3.2双曲线 课时过关练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线 课时过关练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 976.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 23:09:25 | ||
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文档简介
3.2双曲线课时过关练习-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．设双曲线，的离心率分别为，.若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
6．函数的图象如图，已知此函数的图象是以直线和为渐近线的双曲线，设它的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
7．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于对称
B．曲线C上存在点P，使
C．直线与曲线C无公共点
D．点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值
11．已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
三、填空题
12．已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 .
13．已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ．
14．如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
15．已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围．
16．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由.
17．已知双曲线，，斜率为的直线过点.
(1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
(2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.
18．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点.
①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值；
②满足，求直线方程.
19．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.
(1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
(2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D B C A C BD BCD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】根据基本量的关系可求实数的值.
【详解】双曲线方程可化为：，其中，
因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故，
故选：D.
2．A
【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【详解】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
3．A
【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案.
【详解】双曲线的渐近线方程是，即.
故选：A.
4．D
【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为，
所以圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以，即，所以，
即该双曲线的离心率为.
故选：D.
5．B
【分析】根据离心率列方程，从而求得.
【详解】，，因为，所以，解得.
故选：B
6．C
【分析】根据已知条件得到双曲线的渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得.
【详解】由题意知双曲线的两条渐近线之间的夹角为，
若其等价于标准形式，
则其两条渐近线之间的夹角为，设渐近线与实轴之间的夹角为，
则，所以，则，
由，解得或（舍），
故，所以.
故选：C.
7．A
【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论.
【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，
因为、比处同时晚收到信号，所以有，
从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，
如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，，
所以，双曲线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即点，
从而，所以，直线的倾斜角为，
则在处测得的方向角为北偏东，
故选：A.
8．C
【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案.
【详解】如图：
因为为右支上一点，所以.
因为为坐标原点，为线段的中点，所以，，
则.
故选：C
9．BD
【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A，C选项错误；将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解．
【详解】双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确.
故选：BD.
10．BCD
【分析】分，，和四种情况，求出曲线的方程，再根据椭圆和双曲线的定义与性质即可判断BC；判断是否在曲线上，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算即可判断D.
【详解】当时，曲线，
表示焦点在轴上的椭圆第一象限的部分，
当时，曲线，
表示焦点在轴上的双曲线第四象限的部分，
其渐近线方程为，焦点为，，
当时，曲线，
表示焦点在轴上的双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为，
当时，曲线，不表示任何图形，
对于A，因为，
所以点不在曲线上，所以曲线C不关于对称，故A错误；
对于B，当点在第四象限时，，故B正确；
对于C，由上可知直线与曲线C无公共点，故C正确；
对于D，设，则，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
11．ABD
【分析】对于A：证明为矩形即可判断；
对于B：利用渐近线的性质结合离心率的公式即可判断；
对于C：计算出，将转化成再结合渐近线的性质即可判断；
对于D：根据双曲线的定义即三角形边的关系即可判断.
【详解】设双曲线的右焦点为，因为直线过原点，所以为平行四边形，
对于A：因为，所以为矩形，所以，故A正确；
对于B：若，由渐近线的性质可知：，所以，故B正确；
对于C：，由渐近线的性质可知，在中，，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】利用给定条件和椭圆中基本量的关系求出双曲线中基本量的关系，再得到渐近线方程即可.
【详解】在中，，所以，
因为双曲线与椭圆的焦距相等，
所以在双曲线中，，
因为其中一个顶点坐标为，所以，
故，所以的渐近线方程为.
故答案为：
13．
【分析】由双曲线方程得出，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得，再计算即可．
【详解】由题可得，渐近线方程为，
不妨取，即，
所以，
所以，
故答案为：．
14．
【分析】先设坐标再应用坐标的线性运算，最后结合数量积公式计算得出齐次式求出离心率.
【详解】设，，
因为，所以，
又，所以，则，
因为，所以
又，所以，所以，
则，则
故答案为:
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程；
（2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与,
故设双曲线方程为：，
因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：.
（2）由可得，
因为直线与双曲线右支交于不同两点，
所以，故.
16．(1)（且）
(2)不可以，理由见解析
【分析】（1）由斜率公式化简即可得解；
（2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解.
【详解】（1）由题意，显然且，
所以的方程为（且）；
（2）设在曲线上（），且中点为，
则（且），
所以，
所以直线为即，，
联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾，
故不符合题意；
设在曲线上（），且中点为，
但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾；
综上所述，不存在满足题意的直线的方程.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值；
（2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解.
【详解】（1）当时，，
则直线的方程为，
又双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；
当时，
联立方程组，
得，
，
解得；
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
（2）由双曲线，
则，，，
又点在双曲线上，即，即，
在中，
由余弦定理，
即，
解得，
所以的面积.
18．(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程；
（2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程.
【详解】（1）由已知，，动点满足，
则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义，
即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
即轨迹方程为；
（2）
①设点，，中点，
则，，
又点，在曲线上，
则，作差可得，
即，
则；
②设直线，
联立直线与双曲线，得，
恒成立，
且，，
又，，，
则，
则，，
所以，
解得，，
即直线方程为，
即或.
【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19．(1)的长度最短，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案；
（2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案.
【详解】（1）由题意可得，，，
，，
路线的长度：，
路线的长度：，
因为，则路线的长度最短.
