3.3抛物线 课时过关练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3抛物线 课时过关练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 23:10:32 | ||
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文档简介
3.3抛物线课时过关练习-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．抛物线C：的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（ ）
A． B．5 C． D．4
4．抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（ ）
A． B．弦的中点到轴的距离为
C． D．点的坐标为
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形
C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形
7．设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．
C．A，O，三点共线 D．
10．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有（ ）
A．轴 B．
C．以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D．面积的最小值为
11．抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ）
A．与圆相切 B．当时，
C．的最小值为 D．满足的点有且仅有2个
三、填空题
12．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 .
13．已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ．
14．如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米.
四、解答题
15．已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)为上异于原点的两点，以为直径的圆过焦点，求最小值．
16．过抛物线C：（）的焦点F且垂直于y轴的直线与C交于A，B两点，若．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线C交于P，Q两点，求证：．
17．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）.
(1)若，求直线的倾斜角；
(2)若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程.
18．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值.
19．已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
(3)已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C C B C AC ABD
题号 11
答案 AD
1．C
【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出焦点坐标.
【详解】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为.
故选：C
2．D
【分析】根据抛物线的标准方程求出准线方程即可.
【详解】抛物线的准线方程为，
故选：D.
3．B
【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值.
【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行，
设直线的方程为，
由，消去并化简得，
，
解得，设，
则，
，
所以.
故选：B
4．D
【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C．
【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为，
由题意，所以，即，故A正确；
对于D，如图：过点作垂直于轴，
因为，所以，
因为，所以，
所以，代入可得，故D错误；
不妨设点在轴下方，
则，所以直线的方程为：，即，
由得，
所以，
对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确；
对于C，，故C正确.
故选：D
5．C
【分析】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，可得，可求，进而可得，求解即可．
【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
则．根据抛物线定义知，，
又若，且，
因为，设，
则，，又，解得，，
所以，
因为，
所以，，解得．
故选:C
6．C
【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设，
则，焦点，
A选项，当时，解得，所以，
则，是直角三角形，A选项正确.
B选项，当时，解得，所以，
由于，所以关于直线对称，而，
所以此时是等腰三角形.
对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形，
则，则，
此时，，
所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.
故选：C
7．B
【分析】根据抛物线的几何性质，求点的坐标，即可求三角形的面积.
【详解】如图：由题意得，到的距离为，，
即点在线段的垂直平分线上，
所以点的横坐标为2，不妨设点在轴上方，代入得，，
所以面积为.
故选：B
8．C
【分析】证明，根据基本不等式求的最小值.
【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F，
所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明），
所以，
当且仅当时取“=”.
故选：C.
9．AC
【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D.
【详解】易知，准线方程，不妨设，
与抛物线方程联立有，所以，
而，故A正确；
易知，则，
显然，即，故B错误；
易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确；
由抛物线定义可知，
由上知，所以，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【分析】设直线，联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点D的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定义分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线，
显然直线的斜率可以不存在，但不为0，此时直线与抛物线必相交，
设直线，
联立方程，消去x可得，
可得.
对于选项A：可知直线，
令，可得，即，
所以轴，故A正确；
对于选项B：同理可得：，轴，
则，可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
由梯形中位线可知：以为直径的圆的圆心到准线的距离为，
即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误；
对于选项D：因为，
可得面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）.
11．AD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和圆相切，A选项正确；
B选项，当时，，此时，故或，
当时，，则；
当时，，；
故或，B选项错误；
C选项，，
当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误；
D选项， 设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：AD.
12．4
【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长.
【详解】由题设，抛物线焦点为，即，
令，则，故.
故答案为：4
13． 3
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，焦点．
过点作准线的垂线，垂足为.由题可知.
依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3.
如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得，
所以点的坐标为.
故答案为：3，
14．725
【分析】建系，得到相应抛物线方程即可求解.
【详解】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设抛物线的方程为，则100，解得，
所以抛物线的准线方程为.
故答案为：725
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的焦点到准线的距离为，求出的值，可得抛物线的方程；
（2）设出直线，联立抛物线方程，借助韦达定理及，
找到的关系，表示出的面积，整理计算即可.
