人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.1.1 反比例函数
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.1.1 反比例函数 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 8.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 12:12:03 | ||
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标
1.理解反比例函数的概念；
2.根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数的关系式.
3.能利用反比例函数的意义分析简单的问题
老师告诉你
反比例函数的几种不同表示形式：
1.xy=k（定值）、、 （k≠0）
2.反比例函数的特征
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
一、知识点拨
知识点一 、反比例函数的概念
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 y=(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）y= (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.
【新知导学】
【例1-1】．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】．下列几组量中，不成反比例的为（ ）
A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差
C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻
【例1-3】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：
(1)关于的函数解析式及定义域；
(2)当时的函数值．
【对应导练】
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ．
x 10 ？
y 3 5
3．若是反比例函数，那么m的值是 ．
4．若是反比例函数，则的值为 ．
5．已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式．
知识点二 、反比例函数的解析式
xy=k（定值）、、 （k≠0）
1.反比例函数解析式的特征:
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
2.待定系数法求反比例函数解析式
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。
【新知导学】
【例2-1】．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．8
【例2-2】．在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
2．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
3．若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ．
4．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ．
5．双曲线经过点，则代数式的值为 ．
知识点三 用反比例函数描述数量关系
根据问题中的数量关系，根据数量关系转化为反比例函数
【新知导学】
【例3-1】．下列关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定时，相邻两边的长
B．三角形面积一定时，它的底和高
C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D．一个人的跑步速度与他的体重
【例3-2】．如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【对应导练】
1．下面每组中的两种量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．利率一定，存款的本金和利息
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．折扣一定，商品的原价和折后价
2．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（ ）
A．与成反比例： B．与成反比例：
C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为
3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
4．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
二、题型训练
1.判断是否反比例函数
1．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
2．河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
3．已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空．
第1组：
0 5 10
10 5 0
【观察】和同时呈现等差变化
【得出结论】是的 函数
第2组：
1 2
10 5
【观察】与的乘积均为10
【得出结论】是的 函数
第3组：
1 2 3 6
【观察】与的乘积均为
【得出结论】是的 函数
第4组：
0 1 2
12
【观察】当和时，的值均为
【得出结论】是的 函数
第5组：
0 3
0
【观察】随着的增大，的值先增大后减小
【得出结论】是的 函数
第6组：
1 2
1 0 4 9
【观察】随着的增大，的值先减小后增大
【得出结论】是的 函数
第7组：
2 4
0 3 5
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
第8组：
0 1 2 4
0 2 8
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
确定反比例函数解析式
4．已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
6．已知函数是反比例函数，则
3.实际问题中的反比例函数
7．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
8．某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在表格中记出表示年①号田和②号田年产量情况
（记2018年为第1年度，x表示年度，v表示年产量）．
近五年①号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
近五年②号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.9 2.6 3.1 3.4 3.5
小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
2．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（ ）
A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y
3．已知双曲线经过点，则它还经过的点是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，反比例函数 的函数值为（ ）
A． B． C． D．
5．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
6．下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
8．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为 ．
10．若函数是反比例函数，则的值是 ．
11．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
12．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
13．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
15．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
16．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
18．已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．
19．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连．
(1)写出B点的坐标；
(2)填写下表：
时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6
的长度
的长度
的长度
四边形的面积
①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
(3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标
1.理解反比例函数的概念；
2.根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数的关系式.
3.能利用反比例函数的意义分析简单的问题
老师告诉你
反比例函数的几种不同表示形式：
1.xy=k（定值）、、 （k≠0）
2.反比例函数的特征
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
一、知识点拨
知识点一 、反比例函数的概念
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 y=(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）y= (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.
