四川省成都市2024-2025学年高二上学期11月诊断性评价数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省成都市2024-2025学年高二上学期11月诊断性评价数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 730.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 07:06:56 | ||
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文档简介
成都高2023级11月诊断性评价试题
数 学
（时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中，只有一项是正确的．）
1．已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率可能是0.2
B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是4
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是27
D．若数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差是4
4．已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．
5．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥，与相互对立
B．
C．但不满足两两独立
D．且两两相互独立
8．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．若，，直线过且与线段相交，则的斜率
10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球的体积为
B．平面被球截得的截面圆的面积为
存在点，使得平面
当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点为，，过左焦点斜率存在且不为的直线交椭圆于两点，过的切线为，的中点为,若，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置．
12．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
13．如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量= ．
14．已知过动点向圆作两条相互垂直的切线，记动点的轨迹为曲线，过定点作两条相互垂直的射线交分别为，线段的中点为，则动点的轨迹曲线为 ；过点分别作曲线的两条切线，切点为,则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的夹角的余弦值．
16．（本小题15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）求样本成绩的第百分位数；
（Ⅲ）已知落在 的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
17.（本小题15分）设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若．
（i）当时，求的面积；
（ii）求的取值范围．
18.（本小题17分）甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
（Ⅰ）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
19（本小题17分）已知圆与轴分别相交于，过点的直线交圆于．
（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于,在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D C A C C A BCD ABD ABD
12． 13． 14． ；
15． 解：（Ⅰ）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，........................1分
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，...............2分
设，则，
，，...............................................................................3分
由，得，...............................................................4分
又，且平面，...........................................5分
所以平面..................................................................................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面.
则平面的一个法向量为，.......................8分
设为直线与平面所成的角
因此，............................................................................10分
而，则，...............................................................................12分
所以平面直线与平面的夹角的余弦值为.......................................13分
16.解：（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，
解得. …………………4分
（2）成绩在内的频率为，
在内的频率为， …………………6分
故第75百分位数，
由，解得，
所以第75百分位数为84. …………………9分
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为， …………………11分
所以， …………13分
总方差为. …………………15分
17.（1）（注：未除去左右顶点情形的扣1分）
设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率是
同理，直线的斜率是 ····························2分
由已知，有
化简，得点的轨迹方程是 ··························4分
点的轨迹是除去两点的椭圆 ····························5分
（2）设
， ····························6分
在 中，由余弦定理得：
····8分
························10分
（3）（注：未除去左右顶点情形的扣1分）
设，则，即 ················11分
··················13分
····························15分
18.（1）若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜； …………………1分
若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以 …………………3分
若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，所以 …………………5分
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； …………………7分
若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2次，则概率； …………………9分
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
则 …………………11分
甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
则 …………………13分
甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
则 …………………15分
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率
…………………17分
19.（1）易知直线的斜率不为0，设，即
则圆心到直线的距离，又 2分
即，解得，所以直线的方程为 4分
（2）易知直线的斜率不为0，设，即
由（1），，，又，化简得
令，则
，又 5分
故最大时，，故此时 6分
建立空间直角坐标系，如图，则，，
，设平面的法向量为，易得7分
设，则，
设平面的法向量为，易得
，解得10分
（3）设
联立，化简得
12分
设，
联立，得
又，代入得
即点在定直线上14分
易得，15分
联立，化简得
设，则
所以，同理，在定直线上
所以与重合. 17分
数 学
（时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中，只有一项是正确的．）
1．已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率可能是0.2
B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是4
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是27
D．若数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差是4
4．已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．
5．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥，与相互对立
B．
C．但不满足两两独立
D．且两两相互独立
8．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．若，，直线过且与线段相交，则的斜率
10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球的体积为
B．平面被球截得的截面圆的面积为
存在点，使得平面
当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点为，，过左焦点斜率存在且不为的直线交椭圆于两点，过的切线为，的中点为,若，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置．
12．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
13．如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量= ．
14．已知过动点向圆作两条相互垂直的切线，记动点的轨迹为曲线，过定点作两条相互垂直的射线交分别为，线段的中点为，则动点的轨迹曲线为 ；过点分别作曲线的两条切线，切点为,则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的夹角的余弦值．
16．（本小题15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）求样本成绩的第百分位数；
（Ⅲ）已知落在 的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
17.（本小题15分）设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若．
（i）当时，求的面积；
（ii）求的取值范围．
18.（本小题17分）甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
（Ⅰ）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
19（本小题17分）已知圆与轴分别相交于，过点的直线交圆于．
（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于,在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D C A C C A BCD ABD ABD
12． 13． 14． ；
15． 解：（Ⅰ）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，........................1分
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，...............2分
设，则，
，，...............................................................................3分
由，得，...............................................................4分
又，且平面，...........................................5分
所以平面..................................................................................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面.
则平面的一个法向量为，.......................8分
设为直线与平面所成的角
因此，............................................................................10分
而，则，...............................................................................12分
所以平面直线与平面的夹角的余弦值为.......................................13分
16.解：（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，
解得. …………………4分
（2）成绩在内的频率为，
在内的频率为， …………………6分
故第75百分位数，
由，解得，
所以第75百分位数为84. …………………9分
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为， …………………11分
所以， …………13分
总方差为. …………………15分
17.（1）（注：未除去左右顶点情形的扣1分）
设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率是
同理，直线的斜率是 ····························2分
由已知，有
化简，得点的轨迹方程是 ··························4分
点的轨迹是除去两点的椭圆 ····························5分
（2）设
， ····························6分
在 中，由余弦定理得：
····8分
························10分
（3）（注：未除去左右顶点情形的扣1分）
设，则，即 ················11分
··················13分
····························15分
18.（1）若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜； …………………1分
若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以 …………………3分
若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，所以 …………………5分
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； …………………7分
若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2次，则概率； …………………9分
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
则 …………………11分
甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
则 …………………13分
甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
则 …………………15分
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率
…………………17分
19.（1）易知直线的斜率不为0，设，即
则圆心到直线的距离，又 2分
即，解得，所以直线的方程为 4分
（2）易知直线的斜率不为0，设，即
由（1），，，又，化简得
令，则
，又 5分
故最大时，，故此时 6分
建立空间直角坐标系，如图，则，，
，设平面的法向量为，易得7分
设，则，
设平面的法向量为，易得
，解得10分
（3）设
联立，化简得
12分
设，
联立，得
又，代入得
即点在定直线上14分
易得，15分
联立，化简得
设，则
所以，同理，在定直线上
所以与重合. 17分
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