【详解】（1）焦点到准线的距离为抛物线方程为.
（2）因为，由题知直线的斜率不可能为零，
设直线，
由，可得，
所以．
因为所以，
即，
，
将代入得，
，
所以且，解得：或，
设点到直线的距离为，所以，
,
即，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知可得，即可得出抛物线的方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理与数量积运算证明即可.
【详解】（1）由抛物线的通径得，
则抛物线的方程.
（2）设，
由，得，
由韦达定理得，
故，
所以.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由抛物线定义求出的坐标，结合斜率与倾斜角的关系即可得解.
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程结合韦达定理、抛物线定义得以线段为直径的圆的圆心、半径，结合原点到直线的距离为得参数即可得解.
【详解】（1）由题意得抛物线的焦点，准线分别为，
所以由抛物线定义可知，又，
所以解得（负值舍去），
直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
（2）由题意直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在则原点到直线的距离为，矛盾），
所以设直线的方程为，
联立抛物线方程，化简得，显然，
，
所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，
因为原点到直线的距离为，
所以，解得，
所以圆心、半径分别为，
或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出和的坐标，并得到的中垂线方程，得到，表达出，求出的最小值.
【详解】（1）的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，
不妨取，即.
由点到直线的距离公式得，得，
所以抛物线的方程为.
（2）由(1)知，，.
当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
直线斜率不为0，故设直线的方程为，
联立消去并整理，得，，
设，，则，，
，
∴.
易得点的坐标为，
∴的中垂线方程为，
令得，
∴，
从而，
∴，
∴当且仅当时，取最小值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意代入坐标可得的值，从而得到抛物线方程
（2）然后再依据定义求得线段的中点到轴的距离．
（3）设过点的直线的方程为，代入利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求的值．
【详解】（1）由题知，又，所以，解得.
所以抛物线的方程为．
（2）．
线段的中点到轴的距离为．
（3）证明：设过点的直线的方程为，
即，代入，得，
设，，
则，，
所以，
，
所以为定值．
一、单选题
1．抛物线C：的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（ ）
A． B．5 C． D．4
4．抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（ ）
A． B．弦的中点到轴的距离为
C． D．点的坐标为
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形
C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形
7．设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．
C．A，O，三点共线 D．
10．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有（ ）
A．轴 B．
C．以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D．面积的最小值为
11．抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ）
A．与圆相切 B．当时，
C．的最小值为 D．满足的点有且仅有2个
三、填空题
12．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 .
13．已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ．
14．如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米.
四、解答题
15．已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)为上异于原点的两点，以为直径的圆过焦点，求最小值．
16．过抛物线C：（）的焦点F且垂直于y轴的直线与C交于A，B两点，若．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线C交于P，Q两点，求证：．
17．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）.
(1)若，求直线的倾斜角；
(2)若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程.
18．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值.
19．已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
(3)已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C C B C AC ABD
题号 11
答案 AD
1．C
【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出焦点坐标.
【详解】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为.
故选：C
2．D
【分析】根据抛物线的标准方程求出准线方程即可.
【详解】抛物线的准线方程为，
故选：D.
3．B
【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值.
【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行，
设直线的方程为，
由，消去并化简得，
，
解得，设，
则，
，
所以.
故选：B
4．D
【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C．
【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为，
由题意，所以，即，故A正确；
对于D，如图：过点作垂直于轴，
因为，所以，
因为，所以，
所以，代入可得，故D错误；
不妨设点在轴下方，
则，所以直线的方程为：，即，
由得，
所以，
对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确；
对于C，，故C正确.
故选：D
5．C
【分析】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，可得，可求，进而可得，求解即可．
【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
则．根据抛物线定义知，，
又若，且，
因为，设，
则，，又，解得，，
所以，
因为，
所以，，解得．
故选:C
6．C
【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设，
则，焦点，
A选项，当时，解得，所以，
则，是直角三角形，A选项正确.
B选项，当时，解得，所以，
由于，所以关于直线对称，而，
所以此时是等腰三角形.