【新知导学】
【例1-1】．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（是常数，）叫做反比例函数．根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A. 是正比例函数，故A不符合题意；
B. 是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D. ，y不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【例1-2】．下列几组量中，不成反比例的为（ ）
A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差
C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻
【答案】B
【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积一定时，两个变量成反比例，进行判断即可．
【详解】解：A、工作总量一定，工作效率和工作时间的乘积为定值，成反比例，不符合题意；
B、减数一定，被减数和差的差值一定，不成反比例，符合题意；
C、面积一定，平行四边形的底和高的乘积为定值，成反比例，不符合题意；
D、电压一定时，电流与电阻的乘积为定值，成反比例，不符合题意；
故选B．
【例1-3】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：
(1)关于的函数解析式及定义域；
(2)当时的函数值．
【答案】(1)
(2)28
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
（1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例
设，
当时，；当时，
解得：，
（2）解：由（1）可知，，则
当时，．
【对应导练】
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可．
【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意；
D、∵，
∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
故选：C
2．如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ．
x 10 ？
y 3 5
【答案】6
【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键．
设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得．
【详解】解：设x和y的反比例关系式为，
把，代入关系式，得，
所以，x和y的关系式为，
把代入关系式，得，
解得，
故“？”处应填6，
故答案为：6．
3．若是反比例函数，那么m的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：是反比例函数，
，且，
，
故答案为：．
4．若是反比例函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可．
【详解】解：函数是反比例函数，
且，
解得，
故答案为：．
5．已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设，，则有，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式
【详解】解：设，，则，
把和，代入得：
，解得，
∴．
知识点二 、反比例函数的解析式
xy=k（定值）、、 （k≠0）
1.反比例函数解析式的特征:
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
2.待定系数法求反比例函数解析式
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。
【新知导学】
【例2-1】．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【例2-2】．在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系．根据反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系求解即可．
【详解】解：A、将代入得：，∴在双曲线上，符合题意；
B、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意；
C、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意；
D、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意；
故选：A．
【对应导练】
1．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，把代入反比例函数得关于m的方程，即可得出m的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过，
，
解得：，
经检验是方程的根，
故答案为：．
2．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案．
【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个，
∴五点任取一点，在双曲线上的概率是，
故答案为：．
3．若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题．
【详解】解：反比例函数的图象经过点和，
，
，即，
∴，
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图像经过点和，
∴可有，，
∴．
故答案为：0．
5．双曲线经过点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：∵双曲线经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
知识点三 用反比例函数描述数量关系
根据问题中的数量关系，根据数量关系转化为反比例函数
【新知导学】
【例3-1】．下列关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定时，相邻两边的长
B．三角形面积一定时，它的底和高
C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D．一个人的跑步速度与他的体重
【答案】B
【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键
根据成反比例的定义解答即可．
【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意；
B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意；
C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意；
D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意．
故选：B．
【例3-2】．如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】根据函数的解析式判断即可；
【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则y=kx+b，符合一次函数解析式，
故选： B．
【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b为常数，k≠0是解题关键．
【对应导练】
1．下面每组中的两种量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．利率一定，存款的本金和利息
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．折扣一定，商品的原价和折后价
【答案】C
【分析】本题考查了反比例，熟练掌握反比例的定义是关键．根据两种量成反比例的定义：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，判断即可．
【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意；
B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意；
C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意；
D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意；
故选：C．
2．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（ ）
A．与成反比例： B．与成反比例：
C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为
【答案】A
【分析】根据功率判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴A选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键．
3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
【答案】 反
【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例．
【详解】解：由表格可知：，