（2）设点，已知，
可得，
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
则点的轨迹方程为.
一、单选题
1．双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．设双曲线，的离心率分别为，.若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
6．函数的图象如图，已知此函数的图象是以直线和为渐近线的双曲线，设它的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
7．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于对称
B．曲线C上存在点P，使
C．直线与曲线C无公共点
D．点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值
11．已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
三、填空题
12．已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 .
13．已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ．
14．如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
15．已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围．
16．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由.
17．已知双曲线，，斜率为的直线过点.
(1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
(2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.
18．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点.
①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值；
②满足，求直线方程.
19．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.
(1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
(2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D B C A C BD BCD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】根据基本量的关系可求实数的值.
【详解】双曲线方程可化为：，其中，
因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故，
故选：D.
2．A
【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【详解】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
3．A
【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案.
【详解】双曲线的渐近线方程是，即.
故选：A.
4．D
【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为，
所以圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以，即，所以，
即该双曲线的离心率为.
故选：D.
5．B
【分析】根据离心率列方程，从而求得.
【详解】，，因为，所以，解得.
故选：B
6．C
【分析】根据已知条件得到双曲线的渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得.
【详解】由题意知双曲线的两条渐近线之间的夹角为，
若其等价于标准形式，
则其两条渐近线之间的夹角为，设渐近线与实轴之间的夹角为，
则，所以，则，
由，解得或（舍），
故，所以.
故选：C.
7．A
【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论.
【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，
因为、比处同时晚收到信号，所以有，
从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，
如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，，
所以，双曲线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即点，
从而，所以，直线的倾斜角为，
则在处测得的方向角为北偏东，
故选：A.
8．C
【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案.
【详解】如图：
因为为右支上一点，所以.
因为为坐标原点，为线段的中点，所以，，
则.
故选：C
9．BD
【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A，C选项错误；将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解．
【详解】双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确.
故选：BD.
10．BCD
【分析】分，，和四种情况，求出曲线的方程，再根据椭圆和双曲线的定义与性质即可判断BC；判断是否在曲线上，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算即可判断D.
【详解】当时，曲线，
表示焦点在轴上的椭圆第一象限的部分，
当时，曲线，
表示焦点在轴上的双曲线第四象限的部分，
其渐近线方程为，焦点为，，
当时，曲线，
表示焦点在轴上的双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为，
当时，曲线，不表示任何图形，
对于A，因为，
所以点不在曲线上，所以曲线C不关于对称，故A错误；
对于B，当点在第四象限时，，故B正确；
对于C，由上可知直线与曲线C无公共点，故C正确；
对于D，设，则，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
11．ABD
【分析】对于A：证明为矩形即可判断；
对于B：利用渐近线的性质结合离心率的公式即可判断；
对于C：计算出，将转化成再结合渐近线的性质即可判断；
对于D：根据双曲线的定义即三角形边的关系即可判断.
【详解】设双曲线的右焦点为，因为直线过原点，所以为平行四边形，
对于A：因为，所以为矩形，所以，故A正确；
对于B：若，由渐近线的性质可知：，所以，故B正确；
对于C：，由渐近线的性质可知，在中，，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】利用给定条件和椭圆中基本量的关系求出双曲线中基本量的关系，再得到渐近线方程即可.
【详解】在中，，所以，
因为双曲线与椭圆的焦距相等，
所以在双曲线中，，
因为其中一个顶点坐标为，所以，
故，所以的渐近线方程为.
故答案为：
13．
【分析】由双曲线方程得出，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得，再计算即可．
【详解】由题可得，渐近线方程为，
不妨取，即，
所以，
所以，
故答案为：．
14．
【分析】先设坐标再应用坐标的线性运算，最后结合数量积公式计算得出齐次式求出离心率.
【详解】设，，
因为，所以，
又，所以，则，
因为，所以
又，所以，所以，
则，则
故答案为:
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程；
（2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与,
故设双曲线方程为：，
因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：.
（2）由可得，
因为直线与双曲线右支交于不同两点，
所以，故.
16．(1)（且）
(2)不可以，理由见解析
【分析】（1）由斜率公式化简即可得解；
（2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解.
【详解】（1）由题意，显然且，
所以的方程为（且）；
（2）设在曲线上（），且中点为，
则（且），
所以，
所以直线为即，，
联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾，
故不符合题意；
设在曲线上（），且中点为，
但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾；
综上所述，不存在满足题意的直线的方程.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值；
（2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解.
【详解】（1）当时，，
则直线的方程为，
又双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；
当时，
联立方程组，
得，
，
解得；
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
（2）由双曲线，
则，，，
又点在双曲线上，即，即，
在中，
由余弦定理，
即，
解得，
所以的面积.
18．(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程；
（2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程.
【详解】（1）由已知，，动点满足，
则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义，
即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
即轨迹方程为；
（2）
①设点，，中点，
则，，
又点，在曲线上，
则，作差可得，
即，
则；
②设直线，
联立直线与双曲线，得，
恒成立，
且，，
又，，，
则，
则，，
所以，
解得，，
即直线方程为，
即或.
【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19．(1)的长度最短，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案；
（2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案.
【详解】（1）由题意可得，，，
，，
路线的长度：，
路线的长度：，
因为，则路线的长度最短.
（2）设点，已知，
可得，
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
则点的轨迹方程为.