对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形，
则，则，
此时，，
所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.
故选：C
7．B
【分析】根据抛物线的几何性质，求点的坐标，即可求三角形的面积.
【详解】如图：由题意得，到的距离为，，
即点在线段的垂直平分线上，
所以点的横坐标为2，不妨设点在轴上方，代入得，，
所以面积为.
故选：B
8．C
【分析】证明，根据基本不等式求的最小值.
【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F，
所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明），
所以，
当且仅当时取“=”.
故选：C.
9．AC
【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D.
【详解】易知，准线方程，不妨设，
与抛物线方程联立有，所以，
而，故A正确；
易知，则，
显然，即，故B错误；
易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确；
由抛物线定义可知，
由上知，所以，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【分析】设直线，联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点D的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定义分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线，
显然直线的斜率可以不存在，但不为0，此时直线与抛物线必相交，
设直线，
联立方程，消去x可得，
可得.
对于选项A：可知直线，
令，可得，即，
所以轴，故A正确；
对于选项B：同理可得：，轴，
则，可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
由梯形中位线可知：以为直径的圆的圆心到准线的距离为，
即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误；
对于选项D：因为，
可得面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）.
11．AD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和圆相切，A选项正确；
B选项，当时，，此时，故或，
当时，，则；
当时，，；
故或，B选项错误；
C选项，，
当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误；
D选项， 设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：AD.
12．4
【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长.
【详解】由题设，抛物线焦点为，即，
令，则，故.
故答案为：4
13． 3
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，焦点．
过点作准线的垂线，垂足为.由题可知.
依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3.
如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得，
所以点的坐标为.
故答案为：3，
14．725
【分析】建系，得到相应抛物线方程即可求解.
【详解】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设抛物线的方程为，则100，解得，
所以抛物线的准线方程为.
故答案为：725
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的焦点到准线的距离为，求出的值，可得抛物线的方程；
（2）设出直线，联立抛物线方程，借助韦达定理及，
找到的关系，表示出的面积，整理计算即可.
【详解】（1）焦点到准线的距离为抛物线方程为.
（2）因为，由题知直线的斜率不可能为零，
设直线，
由，可得，
所以．
因为所以，
即，
，
将代入得，
，
所以且，解得：或，
设点到直线的距离为，所以，
,
即，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知可得，即可得出抛物线的方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理与数量积运算证明即可.
【详解】（1）由抛物线的通径得，
则抛物线的方程.
（2）设，
由，得，
由韦达定理得，
故，
所以.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由抛物线定义求出的坐标，结合斜率与倾斜角的关系即可得解.
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程结合韦达定理、抛物线定义得以线段为直径的圆的圆心、半径，结合原点到直线的距离为得参数即可得解.
【详解】（1）由题意得抛物线的焦点，准线分别为，
所以由抛物线定义可知，又，
所以解得（负值舍去），
直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
（2）由题意直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在则原点到直线的距离为，矛盾），
所以设直线的方程为，
联立抛物线方程，化简得，显然，
，
所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，
因为原点到直线的距离为，
所以，解得，
所以圆心、半径分别为，
或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出和的坐标，并得到的中垂线方程，得到，表达出，求出的最小值.
【详解】（1）的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，
不妨取，即.
由点到直线的距离公式得，得，
所以抛物线的方程为.
（2）由(1)知，，.
当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
直线斜率不为0，故设直线的方程为，
联立消去并整理，得，，
设，，则，，
，
∴.
易得点的坐标为，
∴的中垂线方程为，
令得，
∴，
从而，
∴，
∴当且仅当时，取最小值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意代入坐标可得的值，从而得到抛物线方程
（2）然后再依据定义求得线段的中点到轴的距离．
（3）设过点的直线的方程为，代入利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求的值．
【详解】（1）由题知，又，所以，解得.
所以抛物线的方程为．
（2）．
线段的中点到轴的距离为．
（3）证明：设过点的直线的方程为，
即，代入，得，
设，，
则，，
所以，
，
所以为定值．