，
y与x成反比例关系．
故答案为：，反．
4．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可．
【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系，
∴根据压强公式得： ，
故答案为：．
二、题型训练
1.判断是否反比例函数
1．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（k、b为常数，），那么y叫做x的一次函数；反比例函数定义：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数．根据一次函数和反比例函数定义进行求解即可．
【详解】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积，
A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意；
B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意；
C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意；
D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意．
故选：C．
2．河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
【答案】D
【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键．
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意；
D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
3．已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空．
第1组：
0 5 10
10 5 0
【观察】和同时呈现等差变化
【得出结论】是的 函数
第2组：
1 2
10 5
【观察】与的乘积均为10
【得出结论】是的 函数
第3组：
1 2 3 6
【观察】与的乘积均为
【得出结论】是的 函数
第4组：
0 1 2
12
【观察】当和时，的值均为
【得出结论】是的 函数
第5组：
0 3
0
【观察】随着的增大，的值先增大后减小
【得出结论】是的 函数
第6组：
1 2
1 0 4 9
【观察】随着的增大，的值先减小后增大
【得出结论】是的 函数
第7组：
2 4
0 3 5
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
第8组：
0 1 2 4
0 2 8
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
【答案】一次；反比例；反比例；二次；二次；二次；画图见解析，一次；画图见解析，二次
【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的判断，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图像与性质是解题关键．根据表格所给数据及相应图像，即可得出结论或画出图像．
【详解】解：第1组：根据题意得：和同时呈现等差变化，是的一次函数；
第2组：与的乘积均为10，是的反比例函数；
第3组：与的乘积均为，是的反比例函数；
第4组：当和时，的值均为，是的二次函数；
第5组：随着的增大，的值先增大后减小，是的二次函数；
第6组：随着的增大，的值先减小后增大，是的二次函数；
故答案为：一次；反比例；反比例；二次；二次；二次；
第7组：画图如下：
是的一次函数；
故答案为：一次；
第8组：画图如下：
是的二次函数．
故答案为：二次．
确定反比例函数解析式
4．已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出．
由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
A、；
B、；
C、；
D、，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
5．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数．
【详解】∵函数是关于的反比例函数，
∴，解得：，
故答案为：．
6．已知函数是反比例函数，则
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．直接利用反比例函数的定义得出的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案．
【详解】解：∵
则，
解得：
．
故答案为：．
3.实际问题中的反比例函数
7．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
【答案】(1)；一次
(2)；反比例
(3)；二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，化简即可得出答案；
（2）根据题意可得，化简即可得出答案；
（3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案；
【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的一次函数，
故答案为：，一次．
（2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的反比例函数，
故答案为：，反比例．
（3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴是的二次函数，
故答案为：，二次．
8．某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在表格中记出表示年①号田和②号田年产量情况
（记2018年为第1年度，x表示年度，v表示年产量）．
近五年①号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
近五年②号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.9 2.6 3.1 3.4 3.5
小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同．理由见解析
(2)观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为
(3)预测①号田和②号田总年产量在2024年或2025年最大，最大7.625吨
【分析】此题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式和函数的最值，难点是根据表格中提供的数据选择正确函数模型．
（1）由，，可知随的增大而减小，再观察模拟①号田和②号田的年产量变化趋势是随的增大而增大，据此可得出答案；
（2）观察可得模拟①号田的年产量变化趋势的函数模型为，将，代入之中求出，即可得出模拟①号田的函数的表达式；观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为，将，代入之中求出，，即可得出模拟②号田的函数的表达式；
（3）设模拟①号田和②号田的总年产量为吨，由（2）可得，将该函数整理得，然后根据二次函数的对称轴及最值可得出答案．
【详解】（1）解：认同．理由如下：
对于，，随的增大而减小，
模拟①号田和②号田的年产量变化趋势是随的增大而增大，
不能选模型．
（2）解：观察模拟①号田的年产量变化趋势的函数模型为，
将，代入，
得：，
解得：，
，
当时，；
当时，；
当时，，
模拟①号田的年产量变化趋势的函数模型为：，
观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为：，
将，代入，
得：，
解得：，
，
当时，；
当时，；
当时，；
观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为：；
（3）解：设模拟①号田和②号田的总年产量为吨，
由（2）可知：，
，
，该抛物线的对称轴为直线，且为整数，
当或8时，为最大，最大值约为，
答：预测①号田和②号田总年产量在2024年或2025年最大，最大吨．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
【答案】C
【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可．
【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；
D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查判断两个变量是否成反比例．熟练掌握两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，是解题的关键．
2．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（ ）
A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y
【答案】D
【分析】根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫做反比例关系．
【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
C、，即，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
D、，即，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例关系，比例的性质，熟知反比例函数的关系的定义是解题的关键．
