则，即得，即．
故在轴上存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.
17．(1)，离心率为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得，再根据离心率公式即可；
（2），联立方程得到韦达定理式，再利用共线向量关系得，计算，代入韦达定理式得其为0，则，再设的中点，证明，从而得到其为等腰直角三角形.
【详解】（1）由题意.
因为.所以，
所以椭圆方程为，离心率为.
（2）设，联立方程，
消去得：.
依题意，得，则.
直线，令得，
又因为，所以.
因为轴，所以点B与点关于x轴对称，所以，
所以向量，，
则有
.
所以，所以.
设的中点为，则，.
，
由题意可知，故，所以，
因为点B与点关于轴对称，所以，
所以，
所以为等腰直角三角形.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线与椭圆方程得到，再计算的值，设的中点为，最后再证明即可.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程.
（2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积
【详解】（1）因为，长轴的长为4，
所以，，，所以椭圆的方程为．
（2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点.
所以l：，则点到直线l的距离为，
由得，
所以，，则，
所以．
19．(1)
(2)，此时、.
【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程；
（2）运用圆外定点到圆上的点的距离最大值为到圆心的距离加半径可得当三点共线，同时三点共线，最大，结合圆的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，，所以，
于是的方程为；
（2），
当三点共线，同时三点共线，有，、
由，，则此时，
故，，
则，同理可得.
一、单选题
1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
2．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
6．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°），则（ ）
A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为
二、多选题
9．已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆C：， 是椭圆的左焦点，直线与C交于A、B两点（点A在第一象限），直线与椭圆C的另一个交点为E，则（ ）
A． B．当时，的面积为
C． D．的周长最大值为
11．已知曲线为椭圆，则（ ）
A．
B．若的焦点在轴上，则的焦距为
C．若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为
D．若的焦点在轴上，则的离心率为
三、填空题
12．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为 .
13．过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .
14．已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．
16．已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆，以的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设为原点，直线与交于不同的两点，且与轴交于点，点满足，过点的直线与的另一个交点为．
(1)求的方程及离心率；
(2)若轴，证明：是等腰直角三角形．
18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．
19．如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A C B D B ACD ACD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可．
【详解】方程表示椭圆，
，得，得且．
故选：D．
2．D
【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．
【详解】设，，，
则，，，
所以，所以，
将，两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
所以，则，
故选：D
3．D
【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距.
【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
所以该椭圆的焦距为或.
故选：D
4．A
【分析】设，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出的关系，化简可得的关系，最后根据离心率的定义求出结果.
【详解】设，因为，为的中点，
所以，，
由椭圆定义可得，
所以，
又因为，为的中点，
所以，，
设椭圆的半焦距为，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以椭圆C的离心率，
故选：A.
5．C
【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆定义可得，
故，
又，
则由余弦定理得，
故，
故.
故选：C
6．B
【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案.
【详解】，所以，所以轴，
因为，所以在椭圆内部，且，
所以，
即求的最大值，
由于，当三点共线时最大，
此时，，
所以.
故选：B.
7．D
【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案.
【详解】由，得，
因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，
直线过定点，
因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内部，
所以，解得，
综上所述，.
故选：D.
8．B
【分析】先求出，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率和焦距.
【详解】如图，伞沿的圆心位于点，伞柄底端位于点，为圆的直径，为椭圆形的左右顶点，
由题意可得，，则，
，即，
阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，
则，
，
在中，，即，
即，解得，而，故,
，故错误,B正确.；
，故D错误.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据椭圆的对称性，结合直线之间的对称性，可得答案.
【详解】由椭圆是关于轴、轴、原点对称，
对于A，由直线与直线关于轴对称，则A正确；
对于B，直线是由直线向上平移个单位，则B错误；
对于C，由直线与直线关于轴对称，则C正确；
对于D，由直线与直线关于原点对称，则D正确.
故选 ：ACD
10．ACD
【分析】由椭圆方程结合可判断A项；由可得，结合三角形面积公式可判断B项；设直线方程，联立直线和椭圆方程，结合两点间距离公式和韦达定理，运算求解即可判断C项；根据椭圆定义可判断D项.
【详解】由椭圆方程，可得，，，所以，所以A正确；
当时，点，点到距离为2，所以的面积为，所以B错误；
因为点A在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，
联立，化简可得，
设，，则，，
因为在椭圆上，则，即，
所以，
同理，
所以
，所以C正确；
设椭圆的右焦点，
当直线经过时，的周长为，
当直线不经过时，，所以的周长小于，
所以的周长最大值为，所以D正确.
故选：ACD
11．BD
【分析】根据已知列出关系式，求出的范围，以及得出的值，进而得出答案.
【详解】对于A项，由题意可知，解得或，故A项错误；
对于B项，当的焦点在轴上时，，所以的焦距为，故B项正确；
对于C项，当的焦点在轴上时，，
所以，则，所以，
则的短轴长的取值范围是，故C项错误；
对于D项，当的焦点在轴上时，，
所以的离心率为，故D项正确.
故选：BD.
12．(5，6)∪(6，7)
【分析】根据椭圆标准方程列式运算.
【详解】根据题意得，解得且.
故答案为：.
13．
【分析】根据点差法的知识，设点的坐标，代入曲线方程，作差，化简整理即可.
【详解】设则两式作差得
整理得
又是线段的中点，且直线的斜率为，
即
故答案为：.
14．
【分析】根据椭圆的定义，得到，得到P在线段上时，取得最小值，结合点到直线的距离，即可求解.
【详解】由椭圆，可得左焦点为，则，
于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值，
又由的最小值为点到直线的距离，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程；
（2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意可设，
则，即，且，可得，
所以椭圆方程为.
（2）设，
将直线与椭圆联立，得，解得或
所以弦长.
16．(1)；
(2)存在定点
【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解的值，进而得到椭圆方程；
（2）假设在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，设，，再设直线：，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合列式，求解的值，得到结论．
【详解】（1）由题意得，解得，
椭圆的标准方程为；
（2）
在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，
设，，直线：，，
联立，得，则，，
因为，恰好关于轴对称，所以，即，
即，即
整理可得，
则，即得，即．
故在轴上存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.
17．(1)，离心率为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得，再根据离心率公式即可；
（2），联立方程得到韦达定理式，再利用共线向量关系得，计算，代入韦达定理式得其为0，则，再设的中点，证明，从而得到其为等腰直角三角形.
【详解】（1）由题意.
因为.所以，
所以椭圆方程为，离心率为.
（2）设，联立方程，
消去得：.
依题意，得，则.
直线，令得，
又因为，所以.
因为轴，所以点B与点关于x轴对称，所以，
所以向量，，
则有
.
所以，所以.
设的中点为，则，.
，
由题意可知，故，所以，
因为点B与点关于轴对称，所以，
所以，
所以为等腰直角三角形.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线与椭圆方程得到，再计算的值，设的中点为，最后再证明即可.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程.
（2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积
【详解】（1）因为，长轴的长为4，
所以，，，所以椭圆的方程为．
（2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点.
所以l：，则点到直线l的距离为，
由得，
所以，，则，
所以．
19．(1)
(2)，此时、.
【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程；
（2）运用圆外定点到圆上的点的距离最大值为到圆心的距离加半径可得当三点共线，同时三点共线，最大，结合圆的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，，所以，
于是的方程为；
（2），
当三点共线，同时三点共线，有，、
由，，则此时，
故，，
则，同理可得.