3．已知双曲线经过点，则它还经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设双曲线的解析式为，根据题意求得，进而根据，逐项分析判断即可．
【详解】设双曲线的解析式为，双曲线经过点，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的代数意义，求得的值是解题的关键．
4．当时，反比例函数 的函数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可．
【详解】解：当时，
故选：B．
5．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断．
【详解】由杠杆平衡条件：，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
6．下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案．
【详解】解：C中，，其余的都不具有这种关系
C是反比例函数关系，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数，反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数．
7．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上．
【详解】解：若点和在一次函数的图象上，
设一次函数为，则，解得，
，
把代入得，
令，整理得，
，
存在的值使，
故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，
若点和在反比例函数的图象上，
设反比例函数为，则，
解得，
，
把代入得，，
故当时，
故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上．
故选：B．
8．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意列得xy=100，即可得到答案．
【详解】解：由题意得xy=100，
∴y与x之间的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查求函数解析式，正确理解销售问题中的数量关系是解题的关键．
10．若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
11．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质、解一元一次方程等，根据题意，将代入表达式得到方程，求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过，
，解得，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可．
【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限，
∴点一定在第四象限，
∵反比例函数的图像经过其中两点，
∴反比例函数的图像经过，，
，
．
故答案为：．
13．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．根据题意可得，，，，由可得，再将所求的式子展开即可求解．
【详解】解：，两点都在反比例函数的图象上，
，，，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是反比例函数，理由见解析
(2)是反比例函数
(3)不是反比例函数，理由见解析
(4)是反比例函数
(5)不是反比例函数，理由见解析
(6)不是反比例函数，理由见解析
【分析】（1）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（2）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（3）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（4）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（5）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（6）根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：不是反比例函数；理由如下：
∵中自变量的指数是不是，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（2）解：是反比例函数；理由如下：
∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（3）解：不是反比例函数；
∵中自变量的指数是1不是，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（4）解：是反比例函数；理由如下：
∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（5）解：不是反比例函数；理由如下：
表示的是于成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数．
（6）解：不是反比例函数；理由如下：
可变为，因此此解析式表示的是与成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数．
15．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
【答案】（1），不是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数．
【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义（k≠0）判断变量间是否为反比例函数关系．
【详解】（1） 根据三角形的面积公式可得 ，
所以不是反比例函数．
（2） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数．
（3） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式．
16．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数
【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数：
（1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可；
（2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴，
∴y是x的反比例函数；
（2）由题意，得，
∴y是x的反比例函数．
17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例，
，，
，当时，，当时，．
，
，，
；
（2）解：当，．
18．已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．
【答案】(1)
(2)2或1
(3)整数a有4个
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．
【详解】（1）解：有题意知
，
当时，y取得最小值8；
（2）解：∵点在双曲线上，
∴，
∴
，
∵，
∴，化解得，解得或，
则点或，
∴点P到y轴的距离为2或1；
（3）解：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，化简得，
∴，
则整数a有4个．
19．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连．
(1)写出B点的坐标；
(2)填写下表：
时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6
的长度
的长度
的长度
四边形的面积
①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
(3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)填写表格见解析，①长度的最小值是；②四边形的面积不会发生变化
(3)存在经过M，N两点的反比例函数
【分析】（1）利用正方形的性质求解即可；
（2）①通过写点的坐标，填表，弄清楚本题的基本数量关系，由勾股定理计算出，然后每个量的变化规律，然后进行猜想；②用运动时间，表示线段的长度，运用割补法求四边形的面积，
（3）由中位线定理得点，反比例函数图象上点的坐标特点是，利用该等式求值．
【详解】（1）；
（2）填表如下：
时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6
的长度 6 5 4 3 2 1
的长度 1 2 3 4 5 6
的长度 5 5
四边形的面积 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5
①线段的长度的变化规律是先减小再增大，长度的最小值是．
②根据所填数据，四边形的面积不会发生变化；
∵，
∴四边形的面积不会发生变化．
（3）点，
当时，则，
∴当存在经过两点的反比例函数．
【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点：(定值)等，可有助于提高解题速度和准确率．
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标
1.理解反比例函数的概念；
2.根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数的关系式.
3.能利用反比例函数的意义分析简单的问题
老师告诉你
反比例函数的几种不同表示形式：
1.xy=k（定值）、、 （k≠0）
2.反比例函数的特征
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
一、知识点拨
知识点一 、反比例函数的概念
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 y=(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）y= (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.
【新知导学】
【例1-1】．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】．下列几组量中，不成反比例的为（ ）
A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差
C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻
【例1-3】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：
(1)关于的函数解析式及定义域；
(2)当时的函数值．
【对应导练】
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ．
x 10 ？
y 3 5
3．若是反比例函数，那么m的值是 ．
4．若是反比例函数，则的值为 ．
5．已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式．
知识点二 、反比例函数的解析式
xy=k（定值）、、 （k≠0）
1.反比例函数解析式的特征:
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
2.待定系数法求反比例函数解析式
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。
【新知导学】
【例2-1】．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．8
【例2-2】．在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
2．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
3．若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ．
4．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ．
5．双曲线经过点，则代数式的值为 ．
知识点三 用反比例函数描述数量关系
根据问题中的数量关系，根据数量关系转化为反比例函数
【新知导学】
【例3-1】．下列关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定时，相邻两边的长
B．三角形面积一定时，它的底和高
C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D．一个人的跑步速度与他的体重
【例3-2】．如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【对应导练】
1．下面每组中的两种量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．利率一定，存款的本金和利息
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．折扣一定，商品的原价和折后价
2．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（ ）
A．与成反比例： B．与成反比例：
C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为
3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
4．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
二、题型训练
1.判断是否反比例函数
1．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
2．河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
3．已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空．
第1组：
0 5 10
10 5 0
【观察】和同时呈现等差变化
【得出结论】是的 函数
第2组：
1 2
10 5
【观察】与的乘积均为10
【得出结论】是的 函数
第3组：
1 2 3 6
【观察】与的乘积均为
【得出结论】是的 函数
第4组：
0 1 2
12
【观察】当和时，的值均为
【得出结论】是的 函数
第5组：
0 3
0
【观察】随着的增大，的值先增大后减小
【得出结论】是的 函数
第6组：
1 2
1 0 4 9
【观察】随着的增大，的值先减小后增大
【得出结论】是的 函数
第7组：
2 4
0 3 5
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
第8组：
0 1 2 4
0 2 8
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
确定反比例函数解析式
4．已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
6．已知函数是反比例函数，则
3.实际问题中的反比例函数
7．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
8．某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在表格中记出表示年①号田和②号田年产量情况
（记2018年为第1年度，x表示年度，v表示年产量）．
近五年①号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
近五年②号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.9 2.6 3.1 3.4 3.5
小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
2．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（ ）
A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y
3．已知双曲线经过点，则它还经过的点是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，反比例函数 的函数值为（ ）
A． B． C． D．
5．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
6．下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
8．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为 ．
10．若函数是反比例函数，则的值是 ．
11．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
12．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
13．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
15．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
16．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
18．已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．
19．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连．
(1)写出B点的坐标；
(2)填写下表：
时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6
的长度
的长度
的长度
四边形的面积
①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
(3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标
1.理解反比例函数的概念；
2.根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数的关系式.
3.能利用反比例函数的意义分析简单的问题
老师告诉你
反比例函数的几种不同表示形式：
1.xy=k（定值）、、 （k≠0）
2.反比例函数的特征
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
一、知识点拨
知识点一 、反比例函数的概念
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 y=(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）y= (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.
【新知导学】
【例1-1】．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（是常数，）叫做反比例函数．根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A. 是正比例函数，故A不符合题意；
B. 是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D. ，y不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【例1-2】．下列几组量中，不成反比例的为（ ）
A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差
C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻
【答案】B
【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积一定时，两个变量成反比例，进行判断即可．
【详解】解：A、工作总量一定，工作效率和工作时间的乘积为定值，成反比例，不符合题意；
B、减数一定，被减数和差的差值一定，不成反比例，符合题意；
C、面积一定，平行四边形的底和高的乘积为定值，成反比例，不符合题意；
D、电压一定时，电流与电阻的乘积为定值，成反比例，不符合题意；
故选B．
【例1-3】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：
(1)关于的函数解析式及定义域；
(2)当时的函数值．
【答案】(1)
(2)28
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
（1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例
设，
当时，；当时，
解得：，
（2）解：由（1）可知，，则
当时，．
【对应导练】
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可．
【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意；
D、∵，
∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
故选：C
2．如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ．
x 10 ？
y 3 5
【答案】6
【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键．
设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得．
【详解】解：设x和y的反比例关系式为，
把，代入关系式，得，
所以，x和y的关系式为，
把代入关系式，得，
解得，
故“？”处应填6，
故答案为：6．
3．若是反比例函数，那么m的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：是反比例函数，
，且，
，
故答案为：．
4．若是反比例函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可．
【详解】解：函数是反比例函数，
且，
解得，
故答案为：．
5．已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设，，则有，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式
【详解】解：设，，则，
把和，代入得：
，解得，
∴．
知识点二 、反比例函数的解析式
xy=k（定值）、、 （k≠0）
1.反比例函数解析式的特征:
1）等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
2）比例系数
3）自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数。
2.待定系数法求反比例函数解析式
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。
【新知导学】
【例2-1】．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【例2-2】．在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系．根据反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系求解即可．
【详解】解：A、将代入得：，∴在双曲线上，符合题意；
B、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意；
C、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意；
D、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意；
故选：A．
【对应导练】
1．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，把代入反比例函数得关于m的方程，即可得出m的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过，
，
解得：，
经检验是方程的根，
故答案为：．
2．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案．
【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个，
∴五点任取一点，在双曲线上的概率是，
故答案为：．
3．若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题．
【详解】解：反比例函数的图象经过点和，
，
，即，
∴，
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图像经过点和，
∴可有，，
∴．
故答案为：0．
5．双曲线经过点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：∵双曲线经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
知识点三 用反比例函数描述数量关系
根据问题中的数量关系，根据数量关系转化为反比例函数
【新知导学】
【例3-1】．下列关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定时，相邻两边的长
B．三角形面积一定时，它的底和高
C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D．一个人的跑步速度与他的体重
【答案】B
【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键
根据成反比例的定义解答即可．
【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意；
B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意；
C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意；
D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意．
故选：B．
【例3-2】．如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】根据函数的解析式判断即可；
【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则y=kx+b，符合一次函数解析式，
故选： B．
【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b为常数，k≠0是解题关键．
【对应导练】
1．下面每组中的两种量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．利率一定，存款的本金和利息
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．折扣一定，商品的原价和折后价
【答案】C
【分析】本题考查了反比例，熟练掌握反比例的定义是关键．根据两种量成反比例的定义：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，判断即可．
【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意；
B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意；
C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意；
D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意；
故选：C．
2．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（ ）
A．与成反比例： B．与成反比例：
C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为
【答案】A
【分析】根据功率判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴A选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键．
3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
【答案】 反
【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例．
【详解】解：由表格可知：，
，
y与x成反比例关系．
故答案为：，反．
4．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可．
【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系，
∴根据压强公式得： ，
故答案为：．
二、题型训练
1.判断是否反比例函数
1．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（k、b为常数，），那么y叫做x的一次函数；反比例函数定义：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数．根据一次函数和反比例函数定义进行求解即可．
【详解】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积，
A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意；
B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意；
C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意；
D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意．
故选：C．
2．河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
【答案】D
【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键．
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意；
D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
3．已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空．
第1组：
0 5 10
10 5 0
【观察】和同时呈现等差变化
【得出结论】是的 函数
第2组：
1 2
10 5
【观察】与的乘积均为10
【得出结论】是的 函数
第3组：
1 2 3 6
【观察】与的乘积均为
【得出结论】是的 函数
第4组：
0 1 2
12
【观察】当和时，的值均为
【得出结论】是的 函数
第5组：
0 3
0
【观察】随着的增大，的值先增大后减小
【得出结论】是的 函数
第6组：
1 2
1 0 4 9
【观察】随着的增大，的值先减小后增大
【得出结论】是的 函数
第7组：
2 4
0 3 5
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
第8组：
0 1 2 4
0 2 8
【描点画图】
【得出结论】是的 函数
【答案】一次；反比例；反比例；二次；二次；二次；画图见解析，一次；画图见解析，二次
【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的判断，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图像与性质是解题关键．根据表格所给数据及相应图像，即可得出结论或画出图像．
【详解】解：第1组：根据题意得：和同时呈现等差变化，是的一次函数；
第2组：与的乘积均为10，是的反比例函数；
第3组：与的乘积均为，是的反比例函数；
第4组：当和时，的值均为，是的二次函数；
第5组：随着的增大，的值先增大后减小，是的二次函数；
第6组：随着的增大，的值先减小后增大，是的二次函数；
故答案为：一次；反比例；反比例；二次；二次；二次；
第7组：画图如下：
是的一次函数；
故答案为：一次；
第8组：画图如下：
是的二次函数．
故答案为：二次．
确定反比例函数解析式
4．已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出．
由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
A、；
B、；
C、；
D、，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
5．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数．
【详解】∵函数是关于的反比例函数，
∴，解得：，
故答案为：．
6．已知函数是反比例函数，则
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．直接利用反比例函数的定义得出的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案．
【详解】解：∵
则，
解得：
．
故答案为：．
3.实际问题中的反比例函数
7．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
【答案】(1)；一次
(2)；反比例
(3)；二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，化简即可得出答案；
（2）根据题意可得，化简即可得出答案；
（3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案；
【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的一次函数，
故答案为：，一次．
（2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的反比例函数，
故答案为：，反比例．
（3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴是的二次函数，
故答案为：，二次．
8．某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在表格中记出表示年①号田和②号田年产量情况
（记2018年为第1年度，x表示年度，v表示年产量）．
近五年①号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
近五年②号田产量
x /年度 1 2 3 4 5
y/吨 1.9 2.6 3.1 3.4 3.5
小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同．理由见解析
(2)观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为
(3)预测①号田和②号田总年产量在2024年或2025年最大，最大7.625吨
【分析】此题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式和函数的最值，难点是根据表格中提供的数据选择正确函数模型．
（1）由，，可知随的增大而减小，再观察模拟①号田和②号田的年产量变化趋势是随的增大而增大，据此可得出答案；
（2）观察可得模拟①号田的年产量变化趋势的函数模型为，将，代入之中求出，即可得出模拟①号田的函数的表达式；观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为，将，代入之中求出，，即可得出模拟②号田的函数的表达式；
（3）设模拟①号田和②号田的总年产量为吨，由（2）可得，将该函数整理得，然后根据二次函数的对称轴及最值可得出答案．
【详解】（1）解：认同．理由如下：
对于，，随的增大而减小，
模拟①号田和②号田的年产量变化趋势是随的增大而增大，
不能选模型．
（2）解：观察模拟①号田的年产量变化趋势的函数模型为，
将，代入，
得：，
解得：，
，
当时，；
当时，；
当时，，
模拟①号田的年产量变化趋势的函数模型为：，
观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为：，
将，代入，
得：，
解得：，
，
当时，；
当时，；
当时，；
观察模拟②号田的年产量变化趋势的函数模型为：；
（3）解：设模拟①号田和②号田的总年产量为吨，
由（2）可知：，
，
，该抛物线的对称轴为直线，且为整数，
当或8时，为最大，最大值约为，
答：预测①号田和②号田总年产量在2024年或2025年最大，最大吨．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
【答案】C
【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可．
【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；
D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查判断两个变量是否成反比例．熟练掌握两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，是解题的关键．
2．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（ ）
A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y
【答案】D
【分析】根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫做反比例关系．
【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
C、，即，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
D、，即，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例关系，比例的性质，熟知反比例函数的关系的定义是解题的关键．
3．已知双曲线经过点，则它还经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设双曲线的解析式为，根据题意求得，进而根据，逐项分析判断即可．
【详解】设双曲线的解析式为，双曲线经过点，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的代数意义，求得的值是解题的关键．
4．当时，反比例函数 的函数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可．
【详解】解：当时，
故选：B．
5．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断．
【详解】由杠杆平衡条件：，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
6．下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案．
【详解】解：C中，，其余的都不具有这种关系
C是反比例函数关系，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数，反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数．
7．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上．
【详解】解：若点和在一次函数的图象上，
设一次函数为，则，解得，
，
把代入得，
令，整理得，
，
存在的值使，
故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，
若点和在反比例函数的图象上，
设反比例函数为，则，
解得，
，
把代入得，，
故当时，
故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上．
故选：B．
8．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意列得xy=100，即可得到答案．
【详解】解：由题意得xy=100，
∴y与x之间的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查求函数解析式，正确理解销售问题中的数量关系是解题的关键．
10．若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
11．若反比例函数的图象经过，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质、解一元一次方程等，根据题意，将代入表达式得到方程，求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过，
，解得，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可．
【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限，
∴点一定在第四象限，
∵反比例函数的图像经过其中两点，
∴反比例函数的图像经过，，
，
．
故答案为：．
13．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．根据题意可得，，，，由可得，再将所求的式子展开即可求解．
【详解】解：，两点都在反比例函数的图象上，
，，，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是反比例函数，理由见解析
(2)是反比例函数
(3)不是反比例函数，理由见解析
(4)是反比例函数
(5)不是反比例函数，理由见解析
(6)不是反比例函数，理由见解析
【分析】（1）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（2）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（3）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（4）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（5）根据反比例函数的定义进行判断即可；
（6）根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：不是反比例函数；理由如下：
∵中自变量的指数是不是，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（2）解：是反比例函数；理由如下：
∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（3）解：不是反比例函数；
∵中自变量的指数是1不是，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（4）解：是反比例函数；理由如下：
∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（5）解：不是反比例函数；理由如下：
表示的是于成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数．
（6）解：不是反比例函数；理由如下：
可变为，因此此解析式表示的是与成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数．
15．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
【答案】（1），不是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数．
【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义（k≠0）判断变量间是否为反比例函数关系．
【详解】（1） 根据三角形的面积公式可得 ，
所以不是反比例函数．
（2） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数．
（3） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式．
16．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数
【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数：
（1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可；
（2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴，
∴y是x的反比例函数；
（2）由题意，得，
∴y是x的反比例函数．
17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例，
，，
，当时，，当时，．
，
，，
；
（2）解：当，．
18．已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．
【答案】(1)
(2)2或1
(3)整数a有4个
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．
【详解】（1）解：有题意知
，
当时，y取得最小值8；
（2）解：∵点在双曲线上，
∴，
∴
，
∵，
∴，化解得，解得或，
则点或，
∴点P到y轴的距离为2或1；
（3）解：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，化简得，
∴，
则整数a有4个．
19．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连．
(1)写出B点的坐标；
(2)填写下表：
时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6
的长度
的长度
的长度
四边形的面积
①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
(3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)填写表格见解析，①长度的最小值是；②四边形的面积不会发生变化
(3)存在经过M，N两点的反比例函数
【分析】（1）利用正方形的性质求解即可；
（2）①通过写点的坐标，填表，弄清楚本题的基本数量关系，由勾股定理计算出，然后每个量的变化规律，然后进行猜想；②用运动时间，表示线段的长度，运用割补法求四边形的面积，
（3）由中位线定理得点，反比例函数图象上点的坐标特点是，利用该等式求值．
【详解】（1）；
（2）填表如下：
时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6
的长度 6 5 4 3 2 1
的长度 1 2 3 4 5 6
的长度 5 5
四边形的面积 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5
①线段的长度的变化规律是先减小再增大，长度的最小值是．
②根据所填数据，四边形的面积不会发生变化；
∵，
∴四边形的面积不会发生变化．
（3）点，
当时，则，
∴当存在经过两点的反比例函数．
【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点：(定值)等，可有助于提高解题速度和准确率